LIVRE II. - CYLINDRES, CONES KT SURFACES HE RÉVOLUTION

formée ne traverse pas sa tangente (art. 169), mais elle a un contact plus intime avec elle, car cette circonstance se produit quand deux points d'inflexion se réunissent.

Ces divers cas peuvent indiireremment se présenter pour les transformées de l'ellipse, de la parabole et de l'Iiyperbole ; toutefois, il faut remarquer que, si l'angle t est plus grand que 45°. aucune des ellipses et des paraboles que l'on peut concevoir tracées sur le cône ne prendra d'inflexion dans le développement, et que, si £ est plus petit que /p". toutes les transformées des paraboles et des hyperboles auront deux inflexions.

11' ExK.MPLE. — Ciî/w de rëvolutiun à cijce verlictil; plan sécant perpend'icuUùvc au pliiii vertiad; section liyperholiquc {Planche XXV J.)

172. L"n plan {/nrn', m' [x' ) (Jig. \o^) passant par le sommet et parallèle au plan sécant (P, P') divise les génératrices en deux groupes : celles du premier groupe ont leur trace sur l'arc mam,, et rencontrent le plan au-dessous du sommet; celles du second ont leur trace sur l'arc mbm,, et rencontrent le plan au-dessus du sommet. L'intersection est ainsi formée de deux parties et, poui' ne pas négliger l'une d'elles, nous considérons les deux nappes du cône, que d'ailleurs nous limitons à des plans horizontaux et parallèles.

On peut construire la courbe en cherchant les points où un certain nombre de génératrices percent le plan; mais, comme les recoupements seraient assez obliques, il est préférable de déterminer les intersections du cône et du plan par divers plans horizontaux. Nous ne reviendrons pas sur ce tracé, que nous avons déjà expliqué à l'article 165.

175. La génératrice (S/«, S'm') est pai'allèle au plan, et les génératrices des deux groupes qui sont voisines de celle-là ne le rencontrent que très loin. La courbe présente ainsi deux bras qui s'étendent en sens contraire, l'un sur la nappe supérieure, l'autre sur la nappe inférieure, et se rejoignent ii l'intini, an point où la génératrice (S/«, S'm') atteint le plan.

On détermine l'asymptote, comme toute autre tangente, en prenant l'intersection du plan sécant avec le plan qui touche le cône au point correspondant de la courbe, qui est le point situé à l'inflni. Ce plan est tangent tout le long de la génératrice (Sm, S'm'); sa trace horizontale est la droite /??p, et le point r où elle rencontre la trace P du plan appartient à l'asymptote.

L'asymptote est parallèle à la génératrice (S/n, S'm'), parce (|ue ces droites se rejoignent en un point situé à l'intini. On peut encore dire que le plan {?, P'), étant ])arallèle à (Sm, S'm'), coupe un plan qui contient cette génératrice suivant une droite qui lui est paralli'Ie.

Les constructions pour déteiniiner l'asymptote peuvent èlie faiti's sui' le plan