CHAPITRE IV. — SECTIONS PLANES DU CVLINDRE ET DU CONE
lioiizontal supérieur. La généralrice Sm perce ce plan en a; les traces du plan tangent et du plan sécant sont les droites ai et tz, : leur point de rencontre i appartient à lasymptote.
La génératrice (Sm,, S'm') également parallèle au plan sécant détermine une seconde branche infinie, dont l'asymptote e,£, est obtenue de la même manière.
174. La courbe est une hyperbole. Son axe transverse est la droite (aSb, P') parallèle au plan vertical. On détermine sans difficulté les sommets (A, A') et (B, B'), et le centre (;0.(y^.
On construit le rabattement par les procédés expliqués pour Fellipse (art. 105).
175. Dans le développement, les ditlërents cercles ont pour transformées des arcs de cercle concentriques dont les rayons sont les segments des génératrices; on les trouve en vraie grandeur sur la droite «'a'. Nous traçons tout d'abord des longueurs suffisantes de ces arcs, et nous plaçons la génératrice Sb(ftg. 109).
Nous supposons la surface coupée suivant la génératrice («a, a' a'), et nous portons à partir du point b (fig. 109), sur le cercle décrit du point S comme centre avec S'a' pour rayon, des longueurs curvilignes égales à la demi-circonférence ba {fig. 106). Traçant ensuite les droites aSx et a, Sa, { fg. 109). nous avons les deux positions que prend la génératrice (aa, a'a' ), et qui limitent le développement de la surface.
Pour voir où un point (G, G') de la section doit être placé, nous portons sur le cercle décrit avec la longueur S' "■' pour rayon, et à partir du point g de la droite Sa (Jig. 109), une longueur curviligne ^G égale à l'arc ^G de \'Afig- 106.
176. Nous donnons aux génératrices ma. m, a, les positions qui leur conviennent. Dans le développement, les asymptotes restent parallèles à ces droites et à la même distance d'elles : ce sont les droites ez et e, t,.
Vu la symétrie de la figure, les asymptotes de la transformée se coupent sur r;i\e bB du développement, mais leur point de rencontre (2 n'a rien de commun avec le centre (0, O' ) de l'hyperbole (/'g. 106).
En effet, quand la surface se déroule, à chaque instant, la partie déjà développée se trouve dans un plan tangent et y recueille les tangentes qui s'y trouvent. Les tangentes placées dans des plans tangents différents changent ainsi de position les unes par rapport aux autres; il en est de même des asymptotes.
Si l'on prend sur les asymptotes de la transformée les longueurs eO. c, 0, égales à e"0" ete", 0" (^g. 106), on aura les points 0 et 0,, qui. avant le développement, étaient réunis au centre de l'hyperbole.
Les transformées des deux arcs de la courbe peuvent être tracées saii> ililliculté. Les nappes sont développées suivant les polygones mixtilignes/^N, A, SANi et BlI|a,SanB. La nappe supérieure recouvre en développement une partie de la nappe inférieure; cela arrive quand la longueur développée du cercle de base est plus grande que la moitié de la circonférence dont le rayon est S'b' (Jig. 106),
88 I.IVKK II. — CVLINDKES, CON'liS ET SURFACES LIE UÈVOLUTION'.
c'esl-;i-(lirc (|iian(l « 7/ surpasse S7>'. Lorsque le triangle a'S'b' est é(|uilatei"il, les deux nappes se rejoignent en développement, sans se recouvrir.
La construction exposée à l'article l(>8 lait trouver deux points d'inllexion I et 1|. Les inflexions sont peu sensibles; cependant on voit qu'elles existent, parce que la courbe, à son sommet B, tourne sa concavité vers le point Q où ses asymptotes se croisent.
Section iHiraholujiie.
177. Si l'on suppose que le plan sécant tourne autour de sa trace P et prenne avec le plan horizontal le même angle que les génératrices, il sera parallèle à (aa, a' a') {fig. io6) et au plan qui touche le cône le long de cette droite. La courbe présentera une branche infinie ; mais son asymptote, intersection de deux plans parallèles, sera à l'infini. On sait qu'elle est alors une parabole.
C((S i!,<'llCf(d.
178. Les deux cas que nous venons d'expliquer donnent entièrenieiil la solution du problème de la section d'un cône par un plan pour ce qui concerne les projections et la vraie grandeur de la courbe d'intersection.
On fait d'abord passer par le sommet du cône un plan parallèle au plan sécant; les génératrices qu'il peut contenir déterminent des branches infinies, et les intersections des plans tangents correspondants avec le plan donné sont les asymptotes.
Quand un cône n'est pas de révolution, pour l'aire le développement, il faut partager le périmètre de la base en petites parties que l'on puisse considérer comme droites, puis déterminer les vraies grandeurs des génératrices qui aboutissent aux points de division. On a alors les longueurs des trois côtés d'une série de triangles qu'on peut construire sur un plan, à la suite les uns des autres.
Eu égard au grand nombre de petites longueurs qu'il faut employer, cette méthode ne donne des résultats exacts que quand les constructions sont faites avec beaucoup de soin. Nous devons cependant faire observer que les recoupements ont généralement lieu sous des angles assez ouverts.
Observations sur les sections pldiics des runes, la disposition des bras de leurs branches infinies, et les plans tange/its ii ces sur/aces.
17Î). Les sections des cônes par (Ici plans parallèles sont des courbes hoinotliélupics.
l'our prouver ce théori-me, nous allons comparer la trace; liori/ontalc .\ d'un
CIIVPITRK V. — SUHFACES DE RÉVOLUTION. 8r)
cône (./?/,'■. loi) avec la section île cette surface par un plan lioiizontal .ry. La génératrice qui passe par le point (M, M) de la trace A rencontre le plan xv en un point {m, m'), et l'on a
