I. — De la GiiiriiNERiii. — Detriif/inf

no I.IVIilî II. - CYLINDRES. CONES KT SURI'ACES DE liK\ OLl'TION.

cable dans ce cas. el l'on voit (|U(' le côno n'a pas ii son soninict un plan langent uni(|ne.

NoHs aiii'ons plnsieurs occasions de revenir sur le théorème du plan Imigent et les exceptions qu'il comporte ( ').

182. Nous allons terminer la (|iiestion des sections planes d'un cône, en cherchant comment les hras d'une branche infinie sont disposés par rappoit à leur asymptote.

Soient (Q, Q') (,//§■ i<i>) le plan sécant que nous supposons perpendiculaire au plan vertical, et (S, S') le sommet d'un cône dont la trace horizontale est la ligne indéfinie GK.

Nous faisons passer par le sommet un plan (AA', A'S') parallèle à (Q,Q'); sa trace horizontale rencontre la courbe GK en un point A qui appartient à une génératrice (SA, S'A') parallèle au plan sécant. L'asymptote de la branche infinie correspondante est la droite (mn, M'N') intersection du plan donné avec le plan tangent le long de la génératrice qui lui est parallèle.

Un plan (BB', B'S') passant par le sommet et perpendiculaire an plan vertical coupe le cône et le plan tangent le long de la génératrice (SA, S'A') suivant des droites qui se projettent sur SB et Sh, et rencontrent le plan {Q, Q') aux points M et m; ce dernier appartient évidemment à l'asymptote.

Si l'on conçoit que le point B se rapproche de A en entraînant b, les points M et m s'éloigneront indéfiniment et, par conséquent, la courbe s'étend à l'infini en restant du même côté de l'asymptote. Nous supposons que l'arc BA ne rencontre qu'en A la tangente h\; on peut toujours prendre le point B assez rapproché de A pour qu'il en soit ainsi.

185. Raisonnant de la même manière pour une génératrice (SC, S'C) située sur le cône de l'autre côté de (SA, S'A'), on arrive à des résultats analogues; mais, par suite du croisement qui se fait au sommet S, le point d'intersection N est en deçà de l'asymptote, et la branche infinie se compose de deux bras liM, .TN qui sont situés de part et d'autre de cette droite.

Si la trace du cylindre avait été une courbe GAK, ayant une inflexion en A, on eût trouvé, au lieu du point N, le point N, situé de l'autre côté de l'asymptote, et les deux bras de la branche infinie eussent été d'un même côté de cette droite. Mais, dans ce cas, le plan tangent traverse le cône le long de la génératrice de contact (SA, S'A'), de sorte qu'une section plane (juclconque présente une inflexion au point qui appartient à cette droite.

Nous pourrions étudier la question en ordre inverse, prendre la courbe à branche infinie pour dir(>clrice du cône, et chercher la forme de la trace GK sur

(') /orr. à la Table analytique inii esl à la fin de la troisième Partie, les ailicles : J'/<iii de reliroi/fscmciil. Sommeil d'iinr dvi'elnppnhle, Snmmcfx des xiirfaces- i^niiclirs.