SURFACES DE RÉVOLUTION

Déjlnitioii et principales propriétés .

185. La surface qu'une courbe plane BC (//x;. 102) engendre en tournant autour d'une droite AZ contenue dans son plan est dite de révolution. La droite fixe est l'axe de la surface; la courbe génératrice en est la méridienne ; son plan est le plan méridien.

Quand la méridienne est symétrique par rapport à l'axe, par exemple un cercle tournant autour de l'un de ses diamètres, il lui suffit d'une demi-révolution pour engendrer toute la surface. Dans le cas contraire, une révolution complète est nécessaire; alors chaque plan passant par l'axe contient deux courbes identiques dans des positions symétriques.

(') Deux seelioiLS planes d'ua même coue sont \^ projcciiuii conique l'une de l'aulrc. En étudiant la projection conique d'une courbe et d'une de ses tangentes sur un plan convenablement placé, nous avons pu étudier la disposition des brandies infinies des courbes. On emploie souvent ce mode de transformation dans les discussions et les recherches de la Géométrie.

92 MVliE II. inLlNDliES, CUM:S ICT SUHKACUS UK UICVOLUTION.

\]i\ |)()iiit quelconque M de la méridienne décrit un cercle dont le plan est perpendiculaire à l'axe cl dont le centre 0 est sur l'axe. Ce cercle a reçu le nom de parallèle.

On peut considérer la surface comme engendrée par un cercle mobile soumis aux conditions de rencontrer une courbe 6c, d'avoir son centre sur une droite AZ, et d'être dans un plan perpendiculaire à cette droite. La directrice bc engendrerait la surface par sa révolution autour de l'axe; si elle est plane et si son plan contient l'axe, c'est la méridienne dans une de ses positions.

186. En un point (|uelconque .M de la surface, la tangente MT au parallèle, étant perpendiculaire au rayon OM et à l'axe OZ, l'est aussi au plan de ces deux droites, qui est le plan méridien du point M. Le plan tangent au point M contenant MT sera également perpendiculaire au plan méridien. Ainsi, tout plan langent à une surface de révolution est perpendiculaire au plan méridien du point de contact.

La normale MNà la surface au point M. étant perpendiculaire au plan tangent, se trouve dans le plan méridien, et par conséquent va rencontrer l'axe en un point N.

Si le plan méridien OMN tourne autour de AZ, en entraînant toutes les lignes <|u'il contient, la droite MN engendrera un cône de révolution dont le parallèle sera la base; elle rencontrera donc toujours à angle droit la tangente de ce cercle, et par suite elle sera normale à la surface, car elle l'est déjà à la méridienne dans toutes ses positions. Ainsi, les normales à une surface de rxTolutio/i, aux différents points d'un même parallèle, forment un cône de réi'olution dont le sommet est sur l'axe.

187. Quand on veut résoudre des problèmes relatifs à une surface de révolution, on prend l'un des plans de projection perpendiculaire à son axe; c'est généralement celui que l'on considère comme borizontal. Les deux projections de l'axe sont alors un point 0 et une verticale O'Z {^fig- i lo). On appelle plan méridien de front le plan passant pai' l'axe et parallèle au plan vertical. La méridienne qu'il contient se projette en vraie grandeur sur le plan vertical; dans l'épure qui nous occupe, elle se compose de deux courbes identiques G'IJ'E'C et G, B, E'i C'i symétriquement placées par rapport à l'axe.

188. l*roposons-nous de trouver la projection verticale du point de la surface dont la projection borizontale est un point donné//?. Si nous supposons que le point cbcrcbé se transporte sur son parallèle juscjue dans le plan du méridien (le Iront, sa projection m décrira un arc de cercle dont le point 0 sera le centre, et se ])lac('ra en n sur OH; sa projection verticale se trouvant alors sur la méridicmiKi Ci'E' sera né(;essaireinent ti ou lé' . Si nous l'amenons mainlcuanl le poiiil <laiis sa position, sa projection verticale se transportera liorizonlalement (Il ///' ou ///", sur la perpendiculaire menée du point/// ii la ligne de terre.

CUAl'ITKE \. — SURFACES DE RÉVOLUTION. f)3

On eût trouvé les mêmes pointsm' et/«" en transportant le point m sur la projection B, C| de la méridienne imerse.

Si la perpendiculaire à la ligne de terre menée par un point n n'avait pas rencontre la méridienne de front, il n'y aurait pas eu de solution; il faut donc que le point n soit entre les points C et B, ce qui nous montre que les parallèles des points (C, C')et (B, B') forment le contour apparent de la surface sur le plan horizontal. En tous les points de ces parallèles la tangente au méridien est verticale, et le plan tangent qui la contient est également vertical.

189. Si l'on avait donné la projection verticale m' d'un point de la surface, on eût trouvé la projection horizontale correspondante par la même construction faite en ordre inverse. Ainsi, le point m' aurait été porté sur la méridienne de front en «' par une horizontale, puis projeté en n sur CB, et ramené par un arc de cercle en w ou w„ sur la perpendiculaire menée du pointez' à la ligne de terre.

L'horizontale du point m' coupe la méridienne en un second point N' qui fait trouver deux autres solutions M et M^.

On reconnaît facilementquc le point ««' ne serait la projection d'aucun point de la surface, s'il était en dehors du périmètre mixtiligne G'B'E'B, G, . On voit ainsi que le contour apparent de la surface sur le plan vertical est formé par les deux segments de droite E'E', et G'G, , et par les deux demi-cercles E'B'G', E', B, G', .

Si le point m' se trouvait dans l'intérieur de l'une des deux méridiennes G'E' et G,E'|, on n'aurait que deux solutions. Les arcs G'C'E' et G'|C', E', ont le caractère de contour apparent pour la partie intérieure de la surface; ils formeraient réellement le contour apparent d'un corps qui serait engendré par la révolution de l'aire G'C'EV/'a'. En tous les points des deux méridiennes de front E'G' et E, G'|,la tangente du parallèle est perpendiculaire au plan vertical, et le plan tangent qui la contient est également perpendiculaire à ce plan.

190. Proposons-nous maintenant de construire le plan tangent au point (in, m') de la surface de révolution considérée (fig- iio).

Pour avoir au point donné la tangente de la méridienne, nous amenons cette courbe dans le plan méridien de front par une rotation autour de l'axe; le point (m, m') se place en (n, n'); nous pouv.ons tracer la tangente n'Y' , et déterminer le point F où elle perce le plan horizontal. Si la méridienne est ramenée dans sa première position, le point F décrit un arc de cercle autour du point 0 et s'arrête en/sur la droite Om, la tangente se meut sur un cône de révolution dont le sommetest au pointK de l'axe, et ses projections définitives sont wOy, ni'Kf; ses traces /et H' appartiennent aux traces du plan tangent.

Ce plan contient encore la tangenle du parallèle, qui est horizontale et perpendiculaire à la droite mOf : la trace horizontale /L de ce plan est donc aussi perpendiculaire à la droite mOf mi /: sa trace verticale est déterminée par les points H' et L.

Q^ LIVHt: 11. CYLINDRES, CO.NliS Kl SLHI ACES DE HEVOUj'TION.

Pour déiiiunlrerla jjci'pendicularité de/L sur mOf, on [jeut dire que 0/esl la projection de la normale à la surface, ou encore que, le plan horizontal et le plan tangent étant l'un et l'autre perpendiculaires au plan niéiidien Om, leur intersection, qui est la trace /L, est perpendiculaire au plan méridien, et par suite à sa trace.

En menant la droite /l'W perpendiculaire à /l'F', nous déterminerons sur l'axe le point R, sommet du cône formé par les normales à la surface le long du parallèle (mn, m'n'). La droite R«?' est donc la projection verticale de la normale au point (/«, m'), et elle doit par suite renconlrer à angle droit la trace H'L du plan tangent (art. 40).

191. En raisonnant comme nous l'avons fait poui- le cône à l'article 181, on reconnaît qu'une surface de révolution n'a pas de plan tangent unique aux points où la méridienne rencontrerait Taxe obliquement, mais en ces points-là seulement.

Au point (/?, Il') (Jlg. iio) les tangentes au méridien et au parallèle sont de côtés différents de la surface; le plan qui contient toutes les tangentes coupe donc la surface. Nous rencontrerons d'autres exemples de cette disposition, qui conduit à une question intéressante dont nous aurons à nous occuper dans la seconde Partie de cet Ouvrage.

Le plan tangent au point (N, N') ne coupe pas la surface et n'a que ce point de commun avec elle.

Enfin le plan du parallèle supérieur G'G', et celui du parallèle inférieur E'E', sont tangents chacun tout le long du parallèle qu'il contient.

Scctio/i.s planes. — (P/. XXIX, Jl^. \\i\.

lî)2. La méridienne est (ED. E'D'), l'axe (0, 0"Z); Rk et aH' sont les traces du plan sécant sur le plan horizontal et sur le plan méridien de front aT. Ce plan est notre plan vertical; mais, pour empêcher les deux projections de se superposer, nous l'éloignons de la longueur aa' avant de le rabattre.

Nous coupons le plan et la surface par une série de plans horizontaux convenablement espacés. Les sections du plan donné sont des droites parallèles à aR, dont on obtient les projections horizontales en ramenant en j3, y, ... les points [i', -;'. ... où la trace a'H' rencontre les horizontales ^'R", y'C", . . . , traces verticales des plans auxiliaires. Les sections de la surface sont des parallèles qui se |)rojettent horizontalement en vraie grandeur. Les rencontres respectives des droites etdes cercles donnent, suh' le plan horizontal, les points i , 2, 3, . . . , qu'on relève sur les projections verticales des parallèles en i', :>/, j'

105. On reconnaît par la construction même que l'intersection du plan donne

CHIiPITHF; V. - SURFACES DE RÉVOLLTION. r)5

avec le plan méridien qiii lui est perpendiculaire est un axe de la courbe. La projection horizontale OR de cette droite est également un axe de la projection de la courbe. Sur le plan vertical la droite OR', rencontrant obliquement les cordes horizontales qu'elle partage en parties égales, est simplement un diamètre de la projection.

Pour avoir les points où le plan vertical OR rencontre l'intersection, nous le faisons tourner autour de l'axe, de manière à le rabattre sur le plan méridien de front. La droite (OR, O'R') devient (OR,, OR',) et coupe la méridienne D'|E', aux points (/72', ni^) et («', n\) qu'on ramène l'un en {m, m') et l'autre en («, n'). A ces points, la tangente est horizontale, et par suite ses projections sont respectivement parallèles à Ra et à la ligne de terre.

La tangente est également horizontale aux points (6, G') et (i3, i3') qui sont situés sur le parallèle supérieur, et qui, par conséquent, sont les plus élevés de la courbe.

La construction qui nous a donné les points {m, m') et {n, n') peut servir pour déterminer les points de l'intersection situés sur un méridien quelconque, et par suite pour tracer la courbe.

194. La tangente en un point (5, .5') de l'intersection est contenue dans le plan tangent et dans le plan sécant. Si nous ramenons le point considéré dans le plan méridien de front par une rotation autour de l'axe, il se placera en(B, B') et nous pourrons tracer la tangente B'T' à la méridienne. Elle perce en (T, T') le plan horizontal 17', 2' que nous choisissons pour cette construction. Nous ramenons le point T en T, sur la droite 05, et la trace du plan tangent est la droite T|T;>, perpendiculaire h OT,. La trace du plan sécant sur le point horizontal choisi est 17,2. Le point de rencontre Ta et le point T'., qui lui correspond sur l'horizontale 17', 2' font connaître la tangente (To.t, T., 5').

Nous avons opéré sur un plan horizontal plus élevé que celui qui nous avait d'abord servi, afin de maintenir les constructions dans le cadre de l'épure.

Par suite des symétries que nousavons établies, les tangentes aux points(5,5') et (14, 14') rencontrent la droite (RO, R'O') en un même point (K, K').

19a. La projection horizontale de l'intersection touche les parallèles qui forment le contour apparent de la surface aux points 3 et 16 d'une part, 9 et 10 de l'autre (art. 149).

La trace a'H' coupe la méridienne E', D', aux points u' et v' ; la projection verticale de la courbe passe par ces points, et y est tangente à la méridienne, qui doit être considérée comme le contour apparent de la surface (art. 189). La projection traverse la méridienne en divers points, dont un se trouve entre 2' et 3'; ces rencontres ne correspondent pas h un point commun dans l'espace.

La projection verticale de l'intersection parait se confondre, sur une petite longueur, avec la méridienne E'D'; mais en réalité elle la traverse seulement, et

<)() I.I\ l!E II. - CVLINDRF.S, CONKS V.T SI Rl'ACKS DE liKVOLl'TION.

ces coiirl)es iio se rencontrent même pas dans l'espace, comme on le voit par la projection horizontale (').

100. Les denx projections tle la conrhe se correspondent point à point; ainsi le point j est la projection d'un seul point de la courbe qui est projeté verticalement en 5'. Il résulte de là que toute droite perpendiculaire à la ligne de terre rencontre les deux projections de l'intersection en un même nombre de points, et que ces projections ont des tangentes communes perpendiculaires à la ligne de terre; il y en a quatre : chacune d'elles forme les deux projections d'une même tangente de la courbe de l'espace. On voit immédiatement la position approximative des points de contact de ces lignes : l'un d'eux est entre (4, ^') et (5, 5'); mais on ne peut le déterminer d'une manière un peu précise que par une courbe d'erreur.

Après avoir tracé la tangente !\.L, au point 1, nous cherchons dans le cercle dont le rayon est 4-'- 1^^ longueur 4.c du sinus de l'angle qu'elle fait avec une perpendiculaire à la ligne de terre. Nous déterminerons ensuite, dans des cercles de même rayon, les sinus des angles analogues pour d'autres tangentes : on trouve pour celle du point 5 la ligne bb'.

Ces longueurs sont ensuite portées sur les traces des dilïérents plans auxiliaires, à partir d'une verticale XX, (/ig. ii3), à droite ou à gauche de cette droite, suivant que, sur le plan horizontal, elles sont à droite ou à gauche des perpendiculaires /oC, To/^, . . . à la ligne de terre. Quand on a déterminé un nombre suffisant de points a', b', c' , cl' , on les unit par une courbe, et le point e' où elle coupe la verticale XX, fait connaître la hauteur du parallèle qui contient le point pour lequel l'angle analogue à b'\..M est nul. Par crainte de jeter un peu de confusion sur l'épure, nous n'avons pas fait les opérations pour déterminer les points de la courbe qui sont sur ce parallèle.

Les autres points de l'intersection où la tangente est perpendiculaire à la ligne de terre sont situés près de (17, 17'), (12, 12') et {v, e').

Principales vropriétés <le l'inpci'holuuli' de rc'^'olutio/i. {PI. XXïUI,fii^. m.)

107. Nous allons nous occuper de la surface engendrée par la révolution d'une droite autour d'un axe qu'elle ne rencontre pas; nous établirons tout d'abord celles de ses propriétés qui nous seront utiles pour les constructions.

(') Si la courbe d'intersection coupait deux lois la méridienne (ED, E'I)') près le point (7, 7'), elle aurait sur le i)lan vertical, avec celte ligne qui forme contour apparent, deux points de contact analogues à «'et v' . Alors, en déi)la(,'aiit le plan sécant, oi^pourrait réunir ces points, et les courbes siinplcmciit tangentes dans l'espace auraient en projection un contact du troisième ordre.

Hii-n dans noire raisonnement n'est spécial aux surfaces de révolution; ainsi nous voyons que, t\uuiid