CHAPITRE V. — SURFACES DE RÉVOLLTIO.N

L'axe est la verticale (0, O'e'); ae et à é sont les projections de la ijéiiératricc dans sa position initiale, que nous supposons parallèle au plan vertical.

Un point quelconque {p,p') décrit un parallèle qui se projette en vraie granileur sur le plan horizontal. La perpendiculaire abaissée du point 0 surae donne la plus courte distance de l'axe à la génératrice, et le point {e, e') de cette droite, étant le plus rapproché de l'axe, décrit le plus petit parallèle ou cercle de gorge. Toutes les génératrices sont à la même distance de l'axe; par suite, leurs projections horizontales se trouvent également éloignées du point 0, et tangentes à la projection du cercle de gorge. Aucun point de la surface ne peut se projeter dans l'intérieur de ce cercle, qui présente ainsi le caractère géométrique de contour apparent, et doit être tangent, en projection horizontale, à toutes les lignes qu'il rencontre sur la surface, à moins que leur tangente au point de contact ne soit verticale (art. 189). La trace horizontale de la surface est le parallèle décrit par le point (a, a').

Sur la ligure, nous avons limité lagénérati'ice ^u plan horizontal de projection et au plan du cercle de gorge; mais elle doit être considérée comme indéfinie.

198. Prolongeons la droite «e jusqu'à sa seconde rencontre avec la trace de la surface en a,, relevons ce point en a\ sur la ligne de terre, et traçons la droite u\e' : les deux droites {ae, a'e') et (a,e, à^e) engendrent la même surface dans leur révolution autour de l'axe, car on voit, par la symétrie de la figure, que deux points {p, p'), (p,,p\) situés à la même hauteur décrivent le même cercle.

Ces nouvelles génératrices rectilignes sont, comme les premières, à une distance de l'axe donnée par la ligne Oe; leurs projections sont donc aussi tangentes à la projection horizontale du cercle de gorge, ce qu'il était facile de prévoir, puisque ce cercle forme contour apparent.

199. Supposons que l'on donne la projection horizontale m d'un point situé sur la surface, au-dessous du plan du cercle de gorge : en traçant la projection horizontale nmn, du parallèle qui passe par ce point, nous déterminerons, sur les génératrices initiales des deux ^v^/ràze^. les points(/2, /z')et(n,, «,) qui décrivent ce cercle, et nous obtiendrons sa projection verticale n'n\, sur laquelle nous pourrons relever la projection m' du point.

Quand le point (n, n) vient en (m, m'), la projection cine de la première génératrice, toujours tangente au cercle de gorge, prend la position smr, et l'on obtient la projection verticale correspondante s'rn'r, en relevantles points ^etr, respectivement sur A' A', et F' G'. De même, quan.l le point («,, n\) vient en (m, m'), la génératrice {atn,e,a\n\e') prend la position (s,r?ir^,s\m' r\). Il passe donc par le point(»?,m') deux génératrices faciles à déterminer : elles sont leurs

ti/ie courbe tracée sur une surface est tangente à son contour apparent, le contact s 'élève au troisième ordre sur le plan de projection .