CHAPITRE V. — SURFACES DE RÉVOLUTION. qq

delà méridienne : on voit, d'après cela, que cette courbe est une hyperbole. Cette circonstance a fait donner h la surface le nom à'/irperboloïde de révolution (').

Toute hyperbole peut être déterminée par l'équation (jui précède, au moven de valeurs convenables de l'angle «V'O et du rayon eO; il en résulte que la surface engendrée par la révolution d'une hyperbole quelconque autour de son axe non transverse admet toujours deux systèmes de génératrices rectiligiies.

205. La méridienne que nous venons de construire est de front; elle forme, par suite, le contour apparent de la surface sur le plan vertical (art. 189) et les projections des génératrices lui sont toutes tangentes. Ainsi la droite s\r\ devra être tangente à l'hyperbole au point f,, projection verticale de l'intersection de la génératrice (s,r,, s\r\) avec le plan méridien AA,. Supposons maintenant que la droite (^i/", , s\r\) tourne sur la surface, de manière que le point (/•, , r\) se rapproche de (e, e'); le point de contact cj s'éloignera, et sera à l'infini quand la droite r,5, aura pris la position ea,. La droite a\e' est donc une tangente de la méridienne dont le point de contact s'est éloigné à l'infini, c'est-à-dire une asymptote. La projection horizontale de cette ligne est Oa, ; on voit qu'elle est parallèle aux deux génératrices (ea,, e'a\), (ih, e'a\) et dans le même plan qu'elles.

Par les mêmes raisons, la droite (Oa.e'a'), seconde asymptote de l'hvperbole méridienne, est [tarallèle aux génératrices (ea, e'd), (tb,, ea) et dans le plan qu'elles déterminent.

On peut construire la méridienne en déterminant les points où les génératrices percent le plan vertical A.\,. De cette manière on obtient les tangentes à la courbe et leurs points de contact.

204. Si nous supposons que l'on fasse tourner d'un même mouvement l'asymptote Oa et les génératrices parallèles ea et zb,, ces droites resteront parallèles, et dans un même plan mobile avec elles; pendant que les deux dernières décriront la surface, la première, toujours asymptote de l'hyperbole méridienne dans les différentes positions, engendrera un cône dont le sommet sera au point (0, e), qui est le centre du cercle de gorge, des hyperboles et de la surface. On appelle ce cône cône asymptote.

Le plan {ab,, a'e'), tangent au point intiniment éloigné oii les génératrices ea et ib, se rencontrent, est évidemment tangent au cône asymptote, le long de la génératrice parallèle 0 a.

En résumé :

1" Tout hyperboloïde de révolution est asymptote d'un cône également de révolution ;

(') En Géométrie générale on considère deux liyperboloïdes de révolution : \'\in à une nappe esl celui dont nous nous occupons, l'autre à deux nappes est engendré par la révolution d'une hyperbole autour de son axe Iransverse. Nous ne parlerons pas de ce dernier, qui n'est d'aucune utilité dans les arts graphiques.

,00 I.IVHK II. - CVLINDHKS, CONES HT SURFACES DE RÉVOLUTION.

2" Ce cône est directeur pour les deux systèmes, c'est-à-dire que ses génératrices sont respectivement parallèles à celles delà surface dans les deux systèmes;

3" Les plans tangents au cône asymptote contiennent les génératrices de l'hyperboloide |)arallèles à la génératrice de contact du cône, et sont tangents à i'Iivperboloïde au point infiniment éloigné où ces droites se rencontrent.

Sections pJaiies de l'/iypcrholoidc de révolution.

!"'■ ExiiMi'Lic. — Are vertical; section cllipliqitc (Plniiche XXX.)

203. L'axe de la surface est la verticale (0, 0"L') {fig. 1 14); les projections de la génératrice considérée dans sa position initiale, que nous supposons parallèle au plan vertical, sont {ah, a'L'); enfin les traces du plan sécant sur le plan horizontal et sur le plan méridien de front sont aR et a'O'.

Des plans auxiliaires horizontaux B'[i', C'y', • ■ . coupeiTt le plan donné suivant des droites ^8, y';,..., et l'hyperboloïde suivant des parallèles 268, "icj,.... Les points de rencontre des droites et des cercles situés dans les mêmes plans auxiliaires appartiennent à la courbe; on les obtient immédiatement sur le plan horizontal, et on les relève sur les droites B'B', C'y', ... du plan vertical.

La tangente en un point (3, 3') passe parle point T, intersection de la trace Ra du plan sécant avec la trace a^a., du plan tangent (art. i99),

206. La droite (OR, OR'), intersection du plan sécant par le plan méridien qui lui est perpendiculaire, est un axe de la courbe dans l'espace; OR est également un axe de la projection horizontale; O'R' est le diamètre de la projection verticale conjugué avec les cordes horizontales (art. 193).

Les points (i , i') et (.5, 5'), où l'axe (OR, O'R') rencontre la surface, sont deux sommets de l'intersection. On les détermine facilement, lorsque la méridienne est tracée, en faisant tourner, autour de l'axe de révolution, la droite (OR, OR') de manière à la rendre parallèle au plan vertical, et en prenant alors ses rencontres avec cette courbe. Nous allons nous proposer de déterminer les sommets (i, i') et (5, 5') sans tracer la méridienne.

207. Si la droite (OR, OR') tourne autour de l'axe de révolution, elle engendre un cône dont nous pourrons construire les intersections avec la génératrice (aL, a'L') de l'hyperboloïde (art. 121 a). Lorsque les deux génératrices du cône qui passent par les points de rencontre auront été ol)lenues, en amenant successivement chacune d'elles à coïncider avec (OR, O'R'), les points déterminés resteront sur l'hyperboloïde et donneront les sommets cherchés.

Le cône engendré par la révolution d(! la droite (OR, O'R') a pour liacc le cercle RQP. Nous menons par le point (0, 0) une parallèle à («L, a'L'), cl nous déterminons sa trace horizontale g : le plan passant par le point (0, O') et par