X02 I.IVHK [I. - CYLINDRES, CONES ET SURFACES DE RÉVOLUTION

conimoiit on i)iMit |)ioinptement reconnaître son espèce, d'après la manière dont les constructions se disposent.

La droite af;\ trace liorizontale du itlan (|ui passe par la génératrice donnée et par le point (0, 0') où l'axe perce le plan sécant, peut couper le cercle PQR, trace du cône auxiliaire, le toucher ou ne pas le rencontrer : de là trois cas à examiner.

1° La droite ag coupe le cercle PQR.

A chacun des points P et Q d'intersection correspond un sommet (i, i) on (5, 5'). La courhe a donc deux sommets sur l'axe (OR, O'R').

Si l'on suppose que le plan sécant soit perpendiculaire au plan vertical {fig. ii5), les points i' et 5' seront les intersections du contour apparent avec la trace verticale S' du plan sécant, et ils limiteront, sur cette trace, la projection de la courbe. Quand ils se trouveront de côtés dilTérents de l'axe de révolution, comme cela a lieu sur la trace S', l'intersection se projettera sur le segment r'.y et sera nécessairement une ellipse. S'ils sont d'un même côté de l'axe, comme sur la trace S", le segment i". 5", étant en dehors du contour apparent, sera parasite (art. 97), et ses prolongements à l'infini formeront la projection de la courbe, qui sera évidemment une hyperbole.

D'après cela, pour connaître l'espèce de la section, il suffit de voir si les points I et 5 {Jîg. 1 14) sont d'un même côté du point 0 ou de côtés différents.

Sur \Ajig. ii4. la droite aL rencontre les génératrices OP et OQ du cône auxiliaire, l'une OP en un point p placé du côté du sommet 0 où est sa trace P, l'autre OQ en un point cj situé sur son prolongement au delà de 0. Il résulte de là que les points i et j se trouvent de côtés différents du point 0, et que la courbe est une ellipse.

Si la génératrice «L est parallèle à l'une des lignes OP et OQ, un des deux sommets qui sont sur la droite OR s'éloignera ii l'intini, et la courbe sera une parabole.

Enfin, si la génératrice aL rencontre les droites OP et OQ, toutes deux en deçà (lu point 0, ou toutes deux au delà, les sommets i et 5 se trouveront d'un même côté de l'axe, et la courbe sera une hyperbole.

2" La droite ag touche le cercle PQR.

Le plan qui contient la génératrice «L, et dont ag est la trace, touche le cône auxiliaire, et se trouve, par rapport àThyperboloïde, dans une position identique avec celle du plan sécant. Celui-ci contient donc une génératrice, et, comme la section est symétrique par rapport à OR, on voit (|u'une seconde droite appartenant à la surface s'y trouve également contenue : le plan est tangent à leur point de rencontre.

Dans l(^ cas que nous examinons, les droites OP et OQ sont confondues, et les deux sommets sont réunis en un point où se croisent les deux droites qui forment

CHAPITKt: VI. - INTERSECTIONS DE SURFACES COURBES. io3

la section. Ce point disparaitrait à l'inlini. et les droites seraient parallèles, si la droite sur laquelle OP et OQ se réunissent était parallide à la ijénératrice ah.

3" La droite ag ne rencontre pas^ le cercle PQR.

Dans ce cas. la droite OR est un axe sans sommets, un axe non transverse, et par suite la courbe est une hyperbole. Nous allons examiner ce cas, qui nous donnera une occasion d'étudier directement la question dos branches infinies et des asymptotes.

On peut encore déterminer l'espèce de la conique en cherchant à construire ses asymptotes. Nous donnons, dans l'exercice suivant, un exemple de cette manièi'e d'opérer.

Il' ExE-MPLE. — Axe vertical; section Itypertjolujuc. {Planche XXXI.)

211. L'axe de la surface est la verticale (0, O'O"}; la génératrice considérée dans sa position initiale parallèle au plan vertical est {af, af')\ enfin les traces du plan sécant sur le plan horizontal et sur le plan méridien de front sont Rx et O'a'.

Nous déterminons, comme précédemment, l'axe (OR, O'R'j de la courbe, et nous cherchons les points où il coupe la surface (art. 207). Nous trouvons que le cercle décrit du point 0 comme centre, avec OR pour rayon, trace du cône auxiliaire, ne rencontre pas la droite a^, trace du plan qui passe par le sommet du cône et qui contient la génératrice (a/, «'/'). Nous en concluons que l'axe (OR, 0'R')est non transverse, et que l'intersection est une hyperbole (art. 210).

212. La considération du cône asymptote va nous conduire à la même conséquence, et aura d'ailleurs l'avantage de nous faire trouver les asymptotes de la courbe.

Pour que l'intersection ait un pointa l'infini, il faut que le plan sécant, soit parallèle à l'une des positions de la génératrice (aa,, a'a\), et par suite à une génératrice du cône asymptote (art. 204).

La trace a,mr d'un plan parallèle au plan sécant, et passant par le sommet (^0, y"') de ce cône, coupe sa trace a„r/« en deux points retm; les génératrices Or et Om sont donc parallèles au plan sécant, et, par suite, l'intersection a deux points à l'infini. Si la droite a, mr avait été tangente à la trace du cône asymptote, la courbe aurait eu un seul point à l'infini; elle n'en aurait pas eu si la droite n'avait pas rencontré le cercle.

Il est facile de déterminer la position r^s^ prise par la génératrice a«,, quand elle est devenue parallèle à Or. Le plan tangent à l'hyperboloide au point de cette droite situé à l'infini a pour trace la droite /-.r. tangente en rl\ la trace du cône asymptote (art. 204, 3°). L'asymptote de l'hyperbole, étant dans ce plan

lo4 LIVUK II. - CVLINUHliS, CONES ET SL'IU'ACES DE RÉVOLLTIOiN.

et dans le plan sécant, passe par le point r, où les traces se coupent : c'est la droite (r^s.^, r'^sD parallèle à (/'i*,, f\s\).

On trouve de la même manière une autre asymptote («.,«/.), fi'.,m'.j parallèle à la génératrice du cône projeté sur 0/n. (les deux asymptotes se coupent en un point (I, F) de l'axe (OR, O'R').

On détermine la courbe par points, comme précédemment; sa projection horizontale doit être tangente au cercle de gorge et sa projection verticale à l'hyperbole méridienne. Si l'on veut avoir l'axe transverse, il faut faire passer un plan horizontal par le centre (1, 1').