LIVRE II. — CYLINDRES, CONES ET SURFACES DE RÉVOLUTION

autre génératrice G', et supposons qu'on le fasse tourner autour de G, de manière que G' se rapproche de cette droite; le point N s'avancera vers M, et le plan deviendra au même moment osculateur à la courbe et tangent au cône.

La même propriété existe évidemment pour le cylindre.

217. Supposons maintenant que l'on rapporte une courbe gauche à deux plans coordonnés, dont un, le plan horizontal, lui soit osculateur en un point 31 (^fig. 120), et considérons deux points A etB situés sur la courbe près de M et de côtés différents : ces points sont l'un au-dessus et l'autre au-dessous du plan horizontal (art. 214); leurs projections verticales A' et B' sont l'une à gauche et l'autre à droite de la verticale du point M'; enfin la projection A'jM'B' doit être tangente à la ligne de terre XY qui est la projection de la tangente TM. Ces diverses conditions exigent que la ligne A'M'B' ait une inflexion en 31'.

Sur un plan vertical perpendiculaire à la tangente TM, les projections A" et B' sont d'un même côté de la verticale du point M". Les autres circonstances étant d'ailleurs les mêmes que précédemment, la courbe A"M"B" a nécessairement un rebroussement de première espèce dont la tangente estX, Y,.

Dans ce dernier cas, la ligne de terre n'étant plus la projection de la tangente ÏM", il peut être utile de démontrer directement qu'elle est tangente à la courbe M" A". Pour cela, nous remarquerons qu'un plan passant par la tangente MM" et par le point (A, A") coupe le plan X, Y, suivant la droite M"A", et que, si ce plan tourne de manière que le point A arrive en M, la droite M" A" viendra se confondre avec la ligne de terre X, Y,.

En résumé, laprojection d'une courbe gauche sur un plan perpendiculaire à l'un de ses plans osculaleurs présente une inflexion au point correspondant . Si le plan devient perpendiculaire à la tangente de la courbe, l'inflexion se change en un rebroussement de première espèce. La tangente à l'inflexion ou au rebroussement est la trace du plan osculateur sur le plan de projection.

Le cylindre qui projette la courbe sur le plan X, Y, a un rebroussemenl le long de la tangente ÏMM"; par conséquent, lorsque la directrice d'un cylindre (ou d'un cône) est tangente à l'une des génératrices, la surface présente un rebroussement le long de cette droite.

217 a. La courbe gauche AMB (flg. 120) et sa projection A"M "B" se correspondent point à point. La projetante qui aboutit au point 31", étant tangente à la courbe gauche, doit être considérée comme passant par deux points de cette ligne, et par suite on doit regarder le point de rebroussement M" comme un point double de la courbe A"B".

21s. Quand on projette une courbe gauche sur un plan perpendiculaire à une droite (jui la rencontre en deux points, on obtient une ligne ayant un point double, telle que celle qui est représentée sur hflg. 69. Si l'on suppose que la sécante se meuve; de manière que la corde interceptée par la courbe soit de plus