CHAPIÏKE VI. — INTERSECTIONS DE SURFACES COURBES

en plus petite, la feuille formée par la projection sur un plan perpendiculaire sera de plus en plus resserrée, et enfin, quand la sécante sera devenue tangente, la feuille se trouvera réduite à un point, et la projection aura un rebroussement. comme nous l'avons reconnu par d'autres considérations.

11 est d'ailleurs facile de voir que, quand un cône a un rebroussement le longd'une génératrice, une courbe tracée sur la surface ne peut traverser cette droite, sans avoir de rebroussement, qu'en lui étant tangente.

219. Les résultats que nous avons obtenus à l'article 217 sont soumis à certaines restrictions : si la courbe gauche n'était pas traversée par son plan osculateur au point considéré M {fig. 121), la projection A'B' serait entièrement d'un même côté de la tangente XY, et le rebroussement sur un plan perpendiculaire à la tangente TM" serait de seconde espèce.

Nous avons vu (art. 214-) qu'une courbe était d'un même côté de son plan osculateur quand, par suite de sa forme particulière, deux points de rencontre N et P {fig. 118) se réunissaient au point de contact M, de sorte qu'elle avait en commun avec le plan quatre points réunis en un seul. Dans ce cas, la projection A'B' {fig- 121) sur un plan perpendiculaire au plan osculateur doit avoir sur la tangente XY quatre points réunis en un seul M' : le contact est donc plus intime d'un degré (jue dans le cas d'une inflexion, et le rayon de courbure est également infini, c'est-à-dire qu'un cercle tangent àXYen M' nepourrait, quelque grand que fût son rayon, se trouver entre la courbe A'B' et la tangente, sur une petite longueur voisine du point M'.

220. Les deux bras M" A" et M"B" {fig- 121) du rebroussement de seconde espèce se superposent quelquefois; alors la projection s'arrête brusquement en M", mais une partie parasite la continue si la courbe est géométrique.

Supposons, par exemple, que l'on cherche l'intersection du cylindre vertical dont la trace horizontale est B {fig- 122), avec le cylindre dont la trace est A sur le plan vertical, et qui est perpendiculaire à ce plan. On trouve une courbe fermée qui se projette sur les arcs nmn^ et jn'n m\. Sur ces arcs un point tel que eest la projection de deux points de la courbe, et chacune des extrémités ri, n,, m' et in\ correspond à un seul point où la tangente de l'intersection est perpendiculaire au plan de projection. On voit que des parties parasites nin,, m'jin\ prolongent géométriquement les arcs utiles.

221. Si l'on projette une courbe ayant une branche infinie sur un plan P perpendiculaire à son asymptote MM, {fig- laB), la trace m de cette droite sera la projection du point de la courbe situé à l'infini.

Considérons un plan Q passant par l'asymptote, et faisons-le tourner autour de cette droite; lorsque le point N où il coupe la courbe aura disparu à l'infini, le plan sera osculateur à l'infini, et sa trace TT' sera tangente à la projection AB de la courbe.

Io8 UVRK II. - CYLINDRES^ CONES ET SURFACES DE RÉVOLUTION.

Si le plan Q continue à tourner, le point de section N reparaîtra sur l'autre bras de la courbe en revenant de l'infini; on voit que la projection AB ne présente pas de rebroussement. Pour qu'il y en eut un, il fluulrait que les deux bras fussent d'un même côté de l'asymptote, c'est-à-dire qu'il y eût inflexion à l'infini (art. 185). Alors, si les deux parties qui forment le rebroussement se superposaient, le pied de l'asymptote serait un point d'arrêt de l'arc utile de la projection, et une partie parasite la prolongerait.

222. La projection d'une asymptote, lorsqu'elle n'est pas réduite à un point, est asvinptote de la projection de la courbe.

Si la projection d'une courbe a une asymptote rectiligne, le cylindre projetant aura un plan asymptote, mais l'asymptote de la courbe peut être tout entière à l'infini dans ce plan; il peut arriver aussi que la branche infinie de la projection soit parasite à partir d'un certain point. On voit qu'une courbe sans asymptote, et même une courbe fermée, peut avoir pour projection sur un plan une courbe avec asymptote.

Les notions que nous venons de donner sur la projection des courbes gauches sont très importantes. Si on ne les possède pas bien, on sera souvent embarrassé, dans le tracé des épures, pour se rendre compte des formes des courbes projetées.

Intersections de cônes et de cylindres.

225. Poui' construire l'intersection de deux cônes, d'un cône et d'un cylindre. ou de deux cylindres, on emploie une série de plans auxiliaires disposés de manière à couper les surfaces suivant des génératrices. Ces droites donnent par leurs rencontres des points de la courbe de section. Nous examinerons successivement dilTérents cas, de manière à donner la solution de toutes les difficultés.

I" Exemple. — J ntci-scciioa d'un cylindre et d'un cône. — l'c'nétration. — Courbex jernices. ' {Planche XXXIII.)

224'. Un cône a son sommet au point (S, S') {Jig. 124); sa base bpqc... est sur le plan horizontal de projection; on doit faire dans ce corps un trou qui permette d'y passer le cylindre dont la trace horizontale est m,nm... et dont la direction est indiquée par la droite (w,!},, ///, B, ). On demande de tracer les projections des arêtes formées par l'intersection des deux surfiices.

221 a. LA/ig. b, PL LUI, est une perspective représentant un cylindre et un cône ayant leurs bases dans le plan horizontal P, et les constructions pour déterminer la courbe d'intersection et ses tangentes. Nous conseillons au lecteur de suivre les constructions sur cette perspective en même temps que sur l'épure.