CHAPITRE VI. - I.^TERSECTIO^S DE SURFACES COURBES. loq

Là fi g. cl. Pi. LIV, montre comment on doit disposer les constructions lorsque la trace du cône est donnée dans le plan vertical et celle du cylindre dans le plan horizontal.

224 b. Par le sommet (S, S') du cône nous faisons passer une droite (SK, S'K') parallèle aux génératrices du cylindre, et nous déterminons sa trace horizontale K. Toute droite passant par ce point, telle que Ko, peut être considérée comme la trace d'un plan qui contient la droite (SK, S'K'), et qui, par conséquent, est parallèle au cylindre et passe par le sommet du cône, l.es génératrices des deux surftices qui ont leur trace en m, m, et en 6,0 sont dans ce plan, et, par suite, se rencontrent. On obtient ainsi quatre points (B, B'), (C, C), (B,,B;)et(C,,C;).

223. Si l'on veut avoir les points situés sur une génératrice déterminée, il faut opérer sur la trace du plan auxiliaire qui la contient. Ainsi, en joignant le point K au point /, on détermine sur la trace du cylindre les points «' et r, qui font connaître les points L et L, où la génératrice S/ rencontre la courbe. Cette ligne est une des deux droites qui forment le contour apparent du cône, et par suite elle touche l'intersection en L et en L, sur la projection horizontale.

226. La tangente en un point quelconque (B, B') est l'intersection des plans tangents aux deux surfaces le long des génératrices qui s'y croisent; elle passe donc par le point E, où leurs traces mE et hE se coupent : ses projections sont ainsi EB et E'B'.

On ne peut pas opérer de la même manière pour la tangente au point (C, C), parce que les droites mE et cG, traces des plans tangents, ne se rencontrent pas dans le cadre de l'épure; alors nous coupons ces deux plans par un troisième contenant la droite (SK, S K') : sa trace est une droite KFG passant par le point K, et d'ailleurs quelconque; ses intersections avec les plans tangents sont la droite (FI, ET) parallèle aux génératrices du cylindre, et la droite (GS, G'S') passant par le sommet du cône. Leur point de rencontre (I, I') appartient à la tangente en (C, C).

Si cela avait été plus commode pour les tracés, on eût pu couper les plans tangents par un plan horizontal ou par un plan parallèle au plan auxiliaire dont la trace est Kc. Nous donnerons (art. 253 et 250) des exemples de ces constructions.

227. La droite K«, tangente à la trace du cylindre, rencontre la trace du cône en deux points /jet q. Les génératrices qui percent le plan horizontal sur Vavcpq ne sont pas coupées par le cylindre; la courbe ne s'étend donc de chaque côté que jusqu'aux droites (Sjo, S'yo'), (S^, S'y'), qui lui sont par conséquent tangentes. 11 est facile de voir que les génératrices qui sont au delà rencontrent deux génératrices du cylindre, tandis que celles-ci coupent seulement celle qui est projetée sur nPQetn P'Q'. Ces deux génératrices sont à\\.GS> génératrices-limites.

IIO I.IVKK II. - CILINDKES, CONliS ET SUHKACliS DE RÉVOLUTION.

La tangente K/^, fait trouver sur le cône deux autres génératrices limites (S/>,, S'/^i). (Sy,, Sy',). Les traces des plans auxiliaires qui rencontrent les deux surfaces sont comprises dans l'angle nYin^. La trace du cylindre est tout entière dans cet angle, et par suite toutes les génératrices du cylindre rencontrent le cône en deux points. L'intersection se compose ainsi de deux parties distinctes qui sont situées sur les secteurs coniques/;, S/j et (7,8(7; quand cette disposition se présente, on dit qu'il y ^pénétration .

Quelquefois le deuxième /?/«« limite n'est pas langent à la même surface que le premier. Nous examinerons bientôt ce cas.

227 a. On se propose quelquefois de déterminer le point le plus bas et le point le plus liant de l'intersection, c'est-à-dire ceux auxquels la tangente est horizontale. Il faut pour cela chercher un plan sécant auxiliaire qui coupe les traces horizontales des'surfaces en deux points où les tangentes soient parallèles. On y parvient après un court tâtonnement, que l'on peut régulariser par une courbe d'erreur, dans le genre de celle que nous avons construite pour trouver, sur la section plane d'une surface de révolution, les points où la tangente est perpendiculaire à la ligne de terre (art. 196).

En général, on emploie une courbe d'erreur pour les problèmes que l'on ne sait pas résoudre directement, mais dont on pourrait vérifier la solution si elle était connue.

228. Nous avons représenté sur \'Ajig. 12 > la partie du cône qui est enlevée par le cylindre, ou, si l'on veut, le volume qui serait commun aux deux corps s'ils étaient l'un et l'autre en relief. Sur chaque projection, le périmètre se compose de quatre droites appartenant aux génératrices qui forment le contour apparent des surfaces, et de quatre arcs de la courbe d'intersection.

Quelques sections de la surface par des plans auxiliaires ont été tracées en Irait plein.

11° E-\EMi'Li;. — liilcr.sectLoii de deii.v cùntw. — .Irraclieinciit. — Courue jcrmec. (Planche XXXII.)

229. hiijig. 12G représente un cùne en relief, dans lequel une entaille est faite par un autre cône.

229 a. La /ig. h, PL LV, est une perspective cavalière représentant deux cônes dont les bases sont dans le plan horizontal P, et les constructions pour obtenir leur intersection. Le cône T pénètre dans le cône S.

Liijig. g. Pi. LV, est une perspective cavalière représentant deux cônes dont les bases sont l'une dans le plan horizontal et l'autre dans le plan vertical, et les constructions pour obtenir leur intersection.

229 b. Les sommets et les traces horizontales des cônes étant donnés, on