Df, l\ CniBNKRiF. — Descriptive. l

I l\ I.IVHE II. i.VLINDRES, CONES KT SURFACES DK RÉVOLUTION.

confonde avec le sommet (T, J ) de l'antre cône. Les génératrices parallèles des deux surfaces se superposent, de sorte que chaque point de rencontre des traces, après la translation, indique une couple de génératrices parallèles dans les cônes considérés.

Une génératrice (|iielconque (Sr/i,, ^ m\ ) du cône (S, S') est transportée parallèlement à elle-iuénie dans le [)lan auxiliaire qui la contenait; elle perce successivement le plan horizontal en différents points de la droite Kw,IM,, et elle s'arrête à la position (TM,, T M, ). Les rayons vecteurs KM, etKm, de deux points homologues des traces du cône, avant et après sa translation, sont dans le rapport constant de KT à KS. Ces courbes sont donc homothétiqiies, ce que nous pouvions prévoir (art. 179); le point K est le centre de similitude; les points S et T sont homologues. On voit, d'après cela, que la nouvelle courbe M,J, est facile à construire.

La trace du cône transporté rencontre en deux points 1, et J, la trace du cône fixe. Nous menons les lignes I.K et J,K, et nous déterminons deux couples de génératrices parallèles (fl,, T'I',), (SI, ST) et (TJ,, Ti\), (SJ, S'J').

Si l'on fait passer un plan par la droite des sommets, et qu'on le fasse tourner autour de cette ligne, de manière que sa trace approche de la position Kl, l'occupe et la dépasse, deux des génératrices qu'il contient tendront au parallélisme, l'atteindront et prendront ensuite une convergence en sens contraire de la première. Le point mobile, par lequel on peut concevoir que la courbe est décrite, s'éloigne donc, passe à l'infini et réparait sur les nappes opposées des cônes.

La même circonstance se présente quand la trace du plan mobile arrive à la position KJ. Nous voyons ainsi que la courbe a deux branches infinies, autant qu'il y a de couples de génératrices parallèles.

258. Les asymptotes de la courbe sont déterminées, comme ses autres tangentes, par l'intersection des plans tangents aux deux surfaces le long des génératrices parallèles. La trace horizontale de l'une des asymptotes est au point /, où se rencontrent les tangentes li et I,i, traces des plans tangents le long des génératrices parallèles (SI, SI) et (TI,, T'I',); l'asymptote est d'ailleurs parallèle à ces génératrices, parce qu'elle les rejoint à l'infini. Ou peut donc tracer ses projections «, et i'i". L'autre asymptote (JJ, ,j'j") est obtenue de la même manière.

Les cônes étant limités aux plans horizontaux i"j" eta^'K', la courbe s'arrête aux points (X, A'), ( a, u.' ), (r,, •/]') et (s, t'). Nous l'avons tracée sur la projeclion liorizon(al(! un peu iMi delà de ces jjoints, mais avec une ponctuation différente.

259. Les traces des plans liiiiiles soiU K/;/m'( Kr//; la hase de clia(|ue cône est touchée par une de ces droites et coupée par l'aiilre. Il y a donc arrachement, et l'intersection se compose, non pas de deux coiirhcs rompagnes, mais d'une seule

CHAPITHE VI. — INTEKSECTIOAS UE SURFACES COURBES. I l5

courl)e ayant deux points à l'iiitini, ce qui ne détruit pas la contiiuiité. La projection horizontale de l'intersection est wYiEcorXEBPaB, h^oom. Si l'on rapporte cette courbe à une origine fixe R et à un axe tixe SK, on pourra passer d'un point quelconque à un autre, en taisant varier le rayon vecteur et l'azimut d'une manière continue.

S'il y avait pénétration, l'intersection se composerait de deux courbes formant un groupe géométrique, mais distinctes. Il pourrait y avoir des branches infinies sur l'une de ces lignes seulement ou sur les deux.

240. La trace «d'une asymptote, étant le point de rencontre de deux tangentes aux bases, se trouve nécessairement en dehors de ces courbes lorsqu'elles sont des cercles, des ellipses ou d'autres lignes sans inflexion. Une asymptote est ainsi extérieure aux cônes; cependant elle peut se trouver sur l'un d'eux : cela arrive quand les génératrices parallèles sont dans un plan limite. Si, par exemple, les génératrices Sn et Tp étaient parallèles, le point P irait à l'infini, et la génél'atrice ïp, toujours tangente à la courbe d'intersection, deviendrait asymptote.

241. Si la base du cône fixe et celle du cône transporté se touchaient en I,, les plans tangents le long des génératrices SIetTI, seraient parallèles, et l'asymptote disparaîtrait à l'infini. Ainsi la branche infinie qui correspond à un point de rencontre des traces des cônes après la translation est hyperbolique ou parabolique, suivant que ces courbes se coupent ou se touchent. Dans ce dernier cas, il est facile de reconnaître que la convergence des génératrices dans les plans auxiliaires est, en général, dans le même sens en deçà et au delà de la position qui correspond aux génératrices parallèles. Les deux bras d'une branche parabolique sont ainsi sur les mêmes nappes des deux cônes (' ).

242. Nous n'avons considéré que le cas où les traces horizontales des cônes sont des courbes fermées. Lorsqu'elles ont des branches infinies, elles peuvent se rencontrer à l'infini : cela a lieu notamment quand elles ont des asymptotes parallèles. Les plans passant par une asymptote et par le sommet du cône correspondant touchent respectivement les surfaces le long de génératrices qui sont horizontales et parallèles. L'intersection de ces plans est asymptote de la courbe suivant laquelle les cônes se coupent.

Nous croyons ne pas devoir entrer dans plus de détails sur ce cas exceptionnel. On pourra lever les petites difficultés qu'il présente en déterminant les traces des cônes sur un plan vertical convenablement choisi.

(')Par une discussion géométrique 1res simple, on reconnaît que, pour que les deux bras d'une branche parabolique ne soient pas sur les mômes nappes, il faut que le contact des traces des cônes après la translation s'élève au second ordre.

On peut dire, d'une manière plus générale et sans rien spécifier sur la nature d'une branche infinie, que ses deux bras sont sur les mêmes nappes des cônes, quand les traces de ces surfaces, après la translation, ne se traversent pas au point commun.

I itj LIVRE II. - CVLI.NUKES. CONES ET SURFACES DE KEVOLLTIO.N.

V' Exemple. — Inlerrectioii d'un cane et d'un ctlindre. — Deux brwiclies infinies. (Planche XXXril.^

245. Dans le cas d'un rone et il'uii cyliiuhe, pour (lue la courbe d'intersection ait des branches infinies, il faut que l'une des génératrices du cône soit parallèle à celles du cylindre. Cette condition est remplie pour les surfaces représentées sur la^^. i3i, la génératrice (SK, S'K') du cône étant parallèle aux génératrices du cylindre.

243 a. Lafig. c, PL LIV, est une perspective cavalière permettant de suivre plus facilement les constructions exposées dans les articles suivants.

243 b. Une droite quelconque passant par le point K, telle que me, peut être prise pour trace d'un plan auxiliaire. Les génératrices du cylindre qui percent le plan horizontal en è et en c rencontrent donc la génératrice du cône, qui a sa trace en m ; on obtient ainsi les points (B, B') et (C, C) de l'intersection.

Si l'on fait tourner la liîjne /tzc autour du point K, on obtiendra une série de points qui se relieront a( B, B' )elà('C, C ), de manière à former la courbe. Quand le point m sera devenu voisin de K, la génératrice (Sm, S'm' ) rencontrera le cylindre en un point très éloigné; enfin, lorsque la génératrice mobile sera confondue avec (SK, S'K'), la trace du plan auxiliaire sera la tangente IJ; on voit que les génératrices du cylindre qui passent par les points I et J rencontrent le cône à l'infini.

La génératrice SK du cône est dans tous les plans auxiliaires; elle rejoint à l'infini toutes les génératrices du cylindre, mais celles qui ont leurs traces en I et en J sont les seules qui ne rencontrent le cône qu'à l'infini, et dont les points à l'infini fassent transition entre des bras indéfinis de la courbe situés sur les deux nappes de la surface.

Il suit de là que le nombre des bnmcbes infinies est égal à celui des points où la tangente de la trace du cône au point K rencontre la trace du cylindre. Sur la fig. i32, la taniïente KT ne coupe pas la trace A, et la génératrice ( SK, S'K'), bien que parallèle au cylindre, ne doit pas déterminer une branche infinie. On voit, en efl'et, que l'intersection ne s'étend que sur les génératrices qui rencontrent le plan horizontal aux différents points de l'arc car/ compris entre les plans limites.

244. Revenons à \a/ig.i'j\ : les asymptotes sont les sections du plan tangent au cône le long de la génératrice ( SK, S K », par les plans tangents au cylindre le long des génératrices (I/, 11"^ et i Jy. J J », c'est-à-dire que ce sont ces génératrices elles-mêmes.

Au premier abord, ce résultat parait en opposition avec celui que nous avons obtenu dans le cas de deux cônes (art. 240^, mais il y a f ii réalité une concor-

CIIVPITRE VI. — INTERSECTIONS DE SURFACES COURBES. I in

(lance parlaitL'. parce que la droite IKJ coupe une base et touche l'autre, et que, par suite, les génératrices qui déterminent les points à l'intini de la courbe sont dans un plan qui a le caractère de plan limite.

Si l'on projette l'intersection sur un plan perpendiculaire au cylindre, on aura la section droite de cette surface. Les génératrices asymptotes sont les projetantes des points situés à l'infini (art. 221 ). On voit ainsi qu'une courbe tracée sur un cylindre dont la directrice est fermée ne peut avoir une asymptote rectiligne qui ne soit pas une génératrice de la surface.

245. Le cas que nous venons de traiter n'est, à proprement parler, ni une pénétration ni un arrachement; il se rattache cependant à cette dernière disposition, car l'intersection est formée d'une seule courbe composée de deux parties qui se rejoignent à l'infini. Elle passe par les points (X, À'), (a, u.'), (r;, r/) et (e, £ ), où les bases supérieure et inférieure des surfaces se rencontrent. Nous l'avons prolongée sur le plan horizontal au delà de ces points, mais avec une ponctuation diflërente. La projection horizontale de l'intersection est

246. Nous avons construit les tangentes aux points (B, B ) et (C. C). Pour ce dernier, nous avons employé la méthode expliquée à l'article 226. Les tangentes cG et mF. se rencontrant en dehors du cadre de l'épure, nous les avons arrêtées ii une droite FKG, que nous considérons comme la trace d'un plan passiint par le sommet du cône, et parallèle au cylindre; ses intersections avec les plans tangents à ces surfaces sont la droite (FS. F'S') qui passe par le sommet du cône, et la droite (GV, G'V parallèle au cylindre : leur point de rencontre (V, V) appartient à la tangente.

M'^ EkE-MPLi:. — [niersection (le deux coiter. — Pénétration. — Deitx liranchex infimes, et xur lui des plans de projection deux parties parasites. ( Planche XXXyiII.')

247. La droite DSTK, parallèle a la ligne de terre, est un axe des deux courbes (iJEJ, et Di/F»/,, traces horizontales des cônes. Les sommets sont dans le plan vertical qui a cette droite pour trace.

Nous déterminons d'abord le point K, d'où doivent diverger les traces des plans auxiliaires. Nous transportons ensuite le premier cône parallèlement à lui-même, de manière que son sommet (S, S') coïncide avec le sommet (T, T) (lu second (art. 257). Sa nouvelle trace ge est semblable à l'ancienne; elle rencontre la trace du cône resté fixe en deux points I et I,, symétriquement placés par rapport à la droite DK : nous trouvons ainsi deux couples de génératrices parallèles TL SJ et Tl,, SJ,, et par suite deux asymptotes wt, co^", . Les génératrices qui ont pour projections horizontales les droites TI et TI, sont représentées sur le plan vertical par une seule (li'oite T t . Les génératrices corres-

I i8 l.UKl-: II. — CYLI.NDRICS, CONES ET SLKIACES DE RÉVOLUTION.

pondantes du second cône ont également une projection verticale comniunc S .1 . Enfin une seule asymptote i' i" est la projection des deux asymptotes de l'inteisection.

Sur le plan vertical nous avons indiqué les deux nappes des cônes, mais sur le plan horizontal la |)onctuation a été établie dans la supposition que ces corps étaient limités à leur sommet.

248. Les deux cônes formant un sysléine symétrique par rapport an j)laM vertical dont la trace est DK, on peut obtenir la projection verticale complète en ne considérant que l'une des deux moitiés de ce système, par exemple, celle qui est en avant du plan vertical DK. La courbe dans l'espace se trouve ainsi limitée à ce plan, et les points où elle le coupe sont des arrêts pour sa projection. Ces points a', fl', y' et o' sont ceux où se rencontrent les génératrices qui forment le contour apparent des surfaces.

Si les traces des cônes sont des courbes géométriques, la projection de l'intersection sera également une courbe géométrique, et les points d'arrêt limiteront seulement ses parties utiles.

249. On sait que, quand deux sur/aces du second degré ont un plan principal commun, la projection de leur intersection sur ce plan est une conique.

Dans le problème qui nous occupe, les traces horizontales des cônes sont un cercle et une ellipse, et par suite ces surfaces sont du second degré; le plan vertical de projection est d'ailleurs parallèle au plan principal KD; en conséquence, et d'après le théorème que nous venons de rappeler, la projection verticale de l'intersection est une conique. Nous avons trouvé qu'elle avait une asymptote : c'est donc une hyperbole dont la seconde branche infinie est parasite.

Lorsqu'une hyperbole est coupée par une droite, les segments interceptés entre la courbe et ses asymptotes sont égaux. D'après cela, si nous prenons les longueurs y' a" et y'p", respectivement égales à y'a' et Y'"[i}', nous aurons deux points a" et ^" de la seconde asymptote.

La courbe a deux parties parasites qui s'étendent l'une de y' à o', et l'autre de |îi' à a', en passant par l'infini. Nous les avons indiquées par un trait composé d'éléments de lignes séparés par deux points. Un peut les construire d'après les propriétés spéciales de l'hyperbole.

250. Nous ne croyons pas nécessaire de revenir sur la détermination par points des projections de l'intersection. Les traces K«, K//, des plans limites touchent la base du premier cône et coupent celle du second; il y a donc pénétration. L'une des courbes compagnes est la ligne fermée (aQyQ,, a'Q'y'); l'autre a deux branches infinies.

Les génératrices limites ont leurs traces horizontales aux points/^, y, p^ etr/,.