CHAPITRE VI. — INTERSECTION? DE SLRFACES COURBES. Il

Observations générales .

2ol. Nous n'avons pas donné de règle pour distinguer, sur chaque projection de l'intersection, les parties vues de celles qui sont cachées; il ne serait peut-être pas facile d'en avoir une qui tut applicahle dans tous les cas, et d'ailleurs elle aurait peu d'utilité, car, dans les exercices graphiques, on doit toujours se rendre un compte exact des formes des objets représentés. En montrant, comme nous l'avons fait sur les PL XXIII, XXIV et XXV, une même intersection dans des hypothèses différentes sur la nature des cônes et des cylindres, nous avons donné des exemples qui indiquent comment ces questions doivent être analysées.

Si l'on a besoin de connaître les transformées de la courbe d'intersection, dans le développement des deux surfaces, on opérera comme il est expliqué aux articles lo8 et suivants pour le cylindre, et à l'article 178 pour le cône.

Les données ne sont pas toujours disposées comme nous l'avons supposé. Dans quelques épures de Stéréotomie, on détermine l'intersection de deux cylindres horizontaux dont on a les sections droites rabattues sur le plan horizontal. La marche à suivre consiste, dans tous les cas, à couper les surfaces suivant des droites, par des plans convenablement disposés. Les petites modifications qu'il faut apporter quelquefois aux tracés ne méritent pas de nous occuper actuellement.

Aotions générales sur la courbe d' intersection de deux surfaces du second ordre.

251 a. La ligue (l'intersection C de deux surfaces du second ordre A et B est du quatrième ordre; en d'autres termes, cette courbe est coupée par tout plan en quatre points qui peuvent être deux à deux imaginaires. On le reconnaît en remarquant qu'un plan coupe les deux surfaces suivant deux coniques dont les points communs sont les rencontres de la courbe C avec le plan. Or on sait que deux coniques situées sur un même plan ont quatre points d'intersection.

Il existe une autre courbe gauche du quatrième ordre qui est dite Ae seconde espèce, et dont nous n'aurons pas à nous occuper.

La projection y de C sur un plan quelconque, que nous pouvons supposer horizontal, est coupée en quatre points par toute droite A tracée sur ce plan, car un plan vertical passant par A coupe C en quatre points dont les projections sont les rencontres de A avec -;. La courbe y est donc du quatrième ordre.

I2(» I.IVIiK II. - CVI.INDRES. CONES ET SIIIFACES DE RÉVOI.I TION.

Le raisoiiuciiiciil (jiii prcei'de iikiiiIic ([uc la projection iriiiic coui'he gauche sur un plan est, en général, du même ordre que la courbe elle-même.

ii.'il 1). Les figures de \i'\ à i33 sont relatives à des intersections de cônes du second ordre; elles montrent que la courbe y a quelquefois des points doubles. 11 est intéressant de savoir quel peut être leur nombre.

Nous appelons P et Q les plans diamétraux conjugués aux cordes verticales dans les surfaces A et B, et R l'intersection de ces plans. Un point double dey correspond à une corde verticale de C (art. 218); le milieu de cette corde appartient aux plans P et Q et par suite à leur intersection R. Par cotte droite nous faisons passer un plan vertical, qui coupe les surfaces A et B suivant des coniques U et V dans lesquelles la droite indéfinie R est un diamètre conjugué aux cordes verticales. Les deux coniques se coupent en quatre points M, et ]\L, N, et Nj, qui se projettent sur deux points doubles a et v de la courbe y. Nous voyons que cette courbe a en général deux points doubles, et qu'elle ne peut en avoir un plus grand nombre, à moins que les surfaces A et B ne soient tangentes l'une à l'autre, carie point de contact serait un point double de l'intersection C {fig. 128), etla projection de ce point formerait un troisième point double surfil peut arriver que les coniques U et V se touchent en un point de la droite R : deux points de rencontre M, et Ma se confondent alors, la projetante .M, Mo devient tangente en un même pointa U et à V, par suite aux surfaces A et B, et ;i leur intersection (^. La courbe y possède dans ce cas un rebroussement au point u. (art. 217). Si les coniques U et V se touchaient en deux points, la courbe y aurait deux points de rebroussement.

Les quatre points communs aux courbes U et V peuvent être imaginaires deux à deux. La courbe y peut ainsi n'avoir qu'un point doiibI(>, et même en être complètement dépourvue (' ).

251 c. Quand les surfaces A et B ont une génératrice rectiligne commune D, la courbe C, qui avec D forme l'intersection du quatrième ordre, ne coupe un plan qu'en trois points; c'est donc une courbe du troisième ordre : on l'appelle nihù/iie gauche.

La droite 1) passe par un des points de rencontre des coniques U et Y (art. 251 b). Soit N, ce point : la corde M^M., détermine sur la projection y uu point double u.. La projection d'une cubique gauche est donc une cubique plane (c'est-à-dire une courbe plane du troisii'ine ordre) ayant un point double.

(I) M. Chasles a établi le premier que la courbe •( possède deux points doubles ou conjugués (réels ou imaginaires). La démonstration que nous donnons de ce théorème est due à ïliéodoro Olivier; elle a l'avantage de conduire à des constructions possibles. Pour compléter la discussion, il faudrait examiner le cas où les coniques U et V ont une ou deux sécantes communes idéales réelles. La courbe 7 possède alors un ou deux points conjugués.