CHAPITRE \I. - INTEKSECTIO.NS DE SLIU'ACES COLHBES

Tout cùric ayanl pour directrice une cubique gauche et son sommet en un point de cette ligne est du second ordre, car un plan passant par le sommet coupe la cubique en deux autres points, et contient par suite deux génératrices du cône.

251 d. Lorsque les surfaces du second ordre A et B, qui ont une génératrice commune D, sont des cônes, chaque plan auxiliaire G (art. 223) contient la droite D et deux autres génératrices a et 6 appartenant respectivement aux cônes A et B. Le plan G détermine ainsi sur la cubique gaucbe un seul point y intersection de a et de h.

Lorsque le plan auxiliaire G tournant autour de 1) tend à devenir tangent au cône A, l'angle de a avec D diminue indéfiniment, et le point <y se rapproche indéfiniment du sommet du cône B, car ce sommet est sur la droite D. La cubique gauche passe donc par les sommets des deux cônes. Le deuxième théorème de l'article précédent pouvait faire prévoir ce résultat.

La construction de la cubique gauche comme intersection de deux cônes du second ordre peut donner lieu à des exercices graphiques intéressants.

202. On peut assez souvent simplifier la construction des projections d'une courbe d'intersection, en s'appuyant sur les propriétés spéciales des surfaces que l'on considère. C'est ainsi que nous avons appliqué à l'article 249 un théorème relatif aux surfaces du second ordre qui ont un plan principal commun.

Voici, sur les mêmes surfaces, six autres théorèmes qui sont quelquefois utiles pour les tracés.

i" Quand deux surfaces du second ordre ont une courbe plane commune, elles se coupent suivant une seconde courbe plane, qui peut se confondre avec lapremiérc, et alors les surf aces sont tangentes l'une à l'autre en tous ses points, et qui peut aussi devenir imaginaire.

■1° Quand deux surfaces du second ordre so/it tangentes l'une à l'autre en deux points non situés sur une génératrice rectiligne commune, leur intersection est le système de deux courbes planes qui se croisent au point de contact. Ces deux lignes d'intersection peuvent se confondre en une seule ligne de contact.

Quelquefois les surfaces n'ont en commun que les deuxpoinls de tangence.

Il résulte de ce théorème que, quand deux surfaces du second ordre se touchent le long d'une courbe, cette ligne est nécessairement plane. On dit alors que l'une des surfaces est inscrite, et l'autre circonscrite.

3° Quand deux surfaces du second ordre sont circonscrites à une même troisième surface de cet ordre, leur intersection (s il y en a une) est le système de deux courbes planes, dont les plans se coupent suivant la même droite que les plans des courbes de contact. Quelquefois les surf aces sont simplement tangentes en deux points.

4" Quand deux surfaces développables du second ordre (^cônes ou cylindres') sont tangentes l'une à l' autre le long d' une génératrice rectiligne, elles se coupent suivant une courbe plane. Quand les surfaces en question sont deux cônes ayant même