LIVHI-; II. - CYLINDRES, CONES ET SURFACES DE RÉVOLUTION

sommet, ou deux cy/indres. la section (s'il y en a une) est le système de deux droites situées dans un plan.

5" Deux surfaces du second ordre homothétiques ne peuvent se couper que suivant une courbe plane.

6" Quand une surface du second ordre est circonscrite à une sphère, la conique suivant laquelle elle est coupée par un plan tangent à la sphère a l'un de ses foyers au point de contact ( ' ),

Intersection d'une swffice de révolution et d'un cylindre. {Planche XXXIX.)

255. La trace horizontale du cylindre est la courbe GG,; la droite (Or, , O'/-',) fait connaître la direction de ses génératrices.

La surface de révolution est donnée par son axe, qui est vertical, et par sa méridienne de front.

Un plan horizontal C'E'O^ coupe la surlace de révolution suivant deux parallèles dont il est facile d'obtenir les projections horizontales, et le cylindre suivant une courbe identique à la directrice GG, : nous pourrions tracer la projection horizontale de cette courbe sur le plan horizontal, et déterminer son intersection avec les projections des parallèles; mais la construction serait minutieuse, et ne donnerait quelque exactitude que si elle était faite avec beaucoup de soin. Il vaut mieux opérer sur la directrice GG, elle-même, en reportant les parallèles dans la position convenable.

254. Nous amenons le plan C'E'O!, sur le plan horizontal en faisant mouvoir tous ses points sur des droites parallèles aux génératrices du cylindre. La section faite dans cette surface vient se placer sur la trace GG, ; le centre (0, 01) des parallèles C'Ol etE'O^ suit la ligne (0/-., 0'.y.,), et se place en r., : si de ce point comme centre, et avec un rayon égal à G!, G', nous traçons un arc de cercle, les points m et n où il rencontre la courbe GG,, appartiendront à l'intersection; il n'y aura plus qu'à les reporter en (2, 2') et en (i4, i4'). sur le parallèle considéré, par des génératrices du cylindre.

(1) On peut voir pour les premiers tliéorèmes les démonstrations do Chasles (Correspondance fur l'École Polytechnique ; t. III, p. SaS et suivantes) ou celles de Poncelet {Traite des Propriclcs projectives; art. 600, 601 et 603). Pour le cinquième, on remarquera que, d'après la supposition faite sur les surfaces, les termes du second degré ont dans les équations des coefficients proportionnels, et peuvent par suite être éliminés tous ensemble. Dans ce cas, l'intersection du quatrième ordre est complétée par une conique à l'infini.

Le sixième théorème est dû à Daadeliu. On peut l'établir en remarquant que les sections faites par un même plan dans la surface et dans la sphère sont tangentes en deux points. Quand le plan touche la sphère, on doit regarder qu'il y fait une section circulaire d'un rayon infiniment petit, ayant un double contact ido;il avec la conique. Le point de tangenco est, par suite, un foyer de celte courbe.