CHAPITRE VI. - INTERSECTIONS DE SURFACES COLRBES

Les droites m.i e{ n .il\ sont égales à r.,0, longueur de la projection horizontale de la partie d'une génératrice du cylindre comprise entre le plan horizontal de projection et le plan auxiliaire. On peut donc obtenir les points 2 et i4 avec exactitude, et sans tracer la projection horizontale du parallèle, en portant la longueur r.O à partir des points m et n sur des droites parallèles à r, 0. Les points 2 et i4 sont ensuite relevés sur le plan vertical, en 2' et i4'.

On obtient les points de l'intersection situés sur le deuxième parallèle contenu dans le plan auxiliaire, en traçant un cercle du point r„ comme centre, et avec un rayon égal à O'.E. Cette construction n'est pas indiquée sur la figure.

Nous avons ponctué la figure en supposant que le cylindre était enlevé.

255. Nous déterminons la tangente au point (i4, i-V). en construisant, sur le plan horizontal T'L', les traces th et ^L des plans tangents à la surface de révolution et au cylindre. Si nous supposons que la tangente C'T' du méridien de front soit entraînée dans le mouvement de révolution, sa trace T décrira un arc de cercle autour du point 0, et sera en t sur la droite 0.i4 quand le point (C, C) se trouvera en (14, 1 j'). La trace th du plan tangent à la surface de révolution est perpendiculaire à Ot menée par le point t (art. 190). La trace du plan tangent au cylindre passe par le point g, ramené de g sur «.14, et est parallèle à la tangente de la trace GG, au point n.

Intersection d'une surface de révolution et d'un cône. Planche XL.)

256. Quand le cylindre qui coupe la surface de révolution est remplacé par un cône, il faut modifier la construction en projetant sur le plan horizontal les sections horizontales auxiliaires des deux surfaces, non plus par des obliques parallèles, mais par des droites qui divergent du sommet du cône. Les sections du cône sont projetées sur sa trace, et celles de la surface sur des cercles dont on détermine facilement le centre et le rayon.

Le point (S, S') est le sommet du cône, et la courbe GG, sa trace horizontale.

Considérons le plan horizontal B'O'B, : les traces K et R des droites (SO, S'O') et (SB, S'B'), qui, venant du sommet (S, S'), passent l'une par le centre et l'autre par un point quelconque du parallèle, sont le centre et l'un des points de \ii projection conique de ce cercle (art. 185, note). Le parallèle ainsi amené sur le plan horizontal rencontre en n et en /n la trace GG, : il n'y a plus qu'à reporter ces points dans leur véritable position par les génératrices (Sn, S'«') et(Sm, S'»i'): on trouve les points (9, 9 ) et (3, 3'), qui appartiennent à l'intersection.

Nous avons ponctué la figure en supposant que le cône était enlevé.

La construction de la tangente (3.L, 3'.L') ne présente aucune difficulté. Les

121 LlVIil': II. ■- CVUNDniîS. r.ONIÎS RT SL'UKACK.S I)K hkvolution.

traces des phiiis (angciils de la siirl'aee de révoliilion et du cône au point ('i, J')

sont les tangentes /L et /;/L au cercle r?in et ii la coiiihe (jG,.

Le point le plus haut, le point le plus bas et ceux (jui sont sur les contours apparents du cône sont obtenus par l'enseinble du tracé de la courbe résultant de la détermination d'un grand nombre de points. Si l'on veut opérer avec beaucoup d'exactitude, on construira des coui'bi^s d'erreur.

Iiitcrsoction de dfiix snrjacvs de i-rvoliilioii dont /es axes .vr rciiconlvciit .

{Plainliv XLl.\

257. Nos plans de projection sont, l'un parallèle aux deux axes, l'autre peipendiculaire à l'une de ces droites : ce dernier est considéré comme horizontal.

Les axes, qui sont (0, R'O) et (OH, O'H), se coupent au point (0, 0'). Les courbes G'B'R'E', et/'G'E'H' sont les méridiennes de front des deux surfaces.

Deux surfaces engendrées par la révolution de deux courbes autour d'un même axe se coupent suivant un ou plusieurs cercles situés dans des plans perpendiculaires à cette droite. Donc, si nous prenons pour surfaces auxiliaires des sphères dont le point (0, 0) soit le centre, les surfaces considérées étant de révolution autour de chacun des axes OR' et O'H', leurs intersections avec les surfaces considérées formeront deux séries de cercles qui se projetteront sur le plan vertical suivant des droites respectivement perpendiculaires aux deux axes.

Un arc de cercle B'i'B" décrit du point 0' comme centre avec un rayon arbitraire peut être considéré comme faisant partie, sur le plan méridien de front, de la trace d'une sphère qui a son centre au point (0, 0'), et qui coupe les deux surfaces de révolution suivant des cercles projetés sur les droites B'B" et 6'^' respectivement perpendiculaires à O'R' et O'H'. Le point M', où ces deux droites se coupent, appartient donc à la projection vei'ticale de l'intersection cherchée. On en déduit Aicilement sur le plan horizontal les points correspondants M et M, de la projection de la courbe (art. 189 ).

En traçant différents arcs convenablement espacés, on obtiendia autant de points ((u'il sera nécessaire pour bien déterminer l'intersection. On devra chercher ceux qui appartiennent au parallèle C'C", contour apparent, sur le plan horizontal, de la surface dont l'axe est vertical.

La méthode (jue nous venons d'exposer est, au fond, la même (|ue celle (|ue nous avons employée pour <lêterininer l'intiM-seclion des cônes et des cylindres, mais les surfaces auxiliaires sont des sphères et non des plans. On remarquera encoreque la facilité des constructions exige que l'un des plans coordonnés soit parallide aux deux axes, et l'autre perpendiculaire à l'un d'eux.

2o8. La courbe dans l'espace est symétrique par rap[)ort au plan vertical Jii;

CIIAI'ITIÎF. VI. INTKIÎSRCTIONS DK SI RI VCES COLHBES. 12.1

elle k' rencoiiti'o noiiiialeiiu'iit aux points ( E. E ) et ( G, G). Par suite, la |iarlic utile de sa projection verticale s'arrête bruscjucnient aux points E et G , et des parties parasites la prolongent (art. 220 et 218).

Si un cercle auxiliaire coupe les méridiennes en des points D' et d' situés en deçà de G', la construction fera trouver un point N' extérieur à la circonférence, et situé par conséquent sur les prolongements des cordes. Aucun point ne lui correspond sur la projection horizontale : il appartient à la partie parasite. On peut, en général, prolonger ainsi la courbe G'E' au delà des extrémités de l'arc utile.

Le ra\on du plus petit cercle qui rencontre les deux méridiennes est 07'; celui du plus grand O'R'. Les points P' et Q' qui leur correspondent sont les derniers que nous puissions obtenir par la méthode générale qui fait connaître la partie utile de la projection verticale de l'intersection. L'arc parasite s'étend au delà, si les méridiennes sont des courbes géométriques; mais on ne peut le tracer qu'autant que l'on connaît la loi de leur génération ( ').

Sur notre épure, les méridiennes sont des ellipses, et le plan vertical SH peut être considéré comme principal par rapport à chacune des deux surfaces. L'arc P'Q' appartient donc à une courbe du second degré (art. 249); mais on compliquerait inutilement la question si l'on voulait avoir égard à cette circonstance pour son tracé (-).

(') En preiianl pour méridiennes des courbes du second degré, M. Poncelet a montré qn'on pouvait déterminer des points au delà des extrémités P' et Q', en construisant des sécantes idéales communes aux cercles auxiliaires et aux méridiennes ( Traité des propriétés projectives ; art. 60 et 61. et Note de la page 410 de la deuxième édition).

(2) La courbe est une hyperbole, parce que les deux ellipsoïdes sont allongés; elle serait également une hyperbole si les ellipsoïdes étaient tous les deux aplatis. On trouve une ellipse quand Tune de ces surfaces est allongée et l'autre aplatie, une parabole lorsque l'une d'elles est une sphère, et une droite dans le cas de deux sphères. Quand les axes sont parallèles, la courbe est une parabole, et une ligne droite si, de plus, les ellipses méridiennes sont semblables.

Du centre des sphères auxiliaires on peut abaisser sur chaque méridienne deux normales ( réelles ou imaginaires), en outre de celles q'ui sont confondues avec l'axe de révolution. Quand ces normales sont de même, longueur pour les deux courbes, l'hyperbole se change en deux droites, ou l'ellipse en un point. On voit, en effet, qu'une même sphère est alors circonscrite aux deux ellipsoïdes (art. 232, 3""). Cette sphère peut avoir un contact idéal avec une des surfaces, ou avec les deux; elle peut aussi devenir imaginaire.

M. Catalan a démontré que, quand chacune des ellipses méridiennes a un de ses foyers au point de rencontre des axes, l'intersection est le système de deux droites. La règle générale que nmis venons de donner est satisfaite dans ce cas, car dans une conique les normales imaginaires abaissées de l'un des foyers sur la courbe ont une longueur nulle, et par suite ces droites sont égales dans les deux ellipses. La spiière circonscrite est alors réduite à un point.

D'après ce que nous avons dit, la nature de la courbe est indépendante de l'angle des axes.

Si l'un des ellipso'ïdes glisse sur son axe, la projection \erticale de l'intersection se transporte en restant homothétique à elle-même, et son centre décrit une ligne droite. Nous ferons enfin remarquer que la courbe passe par les points d'intersection des méridiennes, et qu'elle a par conséquent avec ces

r 2b LIVRE II. - CYLINDRES. CONES ET SLRIWCES DE HEVOLL'ÏION

2o9. La taiii^œiitc en un point (|ii('lri)n((ui' ( M, M) est l'intersection des plans tangents aux deux surfaces.

Si nous supposons que la tangente B'S' du méridic";) principal au point B' soit entraînée dans le mouvement de révolution autour de l'axe, la trace S décrira un arc de cercle autour du point 0, et sera en S, sur la ligne OM quand le point (B, B') se trouvera en (M, M' ). La trace du plan tangent à la première surface de révolution est la droite S,L perpendiculaire ;i OS,.

Nous ne pouvons pas employer cette construction pour le plan tangent, à la seconde surface, vu la position inclinée de l'axe; mais on arrive presque aussi facilement au résultat en déterminant la normale et lui menant un plan perpendiculaire.

La normale à la méridienne en h' rencontre l'axe au point X', que nous ramenons horizontalement en k. J^e point {k, k') est le sommet du cône formé par les normales à la surface, le long du parallèle dont le centre est en p' (art. 186). La droite (kyi, k'M') est donc normale au point (M, M').

Nous faisons maintenant passer par ce point une droite parallèle à la trace verticale du plan tangent cherché (art. 4-1); ses projections sont les droites M? etM'i', l'une parallèle à la ligne de terre, et l'autre perpendiculaire à M'k' : elle perce le plan horizontal en /. La trace du plan tangent passe par ce point et est perpendiculaire à MX-. Le point \, où se rencontrent les traces des plans tangents, appartient à la tangente, qui est ainsi (MI, M'I ).

260. La courheE'G' ayant été déterminée par des constructions faites uniquement sur le plan vertical, la tangente M'I' doit pouvoir être ohtenue sans l'intervention des projections horizontales.

La tangente de l'intersection au point quelconque (M, M' ) est perpendiculaire à la normale de chacune des surfaces, et par suite au plan de ces deux droites : la projection de la tangente est donc perpendiculaire à la trace de ce plan. Les sommets des cônes formés par les normales le long des parallèles B'B" et b''^ sont aux points K' et k', et par conséquent la droite K'/' est la trace du plan des normales sur le plan méridien SH commun aux deux surfaces. On obtient la projection verticale de la tangente en menant du point M' une perpendiculaire M'I' à K'k'.

Cette construction peut être appliquée aux points extrêmes E' et G , et même à ceux qui sont situés sur les arcs parasites G'P' et E'Q'. Ainsi, les normales des

lignes les relations qui existent entre les sections coniques qui ont quatre points communs (M. L.\mé, Examvn des différentes métliodcx, etc., p. 3.i; M. Po.'vcei.kt, l'rop. proJect., p. -216). Si l'on veiil déterminer ses a.xes, on pourra em|)lijyor les moiliodes générales données par M. l^ncelet i l'mf). firojcct.. an. 3fi el suiv., 3!)i et suiv.).

Ces diverses considérations ont pou d'importance pour les h'acés, mais nous avons cru devoir donner quelques indications sur une question intéressante à plusieurs points de vue.

CHAPITRI'; VI. — INTERVENTIONS DE SURFACES COURRES. 127

méridiennes aux points D' et r/ rencontrant les axes en V et c', la tangente de la courbe en N' est perpendiculaire à VC.

La tangente MI peut être déterminée par la condition d'être perpendiculaire à la trace horizontale du plan des normales. Comme cette droite serait éloignée, nous allons opérer sur un plan horizontal convenablement élevé, celui dont la trace verticale est xy- Ce plan est rencontré au point (m, m) par la normale (M^", M'k'), et en (k,,k\) par la droite (O^-, K'X-'), qui passe par les points où les normales coupent les axes. La trace du plan des normales est donc iik, ; la tangente MI est perpendiculaire à cette droite.

Pour déterminer la droite iik,, nous ne nous sommes pas servi de la trace horizontale de la normale à la première surface, parce que ce point ne serait pas obtenu avec précision.

261. Si l'on veut avoir l'intersection de deux surfaces de révolution dont les axes ne se rencontrent pas, on prendra l'un des plans coordonnés parallèle aux axes, et l'autre perpendiculaire à l'un d'eux, puis on fera des sections par une série de plans parallèles à celui-ci. On obtiendra dans l'une des surfaces des cercles, et dans l'autre des courbes que l'on construira par points (art. 192). L'opération est minutieuse, mais elle ne présente aucune difficulté.

I2iS L1VHI-: II. - CM.I.NDKES, CONliS liT SURFACES DE HÉVÛLLTION.