OLESTIONS RELATIVES A LA LIGNE DROITE ET AL' PLAN

Définitions . — Prohlcmcs (Hctnentitifcs.

262. Dans les Arts grapliiques qui se raUacheiit à la Tiipograpliie, on emploie un seul plan (le projection, toujours horizontal, et l'on indique par des nombres, que l'on appelle cotes, la longueur des projetantes ou ordonnées des différents points représentés.

Le plan de comparaison à partir duquel on mesure les ordonnées est pris quelquefois au-dessus des objets et quelquefois au-dessous d'eux. Lorsque des points sont au delà du plan de comparaison, on regarde leurs ordonnées comme négatives.

Les ordonnées sont appelées rtto;<f/r\v, lorsqu'elles indiquent la hauteur des différents points au-dessus d'un plan situé au niveau de la surface d'équilibre des eaux de la mer, supposée prolongée dans l'intérieur des terres.

Quand les objets sont représentés par leurs projections sur deux plans coordonnés, il n'est nécessaire de recourir :i l'échelle du dessin que pour établir les données et relever les résultats; mais, dans les projections cotées, il faut combiner à chaque instant des abscisses linéaires avec des ordonnées numériques, et par suite l'échelle est d'un usage continuel. Toute épure, même d'exercice, doit donc être accompagnée d'une échelle.

Une droite est déterminée quand on connaît sa projection et les cotes de deux de ses points. Si elle existe réellement, on est dans l'usage de la graduer, c'està-dire d'indiquer ceux de ces points dont les cotes sont entières.

On appelle intervalle la distance horizontale qui sépare deux points dont les cotes dill'èrent de i'".

20.1. Graduer une droite (jui passe par deux points donnés, et placer sur elle un point d'une cote donnée.

CHAPITRE I". — QUESTIONS RKL.VTIVES A LA LIGNE DROITE ET AU PLAN. I 2C)

Des points sont donnés quand on connaît lonis projections a et h {fig. i39) et leurs cotes 17", 62 et 21"", 45. Le point a est plus ou moins élevé que li' point h, suivant que le plan de comparaison est supérieur ou inférieur. On opère de la même manière dans les deux cas.

Nous mesurons à l'échelle la distance horizontale ah, et nous trouvons qu'elle est de 6™, 56. D'après cela, en appelant n'intervalle, nous avons

,710, o,4ji =: o'",77.

Nous obtenons le point 21 en prenant une longueur o*", 77 à partir de h; nous pourrions porter ensuite plusieurs fois l'intervalle i",7i ; mais les erreurs s'accumuleraient, et il est préférable de déterminer un point de division vers l'extrémité de la partie utile de la droite, par exemple celui qui est à la cote 16"; sa distance au point 21 est de 5 intervalles ou 8", 56. On porte cette longueur à partir du point 21, et, la divisant en cinq parties égales, on obtient les projections des points qui sont aux cotes 17, 18, 19 et 20.

Supposons maintenant que la cote donnée pour le point (ju'on veut placer soit 19"", 72; nous trouverons sa position c en portant au delà du point 19 une longueur égale à i™,7i x 0,72 ou i'°,23.

Si l'on avait demandé la cote du point de la droite qui se projette en c, on eût mesuré sa distance i™,23 au point 19, et l'intervalle i'",7i ; le nombre cherché

aurait été 10™ h '—- ou io'",-2.

264. On peut opérer d'une autre manière. Si nous faisons tourner le plan projetant de la droite autour de sa trace sur le plan horizontal qui est à la cote 17, 62 du point donné a, le point projeté en b se placera en B sur une perpendiculaire à ah, et à une distance égale à 21™, /j5 — 17", 62 ou 3"", 83. En portant sur la droite iB, à partir de 6, une longueur égale à iS"" — 17'", 62 ouo™,38, puis des longueurs successives d'un mètre, on pourra obtenir sur «B les rabattements des points de division, et ensuite leurs projections sur ah.

Pour avoir le point dont la cote est 19'", 72, on prendra sur iB une longueur égale à 19™, 72 — 17"", 62. S'il faut au contraire trouver la cote du point qui se projette en c, on élèvera la perpendiculaire cC, et l'on ajoutera sa longueur à 17"^, 62.

263. Il y a ainsi deux procédés pour combiner des cotes avec des grandeurs linéaires : on peut réduire les longueurs horizontales en nombres et opérer arithmétiquement, ou bien rétablir dans des rabattements les ordonnées représentées par des cotes, et faire des constructions. Le procédé arithmétique est plus dans l'esprit de la méthode, et on l'emploie souvent; l'autre cependant est quelquefois préféré : ainsi il serait plus simple, pour avoir la distance des points a et b,

\. — De la Gocrxebie. — DescrlplUe. \-j

i3o i.ivKi': m. — l'iiDJicCTiûiNS cotées.

(le construire le triangle «iB et de mesurer l'hypoténuse, que de faire les carrés de la dilTérence des cotes et du nombre qui exprime la longueur de la projection, et de prendre la racine carrée de leur somme.

266. La pente d'une droite est la tangente de son inclinaison sur le plan de projection; son produit par l'intervalle est égal à l'unité, ce qu'on exprime en disant que la pente et l'intervalle sont réciproques.

Graduer une droite dont on connaît la projection ab {fig. i lo), la pente o, 70 et un point a dont la cote est i5'",6".

Désignant toujours l'intervalle par la lettre i, nous avons

«= — i'",43, o,67i = o'^.oG.

Nous mettons la cote i5 à un point situé à 0,96 du point a et nous graduons la droite sans difticulté. 11 y aura deux solutions, si la nature du problème n'indique pas de quel côté les cotes doivent aller en augmentant.

267. Par un point donné A, faire passer une droite parallèle à une droite donnée BC (Jîg- i40-

La projection AD de la droite cherchée doit être parallèle à BC. La grandeur de l'intervalle est la même sur les deux droites. La cote du point donné A étant i5'",34, le point dont la cote est i5 se trouve à une distance horizontale de A égale aux 34 centièmes de l'intervalle.

268. Reconnaître si deux droites A et B {Jig. 142) ^e coupent, et dans ce cas déterminer la cote de leur point commun.

Les horizontales qui rencontrent A et B seront parallèles si ces droites sont dans un même plan, et non parallèles dans le cas contraire; la même difïerence se produira en projection. Nous traçons les sécantes qui correspondent aux cotes 16, 17 et 18; nous trouvons qu'elles sont parallèles, et nous en concluons que les droites se coupent.

Aux cotes 18 et iG, les longueurs des sécantes sont respectivement de 8'",4o et 6*", 04. La diminution de longueur de la sécante horizontale, qui est de 2"', 36, correspond à une dillërence de hauteur de 2 mètres; pour réduire la sécante de

8"',4o, il faudra une hauteur égale à — '^^ „ ' ou 7'", 12. La cote du point commun est donc 18'" — 7"', 12 ou 10'", 88.

Si le point de rencontre des projections A et B avait été dans le cadre de l'épure, on eût pu calculer la cote du point correspondant de chaijue droite (art. 265) et voir si on obtenait le même nombre; mais ce procédé est moins exact.

Nous exaniinei'ons plus loin (art. 27oa) le cas où les deux droites sont dans un même plan vertical.