Sections perpendiculaires au plan de projection
On établira sur la surface donnée un certain nombre
de parallèles, puis l’on construira les points suivant lesquels ces cercles seront coupés par le plan donné. C’est ainsi que l’on a obtenu {fig. ^^06 , PL 59) courbe nxnx y (jui est la projection horizontale (le la section d’une surface annulaire par le plan ju, perpendiculaire au plan vertical.
673. On pourra employer comme auxiliaires des plans verticaux passarjt par l’axe de la surface donnée : ces p'ans couj)eront la surface suivant des sections méridiennes dont on éviter.! la projection en les rabattant autour de l’axe ; les points {mni ) {fin') ont été déterminés de cette manière. Un plan vertical o— -2 it coupé la surface donnée suivant une section méridienne qui, en tournant autour de l’axe, est venue se confondre avec la projection verticale de cette surface. La droite provenant de l’intersection du plan p et du plan auxiliaire 0 — 2, est venue se rabattre en o' — 2' et rinlcrseclicjn de cette ligne avec la section méri 'iemie
principale n donné deux points qui, projetés hori-
zimlaleiiient sur oh, et ramenés dans le plan o — 2, ont déterminé les points mm\nn'.
67^^. On fera bien de profiter de la symétrie. Ainsi , on pourra déterminer par une seule opération les points qui sont situés dans les deux plans méridiens 0 — 2, 0 — 2.
La tangente 0^ — 3' déterminera le point u” qui , ramené dans les plansfO — 3, donnera les deux points ii,u.
675. Dans quelques cas particuliers, la recherche de la courbe de section peut être simplifiée. Supposons , par exemple, qu"il s’agisse de construire la courbe résultant de la section d’on ellipsoïde de révolution par un plan vertical Jip {fig. ^05). On admettra [Géorn. analjt.) que la courbe demandée doit être une ellipse, après quoi on conslruiia rhorizoïilale oc, o'c\ perpendiculaire sur np, ce qui donnera le point cc' pour le centre de cette ellipse.
On ramènera ensuite le point c en c" dans le plan op\ on élèvera la perpendiculaire c"a.
Les intersections de cette droite avec le méridien principal de la surface détermineront les deux parallèles qui contiennent le point le plus bas, et le point le plus élevé de la courbe demandée. La diflerence des bauteurs de ces deux points sera Taxe vertical de l’ellipse cherchée.
L’axe horizontal z'x' s’obtiendra en élevant deux perpendicul.aires par les [)oinls z eix.
La verticale p-p*' déterminera les points suivant lesquels la projection verticale de la courbe touche celle du méridien principal dr. la surface.
Les points inr/i' peuvent être considérés comme provenant de la rencontre du ])lan vertical fip par les deux parrdlèles qui ont le cercle mm” pour projection horizon la le.
.,076. On |)eul encore supposer cpie la section de Tellipsoïde par le plan op' a été raLaltue sur le méri'üen principal , et que la verticale U représente dans ce rabattement rinterseclion (les deux plans nj),^op \ de sorte que les points d’intersection riL’'rn"' étant ramenés à leur place deviem Iront lu' , ni .
En faisant tourner la courbe autour de la verticale du point n , on obtiendra en M sa véritable grandeur.
677. Lorsqu’on sait (jue la section demandée est une ellipse, on peut éviter la projection et le rabattement en faisant usage d’un pian auxiliaire sur lequel cette courbe se projetterait par lui cercle.
Supposons que la droite 7ip ( Jig. 407) soit la trace d’un plan perpendiculaire au plan vertical de projection.
Le poin t c , milieu de zx , sera le centre de l’ellipse cberciiée. Le petit axe de cette courbe sera la corde commune à l’elli[)se zx et au parallèle dont la moitié est rabattue en auw, de sorte que eu est le demi petit axe de l’ellipse qui a pour demi grand axe cz.
Or, si on décrit la demi-circonférence ciiz et que l’on porte eu de c en u, le triangle ciiz sera rectangle, et la section cherchée se projc^ttera par un cercle sur tout plan tel (jue fip' dont la direction serait perpendiculaire à la corde zu (402).
Si après avoir projeté la courbe zx sur le plan np' on le lait tourner autour de l’horizontale projetante du point Ji J on obtien(ira la circonférence M.
678. 'J'ransjbi niaLions diverses de lu courbe de section. Si m)us faisons mouvoir le plaîi p{ fig. 406) parallèlement à lui-même en .'illant de droite à gaurh(‘, tous les points de la courbe se rappjoclieron L cl finiront jiar se l éunir en
PL. 59. SURFACES DE RÉVOLUTION, un seul , lois(|uo le plan mobile sera parvenu clans la position P .
Alors le plan sera tangent à la surface et le point de tangence sera t,t' . Si au contraire nous (aisons mouvoir le ])lan jty de gauche à droite, les deux points x,x se rapproclieront et se réuniront en un seul point zz\ lorsque le plan mobile sera dans la position
Ce dernier plan touchera la surface au point zz' la coupera suivant la courbe zvvzn^.
Si on continuait h faire avancer le plan mobile de gauche à droite, la section se partagerait en deux courbes fermées indépendantes l’une de l’autre , et placées symétriquement par rapport au plan méridien h — 1.
Ces dernières courbes n’ont pas été tracées sur l’épure, mais il sera facile de les construire.
Si on continue à faire mouvoir le plan coupant dans la meme direction jusqu’à ce qu’il ait dépassé le point o", on obtiendra toutes les courbes précédentes dans un ordre inverse, et leurs projections liorizonîales seront placées symétriquement par rapport au plan méridien perpendiculaire au plan vertical de projection.
679. On retrouverades relationsdu meme genre ( //^. /il 1) dans les dillérentes courbes j)rovenant delà Section de la scotie par des plans parallèles à son axe.
Supposons , |)Our plus de simplicité , qu’on ait projeté toutes ses courbes sur un plan parallèle aux dillérentes positions du plan coupant.
Les sections que l’on obtiendra seront de trois espèces :
1“ Si la distance du plan coupant à l’axe est plus grande que le rayon du cercle de gorge, la section se composera de deux courbes indépendantes et placées l’une au-dessus, l’autre au-dessous du plan horizontal ac. I.es points o, o
appartiennent au méridien qui est perpendiculaire au plan coupant.
2" Si la distance de Taxe au plan cou})ant est é^ale au rayon du cercle de gorge, les points o, o se réunissent en un seul o\ suivant lequel le cercle de gorge et le méridien perpendiculaire au plan coupant sont touchés par ce plan.
La section se compose des deux courbes soz' qui se coupent au point o', situé sur le cercle fie gorge. Le plan coupant est t.angent au point o'.
3® Enfin, lorsque la distance de Taxe au plan coupant sera moindre que le rayon du cercle de gorge, la section se composera de deux courbes séparées, placées symétriquement l’une à droite et l’autre à gauche du plan méridien et les points o", o” appartiendront au cercle de gorge de la surface.
680. Avant de quitter ce sujet, j’appellerai l’attention du lecteur sur les diflerentes formes que peut prendre la section d’une surface du second degré par un plan.
681. exemple. Supposons que la surface coupée soit un ellipsoïde de révolution {fig. 407).
La courbe de section pourra subir trois transformations difiérentes :
1" Le plan coupant 1, perpendiculaire à l’axe, donnera pour section un cercle;
2® Le plan 2 coupera la surface suivant une ellipse ;
3^ Le plan 3 sera tangent et la courbe de section sera remplacée par le point de tangence.
682. 2® exemple. Si la surface coupée est un paraboloide de révolution { fig. 409), la section subira 4 transforma lions :
Si; Kl' ACES DK KKVOKUTIOJN.
F Le pl.in 1, perpendiculaire à Taxe, coupera la surface suivant un cercle;
2° Le plan 2 donnera pour section une ellipse ;
3" Le plan 3, par.illèle à Taxe, donnera une parabole;
/i.” Enfin le plan W sera tangent.
(383. 3® exemple. Si la surface coupée est un hypevboloide de résolution à une nappe {fig. 4.08), la section peut subir 5 transformations :
1® Le plan 1 , perpendiculaire à Taxe, donnera pour section un cercle;
2® Le plan 2 donnera une ellipse;
3® Le plan 3, parallèle à la génératrice su du cône asymptote , donnera une parabole ;
4® I^a section par le plan 4 sera une hyperbole ;
5® Enfin le plan 5 sera tangent au point m.
6Sk. Si nous faisons mouvoir le plan parallèlement à lui-même , nous obtiendrons les variétés suivantes :
l®Le plan k donnera une hyperbole dont Taxe trans verse sera parallèle au plan sur lequel nous suj)posons que la surface a été [)rojetée ;
2® Le plan k' sera tangent et donnera poui- section les deux génératrices de la surface (Ool).
Ces deux droites pourront être considérées comme deux tangentes (630) et se couperont au point n, qui par conséquent sera le point de tangence.
3® La section par le plan k” sera une hyperbole dont Taxe transverse sera perpendiculaire au plan de projection, et se projettera sur ce plan par le point o.
