Les hyperboles provenant de la section par les plans

h et ^''ootles asympfotes parallèles aux deux génératrices provenant de la section par le [dan U' .

686. Ces dernières lignes peuvent être considérées comme formant une hyperbole pour laquelle la distance du centre au sommet de la courbe serait réduite à zéro.

687. Si On donne plusieurs hyperboles ayant pour asym[>totes communes les droites {^u,zx, et que l’on fasse tourner toules ces courbes autour de Taxe commun , tous les hyperboloïdes engendrés auront le meme axe et seront touchés à l’infini par le cône asymptote, qui a pour génératrices les deux droites zæ^ uw.

Or les sections de toules ces surfaces par un même plan seront des courbes du fécond degré semblables et concentriques.

Il faudra remarquer cependant que le plan k' coupera le cône suivant une hyperbole, ayant pour asymptotes les deux génératrices de l’hyperboloïde.

Tandis que le plan k"' coupe cette dernière surface suivant une hyperbole qui a pour asymptotes deux génératrices du cône.

Et quoique les axes transverses de ces deux hyperboles soient dirigés dans l’espace suivant des directions rectangulaires, elles ne ])0ssèdcnt pas moins le caractère des figures semblables, en cela que les axes Iransverses et non transverses de ces courbes sont réciproquement proportionnels et que leurs asymptotes sont parallèles.

688. Si nous comparons les sections de l’byperboloïde avec celles du cône asymptote, nous remarquerons que le pi.iii V couper (es deux surfaces suivant deux hyperboles qui ont le même axe transversc.

Le plan k' coupe le cône suivant une bvf)erbo1e qui a

pour asyniploles les deux généra Irices ))rovenant de la section de l’hy perboloïde.

Le plan k" coupe le cône et l’hyperboloïde suivant deux hyperboles qui ont les memes asymptotes, mais dont les axes Iransverses sont perpendiculaires l’un à l’autre.

Enfin , le plan k'" coupe l’hyperboloïde suivant une hyperbole qui a pour asymptotes les deux droites provenant de la section du cône par un plan qui contient son sommet.

Toutes ces courbes ont leurs centres sur la droite en.

Les démonstrations de ces propriétés ne peuvent être convenablement placées que dans les traités de Géométrie analytique.

Plans tangents aux surfaces de résolution.

689. Construire un plan tangent a une surface de résolution par un point mm', situé sur la surface (fig. 4-10 ).

Nous avons reconnu que le plan tangent en un point donné d’une surface quelconque serait déterminé par deux tangentes passant par ce point ; de sorte qu’il ne reste plus qu’à chercher quelles sont les tangentes les plus faciles à construire.

Or, de toutes les courbes que l’on peut faire passer par un point d’une surface de révolution, la plus simple est la section par un plan perpendiculaire à son axe. Il sera donc convenable de choisir pour première tangente la droite horizontale aa! , qui touche le parallèle passant par le point donné. Pour obtenir la seconde tangente, on rabattra la section méridienne sm en la faisant tourner autour de l’axe. Le point donné nipif viendra se placer en m", et la tangente dans ce rabattement sera i'm"; en ramenant cette tangente à la place qu’elle doit occuper, le point s' ne bougera pas, pusqu’il fait partie de la charnière, et l’on aura ])Our seconde tangente la droite

sb,s'l?'j qui, avec Ja ligne a^a’, déterminera le plan tangent p,

690. Ainsi le parallèle qui passe par un point donné sur une surface de révolution faisant toujours connaître une tangente à ce point, i'/ ne restera plus dans chaque cas qu'a obtenir une tangente 'a la section méridienne qui contient le point donné: construction qui dépendra de la dédnition géométrique de cette courbe.

691. La solution précédente revient évidemment à construire par le point donné mm' un plan tangent au cône circulaire engendré par la droite sb",, et qui par conséquent touche la surface suivant le parallèle passant par le point donné.

En général , toutes les fois que deux surfaces se toucheront en un ou plusieurs points tout plan qui en un de ces points toucherait Uune de ces surfaces serait aussi tancent à Eautre.

En effet, le point de tangence pourra être considéré comme une facette infiniment petite, commune aux deux surfaces, et cette facette prolongée en tous sens deviendra un plan tangent à toutes deux.

692. Cette conséquence nous sera utile dans le cas où nous n’aurions pas sur l’épure le sommet du cône tangent. En effet, après avoir construit la tangente sb" nous tracerons la droite m"o perpendiculaire à sb" .

Le point o sera le centre d’une sphère fj[ui touchera la surface donnée dans toute l’étendue du parallèle m"m'; de sorte que la question proposée sera réduite à construire un plan tangent par le point mm' ,, situé sur la surface de la sphère qui a pour centre le point o (640).

Il n’est pas nécessaire de construire la sphère , dont nous

ne parlons ici que pour mieux faire comprendre le principe; il est évident qu’il suffit de construire par le point mm' un plan perpendiculaire à la droite sm, om!.

693. Construire un plan tangent par un point situé sur la surface d’un lijperboloïde de résolution à une nappe

{fis-

L’axe et la génératrice zxfx' de la surface étant donnés, on construira le cercle de gorge, le parallèle qui contient le point donné , puis les deux projections m et m' de ce point.

On fera tourner ensuite la génératrice (za?, z'x') jusqu’à ce qu’elle soit parvenue dans la position {z”x" ,z'"x'") , et l’on prendra cette droite pour la première tangente (630).

On construira la droite su ^ tangente à la projection horizontale du cercle de gorge ,^et l’on en déduira la projection verticale s'u'; de sorte que la ligne deuxième génératrice de la surface, sera la seconde tangente.

Le plan p sera déterminé par les deux droites (2:' V', z"’x'") {su, s’u').

On remarquera que pour résoudre la question, on n’a pas fait usage de la section méridienne que l’on pourrait alors se dispenser de construire.

69^p. Tous les plans tangents à l’hyperboloïde de révolution coupent cette surface suivant deux génératrices, et l’intersection de ces deux droites détermine le point de tangence.

695. Si le point par lequel on propose de construire un plan tangent à une surface de révolution est situé sur le méridien principal , l’une des tangentes sera l’horizontale

projetante du point donné ; de sorte que le plan tangent p' {fig‘ 406) sera perpendiculaire au plan vertical de projection.

696. Si le point donné appartient à l’un des parallèles formant les limites de la projection horizontale de la surface, le plan tangent sera perpendiculaire au plan horizontal de projection.

Ainsi , les plans verticaux qui auraient pour traces les deux droites p''' et p^'’ sont tangents, le premier au point aa! et le deuxième au point cc\

Le plan p''^ est en même temps un plan coupant.

697. Normale. La droite t'k (/%. 406) est une normale; il en est de même de la droite mh,m'h' perpendiculaire au plan tangent p [Jig- 410).

Si on veut donner à la normale mh.,m'h' une longueur déterminée, on rabattra cette droite dans le plan du méridien principal, on fera m"h" égale à la longueur donnée , puis on ramènera la normale à sa place en la faisant tourner autour de Taxe.

698. On remarquera que pour construire la normale il n’est pas nécessaire d’avoir les traces du plan tangent.

En elïet, pour obtenir une normale au point z, on rabattra ce point en s', puis on construira la normale que l’on fera revenir à sa place en remarquant que dans ce mouvement le point c doit rester immobile.

699. Construction du plan tangent a une surface de 7'é^olution par un point situé en dehors de cette surface.

La question est indéterminée , car si par le point donné on construit un plan tangent, il sera possible de faire tourner ce plan autour de la surface sans qu’il cesse d’être tangent et de contenir le point donné.

PL. (U). SUHFACES DE DEVOLUTION

Or, si pour ctjncuiie ('es ])gsi lions de ce [)lan nioLile, on pouvait tléterniiner le point de tangence, la construction de chaque plan tangent se réduirait aux opérations que nous avons indiquées au n" 689.

D’ailleurs, la construction du pjlan tangent n’a souvent d’autre but que de faire comprendre les opérations nécessaires pour déterminer les points de tangence, et lorsque ces points sont obtenus il devient presque toujours inutile de construire les traces des plans.

700. Ligne de contact. Si parle point donné ss' {fig. 414, PI. 60 ) on conçoit une droite s'a qui touche la surface en l’un quelconque de ses points, et que l’on fasse mouvoir cette droite de manière que sans cesser de contenir le point donné , elle s’appuie sur la surface , on engendrera un cône tangent qui aura pour sommet le point donné.

Tous les plans tangents à ce cône satisferont à la question proposée, et toucheront la surface en l’un des points suivant lesquels cette surface est touchée, par le cône enveloppant qui a son sommet en ss' .

La courbe qui contient tous ces points se nomme ligne de contact, et notre but est de la construire.

701. l'° solution.' Méthode des plans coupants. On fera passer par le point ss' un plan sp perpendiculaire à l’un des plans de projection, au plan horizontal par exemple.

On construira la courbe provenant de la section de la surface par le plan sp.

On déterminera tous les points suivant lesquels cette courbe peut être touchée par des droites qui contiendraient le point donné.

Chacun de ces points m,m' fera partie de la courbe cherchée.

En effet, le plan tangent à Tun des points nt', devant

contenir toutes les droites yui touchent la surface à ce point, il devra contenir la droite 5/7î,5W, par conséquent il passera par le point 55 .

On recommencera cette construction en choisissant la direction des plans coupants de la manière la plus avantageuse.

702. On peut choisir à volonté l’une des projections du point que l’on veut obtenir.

Ainsi, par exemple, si l’on donnait le point m comme projection horizontale de l’un des points de la courbe chercbée, on obtiendrait la projection verticale en opérant comme nous venons de le dire.

Si au contraire on avait donné la projection verticale m', il aurait fallu couper la surface par un plan tel que s'zq perpendiculaire au plan vertical de projection.

703. La méthode que nous venons d’expliquer est générale et convient à toutes les surfaces; mais pour éviter la construction des courbes qui proviennent de la section par les différents plans coupants auxiliaires, on doit chercher si les propriétés particulières des surfaces de révolution ne permettraient pas d’employer des moyens plus simples.

70^. 2® solution. Méthode des cylindres projetants. Etant donnés {fig. ^13) le point ss' et la surface annulaire engendrée par le cercle M, il y aura deux courbes de contact. L’une contient les points suivant lesquels la surface serait touchée extérieurement par un cône ayant pour sommet le point donné ss'.

La seconde courbe appartient à un cône ayant le meme sommet et qui touche la portion de surface engendrée

par Ja demi -circonférence qui est la plus rajîprocliée de Taxe.

Ces deux courbes pourront être déterminées en même temps et de la manière suivante.

703. La perpendiculaire ss" , abaissée sur la trace du méridien C, percera ce plan en un point dont la projection horizontale s'\ ramenée en s'" sur la trace du méridien principal, déterminera pour la projection du point donné ss' sur le plan du méridien G rabattu sur le plan B.

Cela étant fait, on tracera par le point quatre tangentes aux deux cercles qui composent le méridien principal de la surface. Ces quatre droites seront les intersections du plan vertical G par quatre plans tangents à la surface et contenant le point donné ss' .

Les points 1,1, 1,1 projetés en lVL,L,l^ sur la trace du méridien principal B, seront ramenés de Là en l",l",l”,l'' sur la trace du méridien C; leurs projections verticales l"',,l'",l''',l"' seront situées sur les parallèles qui contiennent les quatre points 1, 1,1,1.

En opérant de la même manière on obtiendra quatre points dans chaque plan méridien.

On fera bien de multiplier les opérations dans les parties des lignes de contact où les variations de courbure sont le plus sensibles.

706. Quelques points pourront être obtenus plus facilement par suite de la position particulière des méridiens qui les contiennent. Ainsi, par exemple :

Les quatre tangentes menées par le point s' déterminent, sur la section méridienne principale , les points 2,2'. . . suivant lesquels la surface serait touchée par quatre ])lans contenant le point donné ss et perpendiculaires au plan

vertical de projection. Ces quatre points ont leurs projections horizontales sur la trace du méridien B.

Si nous faisons tourner le méridien A jusqu’à ce qu’il soit venu coïncider avec le méridien jirincipal , le point s viendra se placer en , d’où on déduira qui sera le point donné ss' rabattu dans le méridien B.

Les quatre tangentes menées par détermineront alors

les points 3,3' suivant lesquels la surface serait touchée

par quatre plans passant par le point ss' et perpendiculaires au plan du méridien s — A.

Ce sont les points les plus élevés et les plus bas des deux courbes de contact.

707. La solution que nous venons d’exposer revient à prendre successivement chaque méridien pour plan de projection ; de sorte que les tangentes menées j)ar les points

sont les traces des pl.ans tangents aux cylindres projetants j)erpendiculaires aux plans A ,G,E, B, etc.

708. Les tangentes menées parle point sont les traces des plans tangents aux deux cylindres verticaux qui contiennent le cercle de gorge et le plus grand parallèle de la surface.

Elles déterminent les points h,k’ suivant lesquels la surface serait touchée par quatre plans verticaux contenant le point donné ss'. Ces quatre points appartenant au plus grand parallèle et au cercle de gorge, les projections verticales seront situées sur la droite horizontale ac.

709. On peut abréger beaucoup le travail en ayant égard à la symétrie.

Ainsi, les deux méridiens B et B' étant y)lacés symétriquement par rapport au méridien s — A, les points obtc-

nus dans le méridien B pourront être reportés à la même distance de Taxe sur la trace horizontale du méridien d’oLi on déduira leurs projections verticales sur le parallèle correspondant.

Les points situés dans le méridien G' se déduiront de la même manière que ceux qui appartiennent au méridien G.

Enfin les points du méridien E seront déterminés par le point projection du point ss' sur le méridien E rabattu dans le plan B.

710. Si on construit la droite su, tangente à la projection horizontale de la courbe intérieure, et la droite su', tangente à la projection verticale de la même courbe, les deux poinis de tangence u et u' devront se trouver sur une même droite perpendiculaire à la ligne AZ. Gela provient de ce que pour le point uu', la tangente à la courbe de contact doit contenir le point donné.

11 existe trois autres poinis qui jouissent de la même propriété, et qui, deux à deux, sont placés symétriquement par rapport au méridien A^.

Pour éviter la confusion des lignes, on n’a tracé sur l’épure que la tangente au point u,ii, mais on fera bien de construire les trois autres tangentes, et de s’assurer que les points de tangence correspondants sur les deux projections sont situés deux à deux sur le même perpendiculaire à la ligne AZ.

Il n’existe pas de points analogues sur la courbe extérieure.

711. Tous les plans qui touchent la surface en un des points de la courbe intérieure sont en même temps des plans coupants , tandis que tous les plans qui sont tan-

gents en un point de la courbe extérieure ne coupent pas la surface.

712. La méthode précédente est utile surtout lorsqu’on veut obtenir les points de tangence qui appartiennent à un méridien donné; mais si on voulait construire ceux de ces points qui sont situés sur un parallèle de la surface , il faudrait opérer de la manière suivante.

713. solution. Méthode des cônes tangents {fig. 415). Au lieu de construire comme précédemment des plans tangents aux c^^linclres horizontaux qui touchent la surface suivant des méridiens donnés, on emploiera les plans tangents à des cônes circulaires qui auraient le meme axe que la surface et qui la toucheraient suivant les différents parallèles sur lesquels on veut obtenir les points de tangence.

Ainsi , par exemple , pour déterminer ceux de ces points qui seraient situés sur le parallèle ac , on tracera la droite o'a qui touche au point a le méridien principal de la surface.

Le cône circulaire engendré par le mouvement de la droite o'a autour de l’axe touchera la surface dans toute rétendue du parallèle ac; de sorte que la question sera réduite à construire par le point donné ss' deux plans tangents au cône engendré par la droite da (471).

On joindra le point donné sd avec le point od qui est le sommet du cône auxiliaire , et la droite so,s'd sera l’intersection des deux plans qui sont tangents à ce cône et qui contiennent le point donné.

La droite so,s'o' percera le plan horizontal qui contient le parallèle donné en un point ud par lequel on construira les deux tangentes u — 1 , u — 1 .

Les points de tangence 1,1, déterminés avec toute

PL. i\0. SURFACES DE RÉVOLUTION.

l’exaclitutle possible , appartiendront à la courbe demandée.

En eflet, les plans tangents à ces points contiendront les deux tangentes m — l,i/. — 1; et comme de plus ils seront tangents au cône auxiliaire, ils devront en contenir le sommet o'; donc ils se couperont suivant la droite uos^iio's', et passeront par conséquent par le point donné ss'.

Ces constructions , répétées pour d’autres parallèles de la surface, feront connaître autant de points que Ton voudra.

7ik. Pour le cercle de gorge , le cône auxiliaire devient un cylindre vertical, et les points de tangence 2,2' doivent être déterminés par les tangentes s — 2,5 — 2.

715. Si le parallèle sur lequel on veut obtenir un point de tangence est au-dessous du cercle de gorge , le sommet du cône auxiliaire sera au-dessus du plan de ce parallèle.

Le contraire aurait lieu si le parallèle donné était audessus du cercle de gorge , et dans ce cas le cône auxiliaire serait renversé , ce qui ne changerait rien à la manière d’opérer.

71G. Si on faisait descendre le parallèle donné, le sommet du cône auxiliaire descendrait également, et l’angle au sommet de ce cône deviendrait plus ouvert.

D’un autre côté la droite sou^s'o'ii se rapprocherait de la surface du cône, et lorsqu’elle serait arrivée dans cette surface, les deux plans tangents au cône auxiliaire coïncideraient, et les deux points de tangence , réunis en un seul , seraient situés dans le plan méridien qui contient le point donné.

Ce point serait le plus bas de la courbe cherchée. Pour

l’obtenir, on fera tourner le méridien os jusqu’à ce qu’il soit rabattu sur le méridien principal ; et lorscjue le point donné j^'sera parvenu en s" , on construira la tani^en te s" — 3, génératrice du dernier cône auxiliaire.

Le point de tangence 3, projeté en 3' et ramené de là dans le méridien os , déterminera 3" et 3”' pour les projections du point le plus bas de la courbe.

La tangente s — h donne le point k’ qui, ramené en 4"', sera le point le plus élevé.

717. Pour les parallèles au-dessus de W' — k'" et pour ceux au-dessous de 3^ — 3”', la droite qui joindrait le point donné avec les sommets des cônes auxiliaires entrerait dans l’intérieur de ces cônes, et par conséquent elle ne pourrait déterminer aucun plan ‘tangent.

718. Il y a deux cas dans lesquels la méthode précédente ne pourrait pas être employée :

V Si le sommet du cône auxiliaire était dans le plan horizontal qui contient le point ss\ ou très-près de ce plan , la droite so> serait horizontale ou très-près de cette position, et rencontrerait par conséquent très-loin le plan du parallèle sur lequel on veut obtenir des points de tangence; on serait forcé , dans ce cas, de recourir à des constructions auxiliaires ;

2® Si le parallèle sur lequel on veut obtenir des points de tangence était très-près du cercle de gorge , le sommet du cône auxiliaire serait en dehors des limites de l’épure.

Dans chacun de ces deux cas on pourra opérer de la manière suivante.

719. solution. Méthode des sphères tangentes. Supposons que Ton veuille obtenir les points de tangence qui sont situés sur le parallèle mn, on construira la droite nt

qui touche la section méridienne au point puis on tracera JW perpendiculaire sur ut.

Le point p», provenant de la rencontre de avec l’axe de la surface de révolution, sera le centre d’une sphère qui touchera cette surface suivant la circonférence du parallèle mu.

De sorte que tout plan qui toucherait la sphère en un point de ce parallèle , serait tangent à la surface donnée (667).

Il ne reste donc plus qu’à choisir parmi tous ces plans ceux qui contiennent le point donné.

Or, si on conçoit un cône circulaire qui envelopperait la sphère et qui aurait pour sommet le point ss\ les plans demandés devront toucher ce cône , et par conséquent les points de tangence seront à la rencontre du parallèle mu avec le petit cercle suivant lequel la sphère qui a Ji^ pour rayon sera touchée par le cône auxiliaire (jui a son sommet en SS .

Pour éviter la projection elliptique de ce petit cercle, on rabattra le plan méridien qui contient le point donné, jusqu’à ce que ce point soit parvenu en s” dans le plan du méridien principal.

On construira les deux tangentes s"z.,6"x qui formeront les limites de la ])rojection du cône auxiliaire sur le plan du méridien pq.

On déterminera bien exactement les deux points de tangence z el x , et la corde -zx, qui joint ces deux points , sera la projection sur le plan méridien 05, du petit cercle suivant lequel la sphère est touchée par le cône qui a son sommet en ss'.

De sorte que le point 5, intersection des deux droites mji,zx, sera la projection commune aux deux points de tangence demandés. Il ne reste plus qu’à retrouver la

place que chacun de ces deux points doit occuper sur la surface.

Pour y parvenir, projetons le point 5 sur la trace du méridien oq, et faisons revenir ce méridien dans la position 05, le point 5' viendra se placer en 5” et la droite 5'" — 5'”^ perpendiculaire sur os . sera la corde horizontale qui joint les deux points de tangence demandés. Les projections horizontales de ces points seront déterminées par les intersections de 5”' — 5'^' avec la circonférence qui représente la projection horizontale du parallèle mn.

Les verticales 5^” — 5’^, 5'" — 5'"^ détermineront sur mn les projections verticales des deux points de tangence.

720. Dans l’application des principes que nous venons d’exposer, il ne faudra pas accorder de préférence absolue à l’une des méthodes sur l’autre, et l’on pourra employer successivement chacune d’elles selon que l’on voudra obtenir un point sur un méridien (70^^), sur un parallèle (71 3, 719), ou dans un plan qui serait perpendiculaire au plan de projection et qui contiendrait le point donné (701).

721. Toutes les solutions précédentes auraient été plus simples si l’on avait pris un plan de projection parallèle au méridien qui contient le point donné , parce que les parties vues et cachées de la courbe de contact se seraient confondues sur la projection verticale.

722. Si la surface proposée était du second degré, la courbe de contact serait aussi du second degré ( Géom. analyt.)., et dans ce cas elle se projetterait par une ligne droite sur tout plan qui serait parallèle au méridien dont le plan contient le point donné.

Ainsi ,par exemple , proposons de co/Mf/’wï're un plan tangent à un ellipsoïde de rés^olution par un point situé en

(IcIlovs de cette surface.^ et supposons que le point donné soit situé en s''s"' {fg. 416j, la courbe de contact sera une ellipse projetée sur le plan vertical par la corde zx , le point c , milieu de zx , sera la projection verticale du petit axe dont les extrémités seront déterminées parles intersections delà perpendiculaire abaissée du pointe avec la projection horizontale du parallèle cc"' .

723. Si le point donné était situé en ss\ on ferait tourner le plan méridien qui contient ce point jusqu’à ce qu’il soit parvenu dans la position s''s'” , puis après avoir déduit de cette projection :

1° Le centre c,c\c” de l’ellipse zx;

2° Le diamètre égal à ;

3“ Le diamètre zx\ égal cà la projection horizontale de la corde zx ,

on construira la projection horizontale de la courbe démandée.

Sa projection verticale sera déterminée par la rencontre des verticales élevées par les différents points de l’ellipse d z'n\x\ avec les horizontales passant par les projections des memes points sur la corde zx.

724. Construire un plan tangent à une surface de ré^o-‘ lulion parallèlement a une droite donnée.

Cette question peut être considérée comme un cas particulier du problème précédent. Il suffit pour cela de supposer que le point donné 55' ( //j^. 41 3 , 414 , 415 et 416 ) soit reculé jusqu’à l’infini dans la direction de la droite donnée ; dans ce cas les cônes cjui ont ce point pour sommet et qui enveloppent la surface seront transformés en autant de cylindres parallèles à la ligne donnée; de sorte qu’il ne restera plus qu’à déterminer les courbes suivant lesquelles la surface serait touchée par ces cylindres.

Nous allons indiquer plusieurs solutions qui sont les conséquences naturelles de l’hypothèse qui vient d être admise.

725. 1''® solution. Méthode des plans coupants [fig. 418, Pl‘ 61 ). On coupera la surface par un plan p, parallèle à la droite donnée so,s'o' ; pour plus de simplicité on prendra ce plan perpendiculaire à l’un des plans de projection , et l’on construira la courbe de section aa par l’un des moyens indiqués aux n'’® 672, 675.

On tracera, parallèlement à la droite donnée, toutes les tangentes qu’il sera possible de construire à la courbe obtenue, et l’on déterminera bien exactement les points

de tangence l',l' Ces points satisferont aux conditions

demandées.

On conçoit, en effet, que le plan tangent à fun des

points l,l' contiendrait la tangente correspondante, et

serait par conséquent parallèle à la droite donnée

En coupant de nouveau la surface par d’autres plans, on obtiendra autant de points que l’on voudra.

726. Dans l’exemple proposé , la surface étant annulaire, on obtiendra deux courbes qui ont beaucoup d’analogie avec celles que nous avons trouvées au n® 704-

La première, jnni , contient tous les points de tangence situés sur la portion de surface engendrée par le demicercle ^uz.

La deuxième , n/z, appartient à la partie engendrée par le demi-cercle y^xz.

727. Le plan coupant p détermine quatre points de tangence, savoir ; deux sur la courbe mni et deux sur la courbe nn.

Le plan />', tangent au cercle de gorge, contiendra cinq points de tangence, savoir :

Un sur le cercle de gorge.

Deux sur la courbe mm ,

Deux sur la courbe nn.

Depuis le plan p' jusqu'au ydan p'\ tangent à la courbe nuy chaque section contient six points qui se réduisent à quatre dans le plan p” .

Enfin , du plan p" au plan p'”, chaque section n’en contiendra plus que deux.

Le plan vertical p'" ne déterminera qu’un point de tangence qui sera situé sur le plus grand parallèle de la surface.

728. Les quatre points 2, 2,2,2, devront être vérifiés de toutes les manières possibles. Les droites, menées par ces points parallèlement à la ligne donnée, seront tangentes à la courbe de contact , ce qui n’a lieu pour aucun autre point de la même courbe.

729. Nous n’avons indiqué sur la figure, que des plans coupants verticaux, mais il est évident que l’on peut également faire usage des sections perpendiculaires au plan vertical de projection.

On pourra recourir à ce moyen lorsqu’il restera quelque incertitude sur la position des points cherchés, ce qui aura lieu toutes les fois que dans le voisinage de ces points la courbure de la section auxiliaire sera peu sensible.

On sera dispensé de construire les sections de la surface parles plans coupants auxiliaires, en opérant de la manière suivante :