solution . Méthode des cylindres projetants. On

prendra successivement chaque plan méridien pour plan auxiliaire de projection comme nous Tavons fait au n° 704; de sorte que la question sera réduite à construire parallèlement à la droite donnée , des plans tangents aux cylindres horizontaux qui déterminent les diverses projections de la surface sur les plans des mérifiiens.

Voici Fordre des opérations :

731. La droite donnée (/%. 417) n’étant déterminée que par sa direction , il sera toujours permis de la placer dans le plan de l’un des méridiens de la surface, de sorte qu’elle couperait l’axe en un point oo' , pris à volonté sur cel axe.

On choisira un second point quelconque ss' par lequel Oïl abaissera la droite s — s" perpendiculaire sur la trace du méridien G.

Le point s" ramené en s'" déterminera de sorte que sera la projection de la droite so^s'o sur le plan du méridien G rabattu en B.

Gela étant fait, on construira toutes les tangentes qu’il sera possible de mener à la section méridienne de la surface. Ges lignes seront les intersections du plan G par autant de plans tangents au cylindre horizontal qui déterminerait le contour de la projection sur le plan du méridien G.

Les six points de tangence 1,1,1 — , obtenus par l’opération précédente, seront projetés en U,l'.,...,. sur la trace du méridien B; on les ramènera de là en l'',l" — sur la trace du méridien G, d’où on déduira leurs projections verticales l'",l"M'"

En o[)crant de la meme manière on obtiendra six points sur chacun des méridiens de la surface.

Ges points appartiennent à trois courbes fu/n ^ //// , iiu

PL. Gi. SURFACES DE RÉVOLUTION. 323

que Ton reconnaîtra facilement à l’inspection de la projection verticale de la surface.

L’exactitude du résultat dépendra du soin avec lequel les points de tangence auront été déterminés.

Les tangentes parallèles à la projection verticale s'o' de la droite donnée, détermineront les six points suivant lesquels la surface serait touchée par six plans perpendiculaires au plan vertical de projection et parallèles à la droite so,s'o\

Ces points auront leurs projections horizontales sur la trace du méridien B.

Si on fait tourner le méridien s — A jusqu’à ce qu’il soit rabattu sur le plan du méridien principal , le point s viendra se placer en s" , d’où on déduira s'’\ de sorte que sera la droite donnée, rabattue dans le plan du méridien B.

Cela étant fait, les six tangentes parallèles à s''^o\ détermineront les pojnts suivant lesquels la surface serait touchée par six plans i)arallèles à la droite so,s'o' et perpendiculaires au plan du méridien s — A.

Ces six points, projetés sur la trace du méridien B et ramenés de là dans le plan du méridien s — A, seront les points les plus élevés et les plus bas des trois courbes de contact.

Enfin, si on projette sur le plan horizontal, le plus grand parallèle et les deux cercles de gorge qui,

dans l’exeniple proposé, ont une projection horizontale commune.

Les intersections de ces trois cercles par le plan du méridien D, détermineront six points suivant lesquels la surface serait touchée par six plans verticaux parallèles à la droite donnée. Ces plans seraient tangents aux trois cylindres verticaux qui touchent la surface suivant les pa-

rallèles qui par conséquent devront contenir

les points de tangence déterminés par cette dernière opération.

732. On devra , comme au n® 709 , profiter de la disposition symétrique des plans méridiens.

Ainsi , les points obtenus dans le méridien B , seront reportés à la même distance de Taxe sur la trace du méridien d’où on déduira leurs projections verticales sur les parallèles correspondants.

Les points obtenus dans le méridien G détermineront ceux qui sont placés à la même hauteur dans le plan du ' méridien G'.

733. La solution que nous venons d’expliquer permet d’obtenir les points qui appartiennent à un méridien déterminé, mais si on voulait trouver un point de tangence sur un parallèle il faudrait opérer de la manière suivante.

734. 3® solation. Méthode des cônes tangents. Nous reprendrons encore une fois pour exemple la surface annulaire que nous ne saurions trop étudier, yjuisqu’elle contient les éléments de toutes les autres surfaces de révolution (666).

La droite donnée étant déterminée par ses deux projections s — 0,5' — o' [fig. 419), je suppose que l’on veut obtenir ceux des points de la ligne de contact qui sont situés sur le parallèle ou, du'.

On tracera la droite o'z qui touche au point 0' la section méridienne de la surface.

On fera tourner cette tangente autour de Taxe, et par ce mouvement on engendrera un cône circulaire qui touche la surface donnée dans toute l’étendue du parallèle ou, du,

de sorte que tout plan tangent au cône sera tangent à la surface en un point de ce parallèle.

La question sera donc réduite à construire, parallèlement à la droite donnée , deux plans tangents au cône circulaire engendré par la droite (472). Voici l’ordre des opérations :

1® on tracera la droite" zh\ parallèle à s'o' , cette ligne sera la projection verticale de l intersection des deux plans tangents demandés ;

2° On déterminera le point h'h suivant lequel la droite zh\ zh perce le plan du parallèle que nous prenons

pour la base du cône auxiliaire;

3® On mènera par le point li deux tangentes à la projection horizontale de ce parallèle.

Les deux points de tangence 1,1, déterminés avec toute Inexactitude possible, appartiendront à la courbe cherchée.

Il ne restera plus qu^à obtenir les projections verticales de ces points en élevant les deux perpendiculaires 1 — jusqu’à leur rencontre avec le parallèle

735. Le plan horizontal contient encore deux autres points situés sur le parallèle ac^a'c'. Pour les obtenir on construira la tangente ex que Ton prendra pour génératrice d’un second cône auxiliaire qui toucherait la surface suivant le parallèle ac.,a'c'.

On tracera la droite a^/', parallèle à la ligne oV. Cette ligne xr\ intersection des deux plans tangents au cône auxiliaire qui a son sommet en x, percera le plan horizontal qui contient la base de ce cône en un point rr, par lequel on construira les deux tangentes r — 2, r — 2.

Cette opération déterminera les points 2,2, dont on obtiendra les projections verticales en élevant les perpen-

diculaires 2 — 2', 2 — 2' jusqu'à la rencontre du parallèle aV.

Il ne restera plus qu'à répéter ces opérations pour obtenir autant de points que l'on voudra.

736. Les points les plus élevés des deux courbes s'obtiendront en construisant des tangentes à la section méridienne, parallèlement à la droite s"o' qui représente la ligne donnée so^s^o', rabattue dans le plan du méridien principal.

Ces tangentes sont les génératrices des derniers cônes auxiliaires.

737. 4® solution. Méthode des sphères tangentes. Si nous prolongeons le rayons ed du cercle générateur de la surface jusqu'à sa rencontre avec Taxe, nous obtiendrons un point o\ et la circonférence décrite de ce point comme centre avec le rayon o'd sera la projection d’une sphère tangente à la surface suivant la circonférence du parallèle ac,a!c' \ de sorte que tout plan qui toucherait la sphère en un point de ce parallèle serait tangent à la surface donnée. Il ne reste donc plus qu’à choisir, parmi tous les plans qui satisfontà celte condition , ceux qui seraient parallèles à la droite so^s'o'.

Or, si par le centre de la sphère nous construisons la droite os^ds' parallèle à la ligne donnée, et que nous rabattions cette droite dans le plan du méridien principal, le diamètre nn perpendiculaire sur o’s” représentera dans ce rabattement la projection du grand cercle suivant lequel la spbère auxiliaire est touchée par tous les plans parallèles à la droite 05,oV, rabattue en ds".

Mais le cercle nn et le parallèle a'c\ appartenant tous deux à la sphère , se coupent en deux points qui , sur le

PL. (M. SUHFA(.ES DE KÉVOLüTloN.

ra! alternent, se projetîent en un seul point 2", et qui sont les deux points demandés.

11 ne reste plus qu’à faire revenir ces points à la place qu’ils doivent occuper sur la surface donnée.

Pour atteindre ce but , nous remarquerons d’abord qu’ils doivent être situés tous les deux sur le parallèle «c, a'c'.

De plus, le point 2^' étant projeté en 2'” et ramené en 2‘^, sera le milieu de la corde 2 — 2 qui joint les deux points projetés en 2'' sur le rabattement.

EnGn on tracera la corde 2 — 2 perpendiculaire sur os.

Les deux intersections de cette corde avec le parallèle «o, détermineront les projections horizontales 2,2 des points cherchés; leurs projections verticales s’obtiendront en élevant les deux perpendiculaires 2 — 2', 2 — 2'.

738. Le rayon u'e, prolongé jusc|u’à sa rencontre avec l’axe, détermine un point l que l’on prendra pour centre d’une seconde sphère auxiliaire , tangente à la surface donnée suivant la circonférence du parallèle.j^w, v'ii .

La droite mm perpendiculaire sur o's" est la projection sur le plan os , rabattu en ou , d’une partie du grand cercle, suivant lequel la sphère qui a pour rayon lu , serait toucbé(î j)ar tous les plans parallèles à la droite donnée rabattue en o' s” .

La circonférence mm coupera le parallèle ou' en deux points qui se projettent tous deux en l” et qui satisfont aux conditions demandées.

La perpendiculaire l" — l'” détermine l"'qui, ramené en sera le milieu de la corde qui joint les deux points cherchés 1,1 ; on tracera cette corde perpendiculaire sur oSy ce qui donnera sur le parallèle ou les projections horizontales 1,1 de ces points.

Enfin, les deux perpendiculaires 1 — L, 1 — l' donnent les projections verticales l',l'.

739. L'emploi d'une sphère tangente comme surface auxiliaire, serait utile surtout dans le cas où Ton voudrait obtenir un point de tangence sur un parallèle qui serait très -près du cercle de gorge ou du plus grand parallèle, parce que dans ce cas le sommet du cône tangent employé dans la troisième méthode , se trouverait très-loin en dehors de l'épure, et l'on ne pourrait plus construire la droite intersection des deux plans tangents demandés.

740. Il est évident que les opérations précédentes pourraient être simplifiées si on prenait un plan de projection parallèle à la ligne donnée.

C'est uniquement pour exercer, que l'on a choisi une disposition difïérente.

741. Construire un plan tangent à Thyperboloïde de rèsfolution parallèlement a la droite so,s'o^(y/^. 420).

Si on veut obtenir les points de tangence sur un méridien ou sur un parallèle donné , on construira ces courbes et l’on fera pour le reste comme nous l’avons dit aux n'’^ 730, 734 et 737.

Mais si on veut obtenir le point de tangence sur une génératrice ac,a'c\ il faudra opérer de la manière suivante :

Par un point quelconque uu\ pris sur la génératrice donnée, on construira la droite parallèle à la ligne

donnée so,s'd.

Le plan /?,quicontient les deux droites {au,a'u') nV'),

sera le plan tangent demandé.

En effet, la droite ex, parallèle à la trace horizontale du plan P J coupera le parallèle aex en un point x par lequel on pourra toujours construire une droite xz,x'z' qui appartient à la seconde génération de la surface (661).

De plus , ces deux droites se coupant an point mm\ elles

sont situées toutes deux dans le plan p et peuvent être considérées comme les deux tangentes qui déterminent ce plan (629).

Les points m,m! sont les deux projections du point de tangence demandé.

742. L’hyperboloïde de révolution étant une surface du second degré , il résulte du principe que nous avons énoncé au n° 722, que la courbe suivant laquelle cette surface serait touchée par un cylindre ou par un cône, sera ellemême du second degré; de sorte qu’elle se projettera toujours par une ligne droite sur un plan perpendiculaire à celui qui la contient.

Cette remarque peut donner lieu à des abréviations.

743. Par une droite donnée ^ construire un plan tangent a une surface de révolution.

744. U® 5o/Ma‘ow. Étant données la surface A et la droite « {fig. 425, PL 62) , on prendra sur la droite un point quelconque s et l’on construira (700) la courbe vu suivant laquelle la surface serait touchée par le cône qui aurait son sommet en s; il ne restera plus qu’à construire par la droite donnée des plans tangents au cône (471 ).

Pour y parvenir on coupera ce cône par un plan quelconque, et l’on construira la courbe de section zx (475); on déterminera pareillement le point m suivant lequel ce plan coupe la droite «, et l’on tracera les deux droites mz,mXy tangentes à la courbe de section. Chacune de ces tangentes et la droite donnée détermineront un plan qui satisfera aux conditions du problème.

Dans l’exemple représenté sur la fig. 425, il n’y aurait que deux solutions; mais il est évident que pour certaines surfaces de révolution dont la section méridienne

aurait beaucoup de sinuosités, il pourrait y avoir un plus grand nombre de plans tangents.

745. 2® solution. Au lieu d’un cône on pourrait employer un cylindre auxiliaire (|ui serait parallèle à la droite donnée; cela reviendrait à supposer que le sommet du cône est reculé sur cette droite jusqu’à l’infini.

746. 3® solution. On prendra sur la droite donnée a (Jlg. 424) un point quelconque s , et considérant ce point comme le sommet d’un cône qui envelopperait la surface, on construira la courbe de contact ou.

On prendra ensuite sur la meme droite un autre point quelconque t pour sommet d’un second cône qui envelopperait la surface, et l’on construira la courbe de contact zx.

Tous les points communs à ces deux lignes de contact détermineront les plans tangents demandés.

En effet, le plan qui toucherait la surface donnée au point m , par exemple , devrait contenir toutes les tangentes à ce point. Il contiendrait donc la droite ms, qui est une génératrice du premier cône auxiliaire, et qui par conséquent est une tangente de la surface; par conséquent il passerait par le point 5. De plus il contiendrait la droite mt , génératrice du second cône auxiliaire, et passerait par le point t, sommet de ce cône donc il contiendrait la droite st.

747. solution. On pourrait remplacer l’un des cônes auxiliaires par un cylindre parallèle à la droite donnée, ce qui reviendrait à supposer que l’un des deux points est situé à l’infini.

Les moyens de construire les lignes de contact ayant été exposés dans les articles 700 , 701, etc. , je me bornerai à

faire Tapplication des principes précédents à quelques cas particuliers.

748. Supposons qu’il s’agisse {fig. 421) de construire par la droite bb' deux plans tangents à un ellipsoïde de j'éi^olution A,A’, et proposons-nous d’appliquer la solution du n° 744.

Nous admettrons d’abord que le sommet ss’ du cône auxiliaire pouvant être pris à volonté, il sera permis de choisir ce point dans le plan du méridien principal ; de sorte que la courbe de contact se projettera sur le plan vertical par une droite zx (722). Il faut maintenant couper le cône et la droite bb' par un plan quelconque, et construire , par le point où la droite bb' perce le plan , des tangentes à la courbe suivant laquelle ce même plan coupe le cône.

Nous allons chercher quelle doit être la direction du plan coupant pour que les opérations soient les plus simples possible.

Pour résoudre cette partie de la question, concevons le cylindre vertical G, qui touche la surface donnée suivant son plus grand parallèle tr. Les génératrices qui forment les limites des projections du cylindre et du cône auxiliaire , se couperont aux quatre points a' ,a",a' ,a" , qui seront les sommets d’un quadrilatère circonscrit à la projection verticale de l’ellipsoïde.

Nous admettrons que dans un quadrilatère circonscrit a une ellipse ou à un cercle, les cordes qui joignent les points de tangence opposés passent par le point d'intersection des deux diagonales. (Géom. analyt. ).

D’après cela, supposons que les droites zx,tr, a'a' .,a"a" soient les traces de quatre plans perpendiculaires au plan vertical de projection.

La section de l’ellipsoïde et du cône par le plan p"q" sera l’ellipse zx. Le point ee', suivant lequel celte ellipse coupe le parallèle tr, appartient au cylindre j)rojetant G.

Il résulte de là que les deux ellipses suivant lesquelles le cylindre et le cône sont coupés par le plan pq doivent coïncider, puisqu’elles ont un axe commun a'a' , et un point commun en ee\

De plus, cette ellipse, commune aux deux surfaces, étant située sur le cylindre , aura pour projection horizontale la circonférence aa.

La relation précédente serait encore vraie si le sommet du cône auxiliaire était située dans l’intérieur du cylindre G; mais alors les deux courbes ?/’, zx ne se couperaient pas , et l’on ne pourrait plus raisonner de la même manière. Dans ce cas, il serait utile de recourir à l’analyse pour démontrer que la courbe suivant laquelle le plan pq coupe le cône auxiliaire, est en même temps située sur le cylindre G, et se projette par conséquent par un cercle aa.

Ge théorème élant admis, il est évident que la courbe rza, a'a'scTA la directrice la plus simple que nous puissions prendre pour le cône auxiliaire.

L’intersection du plan pq par la droite donnée bb' sera un point mm! par la projection horizontale duquel on construira les deux tangentes mo,mc. Les projections verticales de ces lignes se confondront avec la trace du plan pq. Enfin, chacune de ces tangentes avec la droite donnée, déterminera un des plans tangents demandés par la question.

Les deux points o,c, projetés en o’ et c', détermineront les deux droites (50, 5'o') [sc,s'c') suivant lesquelles les deux plans tangents louchent le cône auxiliaire; et les points

, suivant lesquels ces droites coupent Tellipse zx, sont les poiuts de tangence sur Tellipsoïde.

7if9. 2® solution. On pourra prendre pour directrice du cône auxiliaire la ligne de contact zx ; dans ce cas les plans tangents seraient déterminés par la ligne donnée bb' et par chacune des deux tangentes menées par le point où cette droite perce le plan p"q" .

On pourra éviter la projection elliptique de l’ellipse zx en employant un plan auxiliaire sur lequel cette projection serait un cercle (402).

730. 3® solution. Si on suppose la surface enveloppée par deux cônes auxiliaires (746) , on pourra disposer les opérations de la manière suivante (/%. 423) :

Il sera toujours permis de prendre pour sommet de l’un des deux cônes le point tt' suivant lequel la droite donnée ôè' perce le plan horizontal qui contient le plus grand parallèle de la surface. Dans ce cas la courbe de contact sera une ellipse qui se projettera sur le plan horizontal par la corde cc.

On prendra ensuite pour sommet du second cône auxiliaire le point s's\ suivant lequel la droite bb' perce le plan du méridien principal, de sorte que la seconde courbe de contact aura pour projection verticale la corde cia.

Les points de tangence devant appartenir aux deux ellipses aa,cc (746), doivent se trouver par conséquent sur l’intersection des deux plans u{^p, u^'p' qui contiennent ces courbes.

Ces deux plans, étant perpendiculaires aux plans de projections, sont les plans projetants, de leur intersection qui alors sera projetée par les deux droites iWyiiu.

Tl ne reste donc plus qu’à chercher les points suivant

lesquels cette droite coupe l’une des deux courbes de contact cc,aa.

Nous choisirons la dernière de ces deux lignes, et pour éviter la construction de l’ellipse qui résulterait de sa projection ou de son rabattement , nous chercherons la position du plan sur lequel sa projection serait un cercle (402).

Ainsi, après avoir déterminé le centre o', nous rabattrons le parallèle qui contient ce point, et l’ordonnée o'z sera le demi-petit axe de l’ellipse aa. Nous construirons le triangle rectangle o'a'o en taisant le côté o V de l’angle droit égal à o'z.

De sorte que o’a' étant la projection de o'<2, la droite u"o" sera la trace du plan sur lequel l’ellipse aa se projettera par un cercle.

En faisant tourner ce plan autour de l’horizontale projetante du point , la circonférence a"a" sera la projection de l’ellipse aa sur le plan

Les deux points pris à volonté sur la droite

se projetteront par o" et u" , et le dernier se rabattra en v!" , de sorte que sera la projection de la droite mp», mV' sur le plan auxiliaire u'V".

Les intersections ni"' ,n"' àe avec la circonférence

a"a" , seront par conséquent les deux points de tangence demandés que l’on fera revenir d’abord en m" et n" dans le plan a'V", puis de là sur la courbe de contact aa par les deux perpendiculaires ni'm'., n"u' .

Les projections horizontales ni et n de ces points devront se trouver, sur la seconde courbe de contact cc, sur les droites parallèles à la ligne AZ et qui repré-

sentent les projections des arcs de cercles et des lignes projetantes parcourus par ces points; enfin sur les droites perpendiculaires à la ligne AZ.

PL. G2. surfaces de RÉVOLTJTIOIN.

751. Construire un plan tangent à une surface de réi^olution et parallèle à un plan donné.

Soient ( fig. 422) le plan p donné et AA' la surface donnée ; construisons la droi te ac, a'c perpendiculaire au plan donné, il ne restera plus qu’à choisir, parmi tous les plans perpendiculaires sur ac,a'c'j celui qui serait tangent à la surface donnée.

Pour satisfaire à cette dernière condition, concevons la droite ac,a'c\ rabattue en de" dans le plan du méridien principal, la tangente su, perpendiculaire sur o!c'\ représentera dans ce rabattement Fint*ersection du plan cherché par le plan méridien ac; nous ferons revenir la droite su dans ce méridien , ce qui nous donnera le point i" par lequel nous construirons la trace horizontale du plan demandé p\

Ce plan devant contenir le point s, sa trace verticale sera facile à déterminer. De plus, cette trace verticale devra être parallèle à celle du plan p^ et par conséquent perpendiculaire sur a'd .

Le point de tangence m", étant ramené dans le plan du méridien ac, deviendra mni . La droite me, m'z, perpendiculaire sur le plan p\ sera la normale et sera parallèle h la droite donnée ac,dc' .

752 Dans l’exemple que nous avons choisi il y aurait un second plan tangent au point nîi .

753 Pour certaines surfaces de révolution il pourrait y en avoir davantage. 11 est évident qu’il y aura autant de solutions que l’on pourra construire de tangentes à la section méridienne perpendiculairement à la droite de" .

754. Projection oblique des surfaces de réi^olution. Lorsqu’on veut exécuter un solide de révolution, il faut

le projeter de la manière la plus simple, et dans ce cas on doit prendre un plan de projection perpendiculaire à son axe; mais lorsqu'il est nécessaire de projeter le corps dans une position inclinée, les opérations deviennent plus difficiles.

755. Les dessinateurs se contentent ordinairement dans ce cas de concevoir la surface coupée par un certain nombre de plans perpendiculaires à son axe. Chaque section circulaire a pour projection une ellipse, et la courbe tangente à toutes ces ellipses forme le contour de la projection.

Cette manière d’opérer convient évidemment pour les arêtes circulaires de la surface; mais pour les autres parties, elle ne donne le contour de la projection que d’une manière approximative, et laisse de l’incertitude sur la position de certains points singuliers dont nous parlerons bientôt.

756. Pour ne pas augmenter, sans nécessité, le nombre des planches, nous choisirons un exemple qui contienne à peu près toutes les variations de courbure, et nous proposerons dans ce but de construire les deux projections du balustre dont la section méridienne est projetée {fig. 427,

Les données sont:

1“ La section méridienne dont nous venons de parler;

2° Les deux projections ac^a'c' de Taxe de la surface.

Voici quel doit être l’ordre des opérations.

757. Projection auxiliaire {jig. 427). On commencera j)ar construire la section méridienne sur un plan vertical AZ', parallèle à la droite ae,a'c' .

Pour obtenii' rinclinaison de cette projection, il suffira de projeter deux points quelconques de la ligne ac,a!c\

On projettera ensuite la surface sur un plan perpendiculaire à son axe, et l’on rabattra cette nouvelle projection 430 ).

Quand l’épure sera disposée comme nous venons de le dire , on commencera les opérations nécessaires pour déterminer les deux projections obliques.

758. Projection horizontale [Ji§. 428). Les limites de cette projection étant les traces des surfaces cylindj^iques perpendiculaires au plan horizontal et tangentes à la surface donnée, la question se réduit à l’application des principes exposés aux n"® 724 , 725 , etc.

opération. Par un point quelconque o'\ pris à volonté sur Taxe a"c" {fig^ 427), on construira la droite o'V, perpendiculaire au plan horizontal AZ'.

La projection de cette droite sur la Jig, 430, sera o'”u.

2® opération. On déterminera sur les deux projections 427 et 430 toutes les courbes suivant les(juelles les différentes parties de la surface donnée seront touchées par autant de surfaces cylindricjues parallèles à la droite oV, o'"u , et par conséquent perpendiculaires au plan horizontal de projection.

Ces courbes sont au nombre de trois, savoir : la première mn , sur la portion de surface qui forme le col du balustre; la seconde courbe zx est située sur la partie convexe de la surface, et la troisième w’ appartient à la scotie.

Ces trois courbes ont beaucoup d’analogie avec celles que nous avons obtenues sur la surface annulaire, et devront par conséquent être construites par les principes exposés aux n°* 724, 725, etc.

Les trois courbes dont nous venons de parler étant coupées symétriquement par le plan méridien les parties vues et cachées de ces courbes se confondront sur la projection 427.

739. Dans l’exemple qui nous occupe, nous avons supposé que la zone convexe du balustre était une portion d’ellipsoïde de révolution, d’où il résulte que la ligne de contact est une courbe plane, et par conséquent se projettera sur la fig. 427 par une ligne droite zx.

760. Quand les trois courbes précédentes seront obtenues sur les deux projections 427 et 430, on fera tourner cette dernière figure pour la ramener dans la position de la fig. 431^ et tous les points du contour de la projection horizontale de la surface seront alors déterminés par les intersectioîis de deux systèmes de lignes, les unes ])arallèles, les autres perpendiculaires à la ligne AZ' et menées par les points correspondants des deux 427 et 431.

761. Points de rehroussement. Les projections horizontales des courbes , situées sur le col du balustre et sur la scotie, contiennent chacune quatre points de rebroussement; pour mieux faire comprendre la forme de ces courbes, on les a transportées (/%. 432).

762. On pourra trouver singulier qu’il y ait sur la projection horizontale des points de rebroussement qui n’existent pas sur la projection verticale correspondante, mais cela est très-facile à concevoir; en efiet, si la courbe ellemême contenait un ou plusieurs points de rebroussement , on devrait s’attendre à retrouver des points analogues sur toutes les projections de la même courbe; mais ici , aucune des deux courbes dont il s’agit ne contient de points de

cette espèce, et ceux qui existent sur leurs projections horizontales, proviennent de ce que, pour ces points, la perpendiculaire projetante, parallèle à oV,o"'m, se confond avec la tangente à la courbe.

Supposons, par exemple, que Ton ait obtenu (/%. 429) les deux projections d’une courbe à double courbure aoa^ la droite hh étant la tangente au point o. Si l’on tire les (leux extrémités a, a en les écnrtant Tune de l’autre comme pour rectifier la courbe, on lui fera prendre la forme indiquée par les deux projections a!a\ et la tangente deviendra b'h\

Or, par suite du mouvement de rotation de la tangente il j)eut J avoir un instant où cette ligne étant perpendiculaire au plan vertical, sa projection sur ce plan se réduit à un point.

Les deux projections de la courbe deviennent alors a” a!' y et le point de rebroussement o" est la projection verticale de la tangente.

763. Ainsi , les points de rebroussement de la projection horizontale (yîg. 428 ) sont les projections des points suivant lesquels les deux courbes m/z,p'r, sont touchées par des parallèles à la droite o"ii,o'”u [Jig- 427, 430).

Il est essentiel de déterminer ces points avec toute l’exactitude possible sur les quatre projections 427, 430, 431 et 428, et de s’assurer qu’ils sont bien liés entre eux par les lignes de projection correspondantes; s’il y avait quelque irrégularité à cet égard, cela indiquerait une erreur dans la construction des courbes; il faudrait alors en chercher la cause et la faire disparaître. Ces vérifications ont été conservées sur l’épure, pour les points 1 et 2 seulement.

764. Les projections horizontales des arêtes circulaires se construiront comme nous l’avons dit au n® 406.

765. Projection \^erticale ( Jig. 426). Le contour de cette ])rojcclion se compose des traces des divers cylindres tangents, perpendiculaires au plan vertical de projection ou parallèles à une droite qui serait elle-même perpendiculaire à ce plan. Voici quel sera Tordre du travail.

opération. La droite os , perpendiculaire au plan vertical de projection, se projettera sur ce plan par un seul point o\ et sur le plan auxiliaire (/%. 427) par la droite oV, parallèle cà A Z'.

Pour avoir la projection delà même droite sur les deux fig. 430 et 431 , on construira les deux triangles rectangles qui ont pour côtés s'”G=zs"e' {fig. 427) et o"'e=oh (./%• ^28).

L’hypoténuse o'V^' sera la projection de la droite os, o”s” sur les plans des fig. 430 et 431 , perpendiculaires à Taxe du balustre.

2® opération. On déterminera sur les fig. 427 et 430 les courbes suivant lesquelles les surfaces de révolution du balustre sont touchées par des plans parallèles à la droite o"s'\o'"s'” (724 et 725).

Ces lignes seront les directrices des cylindres projetants, perpendiculaires au plan vertical de projection.

3® opération. On reportera les courbes précédentes de la fig. 430 à la fig. 431, et leurs projections horizontales seront déterminées, sur la fig. 428, parles intersections des lignes de ])rojection parallèles et perpendiculaires à AZ', menées par les points correspondants àes fig. 427 et 431.

4® opération. Quand on aura construit avec beaucoup d’exactitude, sur la fig. 428, les projections horizontales des trois courbes de contact, il ne restera plus qu’à obtenir leurs projections verticales sur la fig. 426.

Pour y parvenir, on élèvera des perpendiculaires à la ligne AZ par tous les points de la projection horizontale, et la hauteur de chacun de ces points sera donnée par sa projection auxiliaire {fig. 427).

766. Les projections verticales des deux courbes , situées sur le col du halustre et sur la scotie, ont chacune quatre points de rebroussement qui sont les projections des points suivant lesquels chacune de ces courbes est touchée par des droites parallèles à la ligne 05,0^5", et par conséquent perpendiculaires au plan vertical de la fig, 426.

Il sera donc essentiel de vérifier la position de chacun de ces points sur les cinq projections 427, 430, 431 , 428 et 426.

767. Les arêtes circulaires du halustre se projettent sur la Jig, 426 par des ellipses semblables.

Les diamètres de ces ellipses se déduiront facilement de leurs projections horizontales.

On remarquera que pour chaque ellipse, le grand axe est perpendiculaire à la droite a!c' .

On peut, connaissant le grand axe et un point, construire avec beaucoup de précision Tune de ces ellipses; puis après avoir déterminé le second axe, on obtiendra les axes de toutes les autres ellipses en opérant comme au n“ 415.

Les projections d’un même cercle sur les deux /%. 426 et 438 doivent être touchées par les mêmes droites perpendiculaires à la ligne AZ.

768. Si Ton a de la place, on peut employer une seconde projection auxiliaire , perpendiculaire au plan vertical de projection et parallèle à la droite a'd.

Gela dispensera de construire sur la projection horizontale les courbes suivant lesquelles la surface est touchée par les cylindres projetants, parallèles à la droite

769. Si au lieu de construire les plans tangents parallèlement à une droite donnée, on les avait fait passer par un point, les courbes obtenues dans ce cas auraient déterminé le contour de la figure suivant laquelle on apercevrait la surface si Toeil coïncidait avec le point donné.

Cette question, qui se rattache à la perspective, trouvera plus tard sou application.

770. Construire r intersection d’une surface de résidution par une droite (//^. 434, PL 64).

1^® solution. On coupera la surface par un plan p, contenant la droite donnée bb' et perpendiculaire au plan vertical de projection.

La projection horizontale odue de la courbe de section pourra être obtenue en opérant comme nous l’avons dit au n° 634.

Les deux points npi., suivant lesquels cette courbe est rencontrée par la projection b de la droite donnée , seront les projections horizontales des points cherchés.

Les projections verticales n\n\ de ces points, seront situées sur la trace verticale du plan auxiliaire p.

On fera bien , comme vérification , de construire les parallèles correspondants à ces points.

771 . 2® solution. Si la projection horizontale de la droite donnée rencontrait celle de la courbe de section, suivant des angles trop aigus, on rabattrait le plan auxiliaire/? autour de sa trace horizontale.

Par suite de ce mouvement, la courbe deviendra ito"(:i?W',

SURFACES DE REYOLUTIOiS .

et serait reiK'ontrée par la droite L" en deux points qui, ramenés dans le point donneront nn,n'ii pour les projections des points demandés.

772. 3° solution. Toutes les fois que la courbe de section de la surface donnée, par le plan auxiliaire, sera une ellipse, on pourra éviter la projection et le rabattement de cette courbe, en la projetant sur un plan p\ incliné de manière que la projection soit une circonférence de cercle. On obtiendra la direction du plan p' en construisant le triangle rectangle o'xu\ dans lequel le côté lîx est égal au petit axe de de l’ellipse du' (1^02).

Le plan p' étant rabattu autour de sa trace liorizontîde, la courbe de section se projette dans ce rabattement par la circonférence ir, et les intersections de celte lii^iie par la droite b'" déterminent les deux points cherchés n'" ,d" , qui , ramenés d’abord dans le plan p'et de là dans le plan p, deviennent n'ji^n'n.

773. 4® solution. On peut employer, comme surface auxiliaire, un hypcrboloïde de révolution engendré par la droite donnée, et qui aurait le meme axe que la surface donnée {fig- 433).

En amenant successivement la droite donnée bb' dans les deux plans verticaux pp et p'p' , on aura les asymptotes ce', i/d' du méridien principal. 11 sera facile (277) de construire une partie xs'u de ce méridien , puistjue l’on connaît les asymptotes et le point 55' du cercle de gorge dont le rayon 05 est égal à la perpendiculaire os" , abaissée du point o sur la projection horizontale bb de la droite donnée.

La surface donnée sera coupée par l’hyperboloïde auxiliaire suivant les parallèles zx.,^u (6G9), et les intersections m'nide ces deux cercles, par la droite bb’ , seront les points demandés par la question.

774. Dans quelques cas [îarticuliers les opérations peuvent être plus simples. Ainsi, par exemple (y/g-. 434).

Si la projection horizontale de la droite donnée, passait par le point i, on en conclurait que cette ligne rencontre Taxe, et dans ce cas, on emploierait comme surface auxiliaire le plan méridien is. Ce plan couperait la surface donnée suivant une section méridienne dont l’intersection m'm, avec la droite is,i's\ serait le point demandé.

Il est évident que l’on serait dispensé de construire la section méridienne en rabattant la droite donnée en zVy cette opération donnera ni"', qui, ramené dans le plan iSj deviendra m'm.

775. Enfin, si la droite donnée était située dans un plan perpendiculaire à Taxe, on emploierait ce plan comme surface auxiliaire, et, dans ce cas, la courbe de section serait un cercle.

776. Construire V intersection d'une surface de résolution par une courbe quelconque.

l*"® solution. On pourra employer {fig. 434) comme surface auxiliaire l’un des cylindres projetants de la courbe donnée a,a! . L’intersection avec la surface donnée, se construira en élevant des perpendiculaires par les points où la projection a de la courbe donnée rencontre les projections des parallèles de la surface.

Les intersections de la courbe \^'y avec a! donneront les points cherchés z'z.

777. 2® solution. On peut employer (//g. 433) comme surface auxiliaire une seconde surface de révolution ayant le même axe que la surface donnée.

En opérant comme nous l'avons dit au n® 6i8 , on construira la partie de méridien l' — 2' — 3'. Les intersections de cette courbe avec le méridien principal de la surface donnée détermineront les deux parallèles communs x'n! et r'ji' , et les points cherchés n'n résulteront de la x'encontre de ces parallèles avec la courhe donnée

Section d'une surface de résolution par un plan oblique.

778. On emploiera comme surfaces auxiliaires des plans perpendiculaires à Faxe de la surface de révolution. Soit {Jig. 435) la surface annulaire A, A', et le plan B. Un plan horizontal p coupera la surface suivant deux cercles (c,c') (c,c'), et le plan donné suivant la droite aa! . Cette droite

coupera les deux cercles en quatre points {m,m!)

qui satisferont à la question proposée. Un second plan horizontal donnera quatre nouveaux points , et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’on ait obtenu un nombre de points suffisant pour construire correctement la courbe de section.

779. Il ne faut pas oublier que nous raisonnons toujours ici d'une manière générale; mais dans l'exécution de l’épure il se présente souvent des circonstances particulières qui engagent à modifier le principe et à recourir à des constructions auxiliaires. Ainsi, dans l'exemple proposé, lorsqu’on arriverait dans le voisinage des points uii et ss' , les intersections se feraient suivant des angles trop aigus. Dans ce cas , on pourrait employer comme auxiliaires des plans verticaux passant par l’axe de la surface donnée : ces plans couperont la surface suivant des sections méridiennes dont on évitera la projection en les rabattant autour de l’axe. C’est ainsi que les points {uil) {wd) ont été déterminés. Le premier de ces points est le plus élevé et le second est le plus bas de la courbe d'intersection. Un plan

vertical p” a coupé la surface donnée suivant une section méridienne qui, en tournant autour de Taxe, est venue se confondre avec la projection verticale o” du méridien principal. La droite provenant de l’intersection du plan B et du plan auxiliaire p" est venue se rabattre en a", et Tintersection de cette ligne a" avec la section méridienne c" a donné deux points s',z', qui, projetés horizontalement en 5, Z, et ramenés dans le plan ont déterminé les points Les points xx\oo\ situés dans

le plan méridien p'” , orit été déterminés de la même manière.

Ainsi , on devra employer la première méthode quand on voudra obtenir un point sur un parallèle de la surface , et Ton emploiera la seconde quand il s’agira de trouver un point sur un méridien.

780. On peut quelquefois trouver dans la définition ou dans les propriétés de certaines surfaces des moyens d’exécution particuliers. Ainsi .par exemple, s’il s’agissait de construire (/%. 436) la section de l’hyperholoïde par le plan B, on pourrait, comme précédemment, faire usage de plans perpendiculaires à l’axe ou de plans méridiens ; mais on pourrait encore employer des plans coupant l’hyperboloïde, suivant les génératrices de cette surface. Ainsi , pour obtenir le [)oint Çmtn'), on a construit un plan po'p coupant l’iiyjierboloïdc , suivant la génératrice et

le plan B suivant la droite hb'; l’intersection de ces deux lignes a donné le point il est évident que cela

revient h chercher la suite des points suivant lesquels le plan B est percé ])ar chacune des droites génératrices de l’hyperholoïde (70).

Les joints (n,n')(s,s') ont été déterminés par le plan horizontal p'.

Enfin , en faisant une section par un plan méridien

perpendiculaire au plan B, et rabattant cette section comme nous Pavons fait dans l’épure précédente, on obtiendrait le point le plus élevé et le point le plus bas de la courbe.

Intersection des surfaces de résolution et des cylindres , cônes et sphères.

781. Intersections d'une surface de résolution et d'un cylindre.

On emploiera comme surfaces auxiliaires des cylindres parallèles au cylindre donné, ayant pour directrices les parallèles de la surface de révolution. Ainsi, par exemple {fig. 437, PL 65), la circonférence du cercle dont la projection verticale est ciU étant prise pour directrice d’un cylindre parallèle au cylindre donné , la trace horizontale de ce nouveau cylindre sera une circonférence ayant son centre en J, et pour rayon du = c’h> ; les points XyS, suivant lesquels se rencontrent les traces des deux cylindres, détermineront deux lignes droites communes aux surfaces de ces cylindres , et les intersections de ces droites avec le cercle ab,a!b\ feront connaître les deux points m'm de la courbe demandée. On obtiendra par ce moyen autant de points que l’on voudra.

Les traces des cylindres auxiliaires auront tous leurs centres sur une meme droite zc ., parallèle à la projection horizontale du cylindre donné , et passant par le point où l’axe de la surface de révolution perce le plan horizontal.

Si l’on prend le milieu de chacun des arcs de cercle qui résultent des intersections de la trace du cylindre donné avec les traces des cylindres auxiliaires , on obtiendra une courbe on qui aboutira sur la trace du cylindre donné en un point o. La droite oz normale à ce point dé-

terminera en z le centre de la trace horizontale du cylindre auxiliaire sur la surface duquel se trouve le point le plus élevé de la courbe.

Le point le plus bas se déterminera en prolongeant la courbe de l’autre côté, jusqu'au point n, par lequel on mènera une normale ns, et le point ^ sera le centre de la trace du cylindre auxiliaire qui détermine le point le plus bas.

78â. Intersection dune surface de résolution asec lui cône.

On emploiera commesurfaces auxiliaires des cônes ayant le même sommet que le cône donné, et pour directrices les parallèles de la surface de révolution. Ainsi [fig- 438), le cercle dont la projection verticale est a'b' , étant pris pour la directrice d’un cône dont le sommet serait (5,5'), la trace horizontale de ce cône sera une circonférence de cercle dont le centre sera déterminé par l’intersection de la droite sc^s'c’, avec le plan horizontal, et qui aura pour rayon du = du'. Cette circonférence coupera la trace du cône donné , suivant deux points p», x ; en joignant ces points avec le sommet commun des deux cônes, on obtiendra deux droites dont les intersections avec le cercle ab^db' appartiendront à la courbe demandée.

Il n’y aura plus qu’à recommencer cette construction pour avoir de nouveaux points de la courbe : les traces des cônes auxiliaires auront tous leurs centres sur la ligne les points extrêmes de la courbe se détermineront comme dans l’épure précédente.

783. L’exécution de ces épures suppose que la surface de révolution est projetée sur un plan perpendiculaire à son axe; s’il en était autrement, et que cette surface

PL, g:î.

fut donnée dans une position inclinée, on commencerait par la projeter sur un plan auxiliaire perpendiculaire à Taxe, ce qui ramènerait la question au cas précédent.

78i. Intersection d’une surfaee de révolution et d’une sphère.

On placera Taxe de la surface de révolution perpendiculaire au plan horizontal , et l’on prendra le plan vertical de projection parallèle au plan qui contiendra le centre de la sphère et l’axe de la surface donnée.

L’épure étant ainsi disposée , on emploiera , comme surfaces auxiliaires, des sphères ayant leurs centres sur l’axe de la surface donnée. Chaque sphère auxiliaire coupera la sphère donnée et la surface de révolution suivant des cercles perpendiculaires au plan vertical, et qui, par conséquent, se projetteront sur ce plan par des lignes droites. Les intersections de ces droites feront connaître les points de la courbe cherchée. Ainsi, par exemple (/%. ^39), la sphère dont le centre est en c\ et qui a pour rayon c'a', coupera la surface de révolution suivant deux cercles projetés sur le plan vertical par les droites a^d' Jilé , et la sphère donnée, suivant un cercleront la projection verticale sera iiin' ; l’intersection de ce dernier cercle avec les deux cercles c'd' Jélx ,, donnera quatre points qui seront projetés verticalement, deux au point o' et les deux autres en a'. Pour avoir les projections horizontales de ces memes points , on projettera horizontalement les deux cercles a'c?',/i'A', et l’on abaissera les deux perpendiculaires o'o,a'a. Une seconde sphère auxiliaire fera connaître quatre nouveaux points, et ainsi de suite.

Pour plus de symétrie dans la construction de l’épuré, on a pris les sphères auxiliaires concentriques, mais on pouvait s’en dispenser ; la seule condition essentielle ici , étant

que les centres de ces sphères soient placés sur Taxe de la surface de révolution.

785. Les mêmes moyens pourraient être employés pour tromper la courbe de pénétration de deux surfaces de ré’solution dont les axes se couperaient ^ mais , dans ce cas, après avoir choisi un plan vertical de projection parallèle au plan qui contiendrait les deux axes, il faudrait nécessairement prendre le point d’intersection de ces axes pour centre des sphères auxiliaires 5 et si dans l’exemple précédent nous avons pu prendre pour centre , tel point de Taxe que nous avous voulu, c’est parce que la sphère pouvant être considérée comme surface de révolution dans tous les sens , le point que nous avions choisi pouvait toujours être regardé comme l’intersection des deux axes.