Il résulte de ce qui précède que, pour avoir l’in
tersection d’une surface de révolution avec un cylindre, on pourra employer des cylindres comme surfaces auxiliaires; pour l’intersection avec un cône on emploiera des cônes, et pour l’intersection avec la sphère, on fera usage de sphères. ^
787. Il est bien entendu, comme nous l’avons déjà dit, que si , par suite de la disposition particulière des données, quelques points n’étaient pas déterminés avec assez de précision, il faudrait avoir recours à d’autres moyens, comme, par exemple, des plans parallèles au plan horizontal ou au plan vertical. Si l’on emploie des plans perpendiculaires à l’axe de la surface de révolution, on aura l’avantage de couper cette surface suivant des cercles; de sorte qu’il n’y aura plus qu’à construire les lignes suivant lesquelles ces mêmes plans couperont la seconde surface.
788. Dans le cas de Tintersection avec une sphère, des plans perpendiculaires à Taxe de la surface de révolution couperont les deux surfaces suivant des cercles. Il en serait de même s’il s’agissait de deux surfaces de ré^olutio?i dont les axes seraient parallèles .
789. Chacun des trois moyens de solution que nous venons d’exposer peut être employé à la recherche de la courbe provenant de la section d’une surface de révolution par un plan. Il suflit de considérer successivement cette dernière surface comme un cylindre ou un cône dont les directrices seraient droites, ou comme la surface d’une sphère dont le rayon serait infini.
790. Dans le premier cas {fig, 4-40) on supposera que le plan donné est une surface cylindrique qui a pour directrice la trace horizontale \^x et pour génératrice la trace verticale
Cette dernière ligne déterminera la direction des cylindres auxiliaires qui auront pour directrices les dilférents parallèles de la surface donnée.
Ainsi , le cylindre qui contiendrait le parallèle ac^a'd aurait pour trace horizontale la circonférence a!'c” ; les intersections de cette courbe avec la trace \^x du plan donné détermineront les deux droites parallèles h la
trace verticale et les intersections de ces droites avec le parallèle ac,a'c’ feront connaître les deux points cherchés mm! .
791 . Si on considère le plan donné comme un cône dont la directrice serait une ligne droite, on pourra prendre pour sommet le point 55', suivant lequel ce plan est percé par l’axe de la surface donnée.
Dans ce cas, les cônes auxiliaires ayant pour directrices
les différents parallèles de la surface donnée seront droits et à bases circulaires.
On n’a construit sur l’épure que celui de ces cônes qui déterminerait le point le plus bas et le plus élevé de la courbe demandée.
Sa trace horizontale uu" doit être tangente à la trace p’.r du plan donné.
Au lieu de construire la projection verticale de la génératrice si(!\ on a préféré rabattre cette ligne dans le plan du méridien su.
792. Enfin , si on voulait considérer le plan donné comme la surface d’une sphère dont le rayon serait infini , il faudrait employer un plan auxiliaire de projection vertical et perpendiculaire au plan donné : pour le reste on agirait comme au n® 784.
793. Intersection de deux surfaces de révolution dont les axes ne se rencontrent pas.
On prendra l’un des plans de projection perpendiculaire à l’axe de l’une des deux surfaces données, et le second plan de projection parallèle aux deux axes.
Supposons, par exemple {fig. 441, PL 66), que la surface AA' soit perpendiculaire au plan horizontal, la projection de cette surfa.ce sera limitée par celle de son plus grand parallèle , et sa projection verticale sera une section méridienne.
La surface inclinée BB' étant également parallèle au plan vertical, sa projection, sur ce plan, se composera d’une section méridienne, et pour construire la projection horizontale, il faudra opérer comme nous l’avons dit au
Cela étant fait , on coupera les deux surfaces par un plan
auxiliaire que nous supposons ici parallèle au plan vertical de projection.
La section de la surface AA' par le plan auxiliaire pp sera une courbe asa ; la section de la surface BB' se compo' sera des deux courbes zvz, et les intersections de ces dernières lignes par la courbe asa donneront les quatre points u,ii , qui devront faire partie des courbes de pé-
nétration demandées (G35).
La section des deux surfaces par un second plan auxiliaire déterminera c[uatre autres points.
Un troisième plan auxiliaire en donnera encore quatre, et ainsi de suite.
79/i'. Avant daller plus loin, il est nécessaire d’entrer dans quelques détails sur la construction des courbes asa^zvz.
La première de ces deux lignes ne présentera aucune dilliculté, puisqu’il suffira d’élever des perpendiculaires à la ligne AZ, par les points où la trace pp du ])lan auxiliaire rencontre les projections horizontales des parallèles que l’on aura du établir d’avance sur la surface AA'.
Pour faciliter la construction des deux courbes zk^z , il faudra également établir un certain nombre de parallèles sur la projection verticale de la surface BB',
Mais pour éviter la construction des ellipses qui représenteraient les projections horizontales de toutes ces circonférences de cercles, on les projettera sur un plan auxiliaire qp\ perpendiculaire à l’axe de la surlace inclinée BB', puis on rabattra cette nouvelle projection B" en la faisant tourner autour de l’horizontale projetante du point q , ou de tout autre point pris à volonté dans le plan qp' .
Les parallèles de la surface BB' seront représentés sur
la nouvelle projection B" par des cercles concentriques, et les intersections de ces circonférences par la trace pp du plan auxiliaire feront partie de la courbe cherchée. Il ne restera donc plus qu’à faire revenir tous ces points à leur place.
Pour y parvenir, on les projettera d’abord sur le plan horizontal (jp" que Ton fera revenir dans la position qp\ d’où chacun des points cherchés devra être ramené par une perpendiculaire au plan qp\ sur le parallèle auquel il doit appartenir. Ainsi, le point m, projeté en m' , viendra se placer en d’où on déduira sa projection verticale m"\
795. Pour plus d’ordre on fera bien de numéroter les parallèles sur les deux projections B' et B”, et l’on diminuera le travail en choisissant de préférence ceux qui ont des rayons égaux , afin qu’ils aient une projection commune sur la Jig. B".
796. On devra aussi choisir la position des plans coupants auxiliaires, de manière à obtenir les poins les plus essentiels des deux courbes de pénétration. Ainsi , par exemple , si on veut obtenir les points suivant lesquels ces courbes touchent le méridien principal de la surface AA', on coupera les deux surfaces par le plan vertical p'p' qui contient l’axe de cette surface.
Le plan p"p'' déterminera les points situés sur la section méridienne de la surface BB'.
797. La ligne n'o'ji' étant la projection verticale des deux courbes nen (758), les cylindres projetants de ces lignes pourront être employés comme surfaces auxiliaires.
Les courbes provenant de l’intersection de ces cylindres avec les parallèles de la surface AA' couperont la ligne
PL. GG- SURFACES DE RÉVOLUTrON.
n'o'îi' en quatre points dont les projections horizontales appartiendront au contour de la projection horizontale B.
798. Surface du second degré. Dans tout ce qui précède nous avons raisonné cFune manière générale, afin que les opérations indiquées puissent convenir à toutes les surfaces de révolution, quel que soit le contour de leurs sections méridiennes.
Mais , dans quelques cas particuliers , il sera possible de simplifier les opérations.
Supposons, par exemple, que les deux surfaces données soient un paraboloïde et un hyperboloïde de révolution , les sections de ces deux surfaces par les plants coupants auxiliaires seront des courbes du second degré, qui pourront, par conséquent, être construites ou au moins vérifiées par leurs propriétés géométriques.
De plus , si on emploie , comme cela est le plus simple , des plans parallèles entre eux, toutes les lignes suivant lesquelles ces plans couperont une même surface seront semblables entre elles.
Toutes les sections dans Thyperboloïde auront pour asymptotes communes les deux droites xdx qui sont les asymptotes de la section méridienne principale, et cette propriété sera d’autant plus commode qu’il suffira de connaître un point de chaque section pour être en état de la construire promptement (277).
799. Une autre propriété déjà citée des courbes du second degré facilitera le tracé de la projection horizontale de la surface inclinée; c’est que la courbe suivant laquelle cette surface est touchée par le cylindre projetant qui l’enveloppe, doit être plane, et qu’elle se projettera par conséquent sur le plan vertical par une ligne droite.
Cette courbe est une hyperbole, et si on pouvait en construire les asymptotes , la projection horizontale ne présenterait plus aucune difficulté
800. Pour obtenir ce résultat, nous rappellerons que si on faisait tourner autour de Taxe cTi de la surface inclinée l’une des asymptotes xo'x de la section méridienne, on engendrerait le cône circulaire asymptote de cette meme surface (665).
Les génératrices formant les limites de la projection horizontale de ce cône seraient les asymptotes de Thyperbole qui limite la projection horizontale de la surface.
De là résulte la construction suivante :
U® opération. La droite vt, perpendiculaire sur l'asymptote xo'x, coupera l’axe ck en un point t qui sera le centre de la sphère inscrite dans le cône asymptote ; les deux circonférences bb,dd seront les projections de cette sphère.
Enfin , les droites hoh, tangentes à la circonférence dd, et limites de la projection horizontale du cône, seront les asymptotes de l’hyperbole formant le contour de la projection horizontale de la surface BB'.
On se rappellera (497) que les points de tangence i^i peuvent être déterminés par la perpendiculaire abaissée du point i', suivant lequel la sphère est touchée par les deux plans verticaux tangents au cône asymptote.
801. Dans quelques occasions où l’on n’aurait pas d’autre but que d’ajuster deux surfaces de révolution, on pourrait se dispenser de construire la projection horizontale de la surface inclinée^ les projections B' et B” de celte surface suffisant , avec celles de la surface A , pour
déterminer tous les points des deux courbes de pénétration.
802. Intersection de deux ellipsoïdes de résolution A et B ( Jig. kkk).
On concevra (/%. la sphère G, enveloppée par deux ellipsoïdes h! et B', semblables et parallèles aux surfaces données. Ces deux surfaces auront un axe commun projeté par le point o et qui sera égal au diamètre de la sphère inscrite. De plus elles se pénétreront suivant deux ellipses qui auront pour projection les droites aa, ce.
Or, les deux ellipsoïdes A' et B' étant parallèles et semblables aux ellipsoïdes données A et B, il en résulte que si on coupe ces dernières surfaces par des plans tels que pq', parallèles à celui qui contient l’ellipse aa , on obtiendra pour sections des ellipses semblables et parallèles à cette dernière courbe, et Ton pourra toujours trouver un plan de projection sur lequel toutes ces ellipses se projetteraient par des cercles (402).
803. On arriverait au même but en coupant les deux surfaces données par des plans parallèles à celui qui contient l’ellipse ce.
On choisira celui de ces deux systèmes de plans coupants qui donne les meilleures intersections.
804. Il n’est pas nécessaire que les centres des deux ellipsoïdes auxiliaires coïncident avec celui de la sphère inscrite; il suffit que ce dernier point soit à l’intersection des deux axes. Cela est une conséquence du théorème suivant, dont la démonstration ne peut être placée convenablement que dans un traité de géométrie analytique.
Toutes les fois que deux courbes du second degré sont tangentes a une même circonférence , de manière quelles
forment par leur intersection un quadrilatère circonscrit., les diagonales passant par les sommets opposés de ce qiiadrilatère curviligne , et les cordes qui joignent deux à deux les points de tangence opposés , se coupent en un même point.
Le théorème cité au n” 748 n’est qu’un cas particulier de celui que nous venons d’énoncer, parce que les côtés rectilignes du quadrilatère circonscrit peuvent, dans ce cas, être considérés comme des variétés de courbes du second degré.
