Dans le cas le plus général , on peut supposer que
la génératrice est assujettie à s’appuyer sur trois courbes que Ton nomme les directrices de la surffice. '
Cette condition suffit pour déterminer chaque position de la génératrice; car une droite qui passant par un point de la première courbe glisserait en s’appuyant sur la seconde, serait déterminée de position, au inoment où elle rencontrerait la troisième.
809. Dans quelques surfnces la génération est déterminée par d’autres conditions. Ainsi, par exemple^ dans les surfaces cylindriques , que l’on peut regarder comme cas particuliers des surfaces réglées, puisque la génératrice est une ligne droite, on donne ordinairement une directrice, et les deux autres sont remplacées par la condition que toutes les positions de la génératrice soient parallèles entre elles.
Dans les cônes , deux des directrices sont remplacées par cette condition, que toutes les génératrices contiennent le
sommet. Enfin, dans les surfaces normales ,, la condition que la génératrice soit constamment perpendiculaire h une surface donnée permet den’emplojer qu’une directrice; mais tous ces cas particuliers pourront facilement se ramenet au cas général; car on pourra toujours, dans chaque cas, prendre pour directrices trois courbes quelconques situées dans la surface , de manière qu’elles soient coupées par toutes les génératrices.
810. L’une des trois directrices peut encore être remplacée par cette condition, que deux positions consécutives de la génératrice se trouvent toujours dans un même plan , et c’est en cela que consiste le caractère des surfaces développables.
Les surfaces réglées qui sont privées de la propriété d’étre développables se nomment surfaces gauches.
811. Enfin, on peut remplacer l’une des directrices par cette condition que la génératrice, dans son mouvement, reste toujours parallèle à un plan donné , que l’on nomme plan directeur.
Ce dernier genre de surfaces réglées devant etre fréquemment employé dans l^s applications, nous en ferons une classe particulière ; ainsi nous distinguerons deux espèces principales de surfaces réglées:
1° Les surfaces réglées qui ont trois directrices ;
2° Les surfaces réglées qui ont deux directrices et un plan directeur.
Construction des surfaces réglées qui ont trois directrices.
812. Soient (y%. 446 , P/. 07} (A. A'), (BB'), (CC'}, les trois directrices d’une surface réglée ; on veut construire la génératrice qui passe par le point ss' .
FL. 67. SURFACES RÉGLÉES. 36l
Concevons un cône qui ait pour sommet le point ss\ et pour directrice la courbe BB'; le point suivant lequel la surface -de ce cône sera percée par la courbe CC', appartient à la génératrice cherchée. En elïet , la droite su, s'il, située dans la surface du cône auxiliaire, coupera en un point la courbe BB^ que nous avons prise pour directrice de ce cône. Elle s’appuiera donc sur les trois directrices de la surface réglée suivant les points
Ss', Ull’.
Pour obtenir le point iiit', on construira (640) la courbe b\ provenant de rinterseclion du cône auxiliaire par le cylindre vertical qui contient la courbe GG'; Tintersection des deux courbes b' et G' fait connaître la projection verticale du point un'.
En recommençant cette construction, on aura autant de positions de la génératrice que l’on voudra.
Si ‘la directrice BB' était une ligne droite , le cône auxiliaire serait remplacé par un plan, et la question serait alors réduite à déterminer le point où ce plan couperait la troisième directrice GG' (329).
Il est bien entendu que l’on pourra, si on le juge plus commode , employer la courbe G comme directrice du cône auxiliaire, et chercher l’intersection de ce cône par la directrice B.
On fera bien aussi de s’assurer que les génératrices obtenues coupent les trois directrices de la surface (44).
813. Lorsque l’une des trois directrices est une ligne droite , la construction des génératrices devient extrêmement sim[)le, si en projette la surface sur un plan perpendiculaire à cette directrice droite.
Prenons pour exemple (/%. 448) la surface réglée ayant pour l’une de ses directrices un arc de cercle AA' parai-
lèle au plan vertical de projection, et dont le centre est au-dessous du plan horizontal; la seconde directrice est le demi-cercle CG', aussi parallèle au plan vertical et ayant son centre dans le plan horizontal ; enfin la troisième directrice est la droite BB', située dans le plan horizontal , et perpendiculaire au plan vertical de projection.
Cette troisième directrice se j^rojetant sur le plan vertical en un seul point B', toutes les projections verticales des génératrices doivent concourir à ce point; de sorte que pour construire, par exemple, celle qui passe par le point 55', on tracera à^B', et la projection verticale du point u sera connue p;ir l’intersection de cette ligne avec G'. En abaissant la ])erpendiculaire du point on aura u; ainsi su sera la projection horizontale de la génératrice demandée.
Dans cette construction, le plan 5'B'B, perpendiculaire au plan vertical, tient lieu du cône auxiliaire que nous avons employé précédemment pour résoudre le cas général.
La courbe zo'x est la trace verticale de la surface.
Si la directrice BB', en passant toujours par le centre de la directrice GG', cessait d être située dans le plan horizontal , et qu’elle s’inclinât en s’approchant du centre de la directrice AA', la forme de la surface se rapprocherait de celle d’un cône oblique, et elle deviendrait une surlace de cône au moment où la directrice BB' contiendrait les centres des deux autres directrices.
814. Je prendrai pour second exemple {fig. 449) la surface ayant pour directrices les deux cercles verticaux AA, GG', élevés sur les côtés du parallélogramme mnpq.^ et la droite BB' perpendiculaire au plan vertical de pro-
SURFACES REGLEES,
jection , et passant par le centre du parallélogramme; la construction se fera comme dans Tépure précédente. Les projections verticales des génératrices concourent toutes au point B'; la courbe zo'x est la trace verticale de la surface.
Si le parallélogramme m?ipq était un rectangle , les deux cercles AA', CG', auraient la même projection verticale, et la surface serait un cylindre perpendiculaire au plan vertical de projection; si au contraire les projections verticales des deux cercles s’écartaient jusqu’à ce que la diagonale pn fut perpendiculaire au plan vertical , la surface se composerait de deux moitiés de cônes qui auraient leurs sommets, l’un au point p., l’autre au point n.
Construction des surfaces réglées qui ont un plan directeur.
815. Lorsqu’on prend un plan directeur pour déterminer la génératrice d’une surface réglée, cela revient à supposer que la troisième directrice est une droite ou une courbe plane dont tous les points seraient situés à une distance infinie; car, dans ce cas, la génératrice ne pouvant rencontrer cette courbe qu’à l’infini, doit rester constamment parallèle au plan qui la contient.
816. En prenant le plan directeur pour plan de projection , la construction de ces sortes de surfaces devient extrêmement simple.
Soient, par exemple (//g. kkl), les deux directrices AA', CG', le plan vertical étant le plan directeur.
Toutes les génératrices devant être ])arallèles au plan vertical de projection , leurs projections horizontales seront parallèles à la ligne AZ ; d’où il résulte qu’en élevant des perpendiculaires par les points où ces |)rojections
rencontrent celles des directrices, on «nura les projections verticales correspondantes. Ainsi , après avoir construit su parallèle à la ligne AZ , on élèvera les perpendiculaires ss\ uu\ et la projection verticale shi sera déterminée.
Le cône auxiliaire que nous avons employé dans le principe général se trouve ici remplacé par un plan parallèle au plan vertical de projection et ayant la droite su pour trace horizontale.
817. Si le plan directeur était incliné, le cône auxiliaire serait remplacé par un plan incliné parallèle au plan directeur. On pourra étudier ce cas comme exercice, mais dans la pratique il sera toujours plus simple de prendre un plan de projection parallèle au plan directeur.
818. Parmi les cas particuliers, nous devons surtout remarquer les surfaces auxquelles on a donné le nom de conoïdes.
On nomme ainsi toute surface ayant un plan directeur,^ et une droite pour Tune de ses directrices.
Soit {/%. 4^50). La première directrice est le demicercle AA'; la seconde directrice est la droite CG', p)erpendiculaire au plan horizontal, et le ])lan directeur étant horizontal , on pourra commencer par la projection verticale ou par la projection horizontale de la génératrice. Dans le premier cas on construirait la projection verticale parallèle à la ligne AZ, et si l’on voulait commencer par la projection horizontale, on la ferait passer par G. La courbe zdn est la trace verticale de la surface. Si tous les points suivant lesquels les génératrices coupent la directrice verticale GG' étaient rapprochés en un seul, la surface deviendrait un cône, et c’est par
PL. 67 SURFACES REGLEES. 365
suite de cette analogie qu'on lui a donné le nom de conoide.
819. Second exemple. Soit prise {ftg. 4^51) la courbe AA' pour première directrice ; pour seconde directrice, la verticale CG', le plan directeur étant horizontal , on pourra, pour construire une génératrice, commencer par la projection verticale c'a, parallèle à la ligne AZ ; ou par la projection horizontale cG , que l'on fera passer par le point G.
Gette surface se nomme conoide hélicoide : elle est du genre des conoïdes , puisque ayant un plan directeur, elle a de plus une droite pour directrice; et le nom d’/tdlicoïde lui vient de ce que sa seconde directrice est une hélice.
820. Toutes les surfaces hélicdides ne sont pas eh même temps condides ; il faut pour cela, nous l’avons déjà dit, que l'une des directrices soit droite.
Quelquefois la génératrice devra , dans son mouvement , rester parallèle h un plan directeur, et s’appuyer sur deux hélices de même pas et à bases concentri(jues.
D’autres fois le plan directeur est remplacé par la condition que la génératrice s'appuiera sur une troisième directrice, pu qu’elle touchera un cylindre donné, ou qu'en- Cn elle sera normale à une surface ou tangente à une courbe donnée.
Surfaces développables,
821. Nous avons dit (810) qu’une surface réglée est développable toutes les fois, que deux positions consécutives de la génératrice se trouvent toujours dans un même plan.
SURFACES REGLEES.
On peut supposer, en effet {fig. it53, PL 68), que la portion de surface acx , comprise entre deux génératrices consécutives, tourne autour de l’une d’elles jusqu’à ce qu’elle soit venue se placer dans le prolongement de l’espace cez.
On fera tourner ensuite l’espace a'ez pour le rabattre dans le prolongement de ep'o , et ainsi de suite jusqu’à ce que la surface tout entière soit étendue sur le plan a!" su.
822. La courbe xzou.^ qui contient tous les points d’intersection des génératrices, se nomme une arête de rebroussement; les génératrices étant infinies, il en résulte que l’aréte de rebroussement d’une surface développable partage la totalité de cette surface en deux parties bien distinctes A et A' [fig. 452) que l’on nomme les deux nappes de la surface.
823. L’arête de rebroussement peut être considérée comme formée par le contour d’un polygone dont chaque côté infiniment petit est la portion de génératrice comprise entre les deux points suivant lesquels cette ligne est rencontrée par la génératrice qui suit et par celle qui précède.
Chaque génératrice étant le prolongement de l’un des petits côtés de ce polygone, est par conséquent une tangente à l’arête de rebroussement, et cette propriété est souvent prise pour définition des surfaces développables que l’on considère comme engendrées par mie droite qui se meut de manière a rester constamment tangente à une courbe.
824. Si tous les points de tangence se réunissaient en un seul , la surface deviendrait un cône {fig. 454), et l’aréte
(le rebroussement, réduite en un seul point, formerait le sommet du C(jne.
Ainsi , le cône est une surface dé^^eloppahle dont V arête de rebroussement est un point.
Le cylindre est une surface déi^eloppable dont V arête de rebroussement est un point situé à une distance in^ finie.
825. L^arête de rebroussement d’une surface développable est en général une courbe à double courbure; mais si cette ligne devenait plane, la surface deviendrait un plan, puisqu’elle serait le lieu géométrique des tangentes à une courbe ])lane.
Nous allons étudier un exemple ])articulier de surface développable.
826. Supposons que la courbe auc^a'u'd {fig. 455) [soit une portion d’hélice, si nous construisons (347) un certain nombre de tangentes à celte courbe, la surface qui contiendra toutes ces tangentes sera réglée puisqu’elle aura une droite pour génératrice; de plus, elle sera hélicoïde puisque sa directrice sera une hélice (819, 820). Enfin elle sera développable puisque toutes ses génératrices seront tangentes à une môme courbe , (jui sera son arête de rebroussement (823).
827. Développement . Les projections des génératrices ayant été obtenues en opérant comme nous l’avons dit au n“ 349, proposons-nous de construire le développement de la surface.
On remarquera d’abord que les deux tangentes {a — 1) {a' — l'), (c — 9) (c' — 9'), étant parallèles au plan vertical de projection , elles doivent être projetées sur ce plan dans leur véritable grandeur.
368 SURFACES REGLEES. PL. 68-
On tracera (/%. 456) la droite c'' — 9” égal à la tangente c' — 9' et a!” — 9” égal à la tangente a' — l'; de sorte que c" — o!" , difïérence de ces deux tangentes , sera égal au développement de l’arc d’hélice compris entre les deux points aa' et cc'.
La difïérence de hauteur des points cc et aa' ( fig. 455) , étant égale à huit fois la seizième partie du pas de l’hélice, on partagera la distance e"a'" (/%. 456) en huit parties égales , et l’on portera la moitié d’une de ces parties de c" en J- et de o!" en s ; de sorte que la distancej^j sera égale à sept fois la huitième partie de c"a!" .
Cela étant fait, on construira une série de secteurs circulaires ayant pour hases les arcs 9” — 8"=9 — 8, 8” — 7”=8 — 7, etc., et pour rayons successifs les droites c-"— 9'=c'— 9', 8'"— 8' = 8‘"— 9", 7"— 7"=7^"--9^ etc.
On se contentera, pour tracer cette figure, de faire les cordes 9” — 8"=9 — 8, 8" — 7"=8 — 7, etc., d’où il résulte que les arcs sous-tendus ne seront pas rigoureusement égaux, puisqu’ils appartiennent à des cercles dont les rayons seront difïérents; mais cette manière d’opérer, suffisamment exacte pour les applications, est analogue à celle que nous avons indiquée pour construire les développements du cylindre et du cône.
Il est d’ailleurs évident que l’on ]iourra augmenter l’exactitude en traçant 455) un plus grand nombre de génératrices.
828. La courbure de l’hélice auc.^a'u'c' étant uniforme dans toute son étendue , il en résulte que dans le développement elle se transforme en une circonférence de cercle tangente au polygone formé par le prolongement des rayons de la courbe 9" — 6'^ — 1^^ de sorte que cette dernière ligne sera la développante du cercle c" — 6'” — a!'.
On pourra, comme vérification, chercher le centre du
SURFACES REGLEES.
cercle en élevant des perpendiculaires par le milieu de deux quelconques des côtés du polygone c" — 6"' — a".
829. Quand on fait mouvoir la tangente a — l,a' — l'pour engendrer la surface hélicoïde, chaque point de la génératrice décrit une hélice qui a le même pas que Tarête de rebroussement 5 toutes ces hélices se projettent sur le plan horizontal par des cercles concentriques tels que
et Ton pourra facilement en déduire les projections verticales.
830. Les portions de génératrices comprises entre chacune de ces hélices et celle qui forme l’arête de rebroussement de la surface étant égales, il en résulte que dans le développement 456) toutes les hélices de la surface seront encore représentées par des circonférences qui auraient leurs centres au point o.
Ainsi , Tare de cercle sera le développement de
l’hélice \zx engendrée par le point 1, et l’arc de cercle 5W” sera le développement de l'hélice 5/v engendrée par le point 5.
De sorte que la fi^. 5'V"jr''2" est le développement de la partie de surface comprise entre les deux hélices zx.^'^rv et les deux génératrices z^.^xv.
