La irénératrice de tamrence étant considérée comme

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double et provenant de la position infiniment rap[)rochée de deux droites qui se coupent, détermine la position du plan tangent, mais ne suffit pas pour en construire les traces.

11 faudra, dans ce cas , choisir une courbe quelconque, située Sur la surface , et construire la droite qui toucherait cette courbe au point où elle coupe la génératrice de tangence. Ainsi, par exemple, pour obtenir le plan qui toucherait la surface AA' (//^. à52), suivant la génératrice ze, on déterminera la courbe aem , située sur la surface et provenant si l’on veut de son intersection par un plan ou par toute autre surface.

On tracera la droite tli , qui toucbela coinbe au point e, suivant le([uel cette ligne est rencontrée par la génér.itrice de tanii^ence.

Enfin , on construira les traces du plan qui contiendrait les deux droites ze.^th.

SURFACES REGLEES.

J1 ne restera plus dans chaque cas particulier qu'à choisir la courbe aem , de manière ([ue la construction de la seconde tangente th soit la plus exacte et la plus simple possible.

Toutes ces questions ont été résolues dans le second livre pour les surfaces cylindriques et coniques ; nous allons en faire l’application à la surface proposée.

831i. La courbe 1 — 5 — 8 (/%• 455) étant la trace horizontale de la surface donnée , la droite h — r8 , perpendiculaire sur le rayon de courbure du point 8 , sera la trace horizontale du plan tangent.

Cette trace sera représentée dans le développement par la droite h" — 8'^ perpendiculaire au rayon de courbure 8'”-8'\

La droite ln\ perpendiculaire au rayon {fig> 455), sera la trace horizontale d’un plan tangent au cylindre vertical projetant de riiélice 5/v.

Les droites hr^Ji'r seront par conséquent les deux projections de la tangente à l’hélice 5/v,5VV' (G37).

Cette tangente sera représentée dans le développement (y/g. 45G) par la droite AV', tangente à la circonférence 5'5'V''. Enfin, on pourra s’assurer comme vérification que Il — 8" (//«•. 45G) est égal à A — 8 (/%. 455), et que lir" est la véritable grandeur de la tangente hrjir (35).

De r hjperboldide a une nappe et du paraholdide hyperbolique.

835. Lorsqu’une surface réglée a pour directrice trois lignes droites , elle prend le nom àliyperboLoide à une nappe.

Si l’une des directrices était remplacée par un plan

372 SURFACES REGLEES. PL. 69-

directeur, la surface serait un paraholoide hyperbolique.

Les dénominations précédentes proviennent de la nature des sections que Fon obtient en coupant ces deux surfaces suivant certaines directions.

Construction de lliyperholdide à une nappe.

836. Les trois droites AA', BB', GG' {fig. 4-57, PL 69 ) étant les directrices de la surface, supposons que Fon veuille obtenir une génératrice passant par le point m,m', on construira le plan pp qui contient ce point et la directrice BB'; puis on déterminera Finterscction nu' de ce plan avec la directrice GG'. La droite mn,ni?t sera la génératrice demandée.

Le plan pp remplace ici le cône auxiliaire dont nous avons parlé au n®812. Ge plan sera déterminé par la directrice BB' et par une seconde droite mw, mu qui joindrait un point quelconque mm' de cette directrice avec le point donné mm\

La trace verticale du plan p doit passer par les deux points o' et s\ et la trace horizontale doit être parallèle à la projection horizontale de la droite mu^m'ii que Fon a choisie dans ce but, parallèle au plan horizontal de projection , mais qui cependant pourrait être prise dans toute autre direction.

On s’assurera que la génératrice mn,nin rencontre la directrice BB' (44).

837. Il n’est presque jamais commode de construire sur* l’épure les traces du plan auxiliaire pp. Dans ce cas, on pourra opérer de la manière suivante :

On prendra if g. 458) sur la directrice BB' deux points quelconques uu\

surfaces REGLEES.

On joindra ces points avec mm' par les deux droites qui détermineront le plan auxiliaire.

Les deux droites oo', 55' perpendiculaires à lavligne AZ , feront connaître les points o' et s' . Enfln, la droite o's' qui oint ces deux points sera l’intersection du plan projetant de la directrice GG' avec le plan des deux droites {niu^m'ii!) (mp», mV').

Gette dernière opération déterminera le point /zzi', suivant lequel la génératrice imn.înn) s’appuie sur la directrice GG' (812).