Le plan auxiliaire qui contient le point mm! et la
directrice BB', serait déterminé complètement par cette directrice et par Fune des droites {mii^m'u') Il
semblerait donc que Fune de ces lignes est inutile; mais alors , pour construire la droite oV, il fa udr-ait prolonger la directrice BB' jusqu’à sa rencontre avec le plan projetant de la troisième directrice GG', ce qui serait souvent impossible, et dans tous les cas moins commode que la construction précédente, puisque l’on peut toujours choisir les deux points «n'et de la manière qui convient le mieux à la disposition de Fépure.
Construction du parabolo'idc hyperbolique.
839. Soient données les deux directrices AA',BB' et le plan directeur PP : pour obtenir la génératrice qui coLq')e la directrice AA' au point mm\ on construira :
1“ lies deux traces du plan P'P', qui contient le point donné m,m'j et qui est parallèle au plan directeur PP (76);
2° Les deux projections et /^'de Fintersection du plan P'P' avec la deuxième directrice BB' du paraboloïde (70) ;
3' liCS deux projections m/i,m'n' de la génératrice dénia n dée.
374 SURFACES REGLEES. PL. 70-
8^!-0. Au lieu de c’onslruire les traces du plan directeur, on préfère presque toujours déterminer la direction de ce plan par la condition qu’il soit parallèle à deux droites données.
Supposons, par exemple, que les droites AA', BB" ( fig. 4G0) sont les deux directrices d’un paraboloïde hyperboliq ue, dont le ])lan directeur serait parallèle aux deux droites XX' et ZZ'; on veut construire la génératrice qui contient le point 772-, m', pris à volonté sur la directrice AA'; on tracera par le point mm' :
1° La droite mx, m'x' parallèle à XX';
2° La droite mz,m'z parallèle à ZZ'.
Le plan des deux droites {mx,m'x') {inz^m'z') sera parallèle au plan directeur, et contiendra par conséquent la génératrice demandée.
Pour obtenir le point suivant lequel cette génératrice s’appuie sur la seconde directrice B, B', on concevra le plan vertical projetant de cette dernière ligne.
L’intersection de ce plan avec celui des lignes [mx.m'x') [rnz, m'z) , sera la droite et le point un' suivant lequel cette ligne rencontre la directrice BB', détermine la génératrice mn,iiiiL .
841. Il ne faut pas négliger les abréviations qui peuvent résulter du choix des plans de projection. Ainsi, par exemple, s’il s’agit d’un byperboloïde à une nappe, on devra, toutes les fois que la disposition de l’épure le permettra, projeter la surface sur un plan perpendiculaire à l’une de ses trois directrices (813).
Supposons 461, PL 70) que l’une des directrices soit la droite BB', perpendiculaire au plan horizontal, et que les deux autres directrices soient les droites AA', GG'; les projections horizontales des génératrices concourront
SUUFACKS REGLEES.
toutes au point B, et par consécjuent leur construction ne présentera aucune difiiculté. Ainsi , après avoir construit la projection liorizontaic 5B Je Lune des i^énéralrices , on élèvera la perpendiculaire jusqu\a la rencontre
des projections verticales des directrices AA', CC', et l’on aura la droite s'u' pour projection verticale de la génératrice.
La courbe zo'x' est la trace verticale de la surface; et
en sont les traces horizontales ; ces courbes sont des arcs d’hyperbole.
S’il s’agit d’un paraboloïde, on devra, autant que possible, prendre un plan de projection parallèle au plan directeur. Ainsi :
Les droites AA', CC' {/ig. 462), étant prises pour directrices d’un paraholüide hyperbolique , on agira comme nous l’avons lait (SIC) pour le cas où les directrices étaient courbes.
La trace verticale de la surface est la droite z*x\ et les deux arcs d’hyperbole ^xpih, en sont les traces horizontales.
843. Dans le paraboloïde projeté {fig. 463), le plan directeur étant perpendiculaire au plan vertical de projection , toutes les projections verticales des génératrices seront parallèles entre elles et à la trace verticale du ])lan directeur. Les courbes zx^on sont les traces de la surface.
844. Sur la fig. 464, le plan directeur étant perpendiculaire aux deux plans de projection, les projections des génératrices seront perpendiculaires à la ligne A Z.
Si on veut construire les traces de la surface, il faudra projeter d’abord les directrices et ensuite les généra-
Irices sur le plan directeur qui est rabattu à droite de répure.
846. Sur la fig. 465, le plan directeur est parallèle à la ligne AZ. Dans ce cas on emploiera un plan auxiliaire de projection p' perpendiculaire au plan directeur.
Les droites h!' et B” seront les projections des directrices sur le plan auxiliaire p\ la projection 5V' d’une génératrice sera parallèle à la droite pq^ qui est la trace du plan directeur.
846. La même disposition d’épure peut être appliquée au cas où le plan directeur aurait une inclinaison quelconque. Ainsi , par exemple {fig. 466), on pourra toujours employer un plan auxiliaire de projection p\ perpendiculaire à l’une des traces du plan directeur, et par conséquent perpendiculaire à ce plan.
Les droites A" et B” seront les projections des directrices sur le plan auxiliaire p' , et les projections des génératrices seront parallèles à la droitej^^, qui est l’intersection du plan directeur p avec le plan auxiliaire de projection p' .
847. Les sections de l’hyperboloïde à une nappe et du paraboloïde hyperbolique par des plans, sont des courbes du second degré dont l’espèce dépend de la direction des plans coupants.
848. Ces propositions n’sryant qu’un rapport indirect avec le but de cet ouvrage, j’engagerai le lecteur à les étudier dans les traités de Géométrie analytique. Mais parmi les propriétés des deux surfaces qui nous occupent, il en est une qui se rattache si intimement avec les questions que nous aurons à résoudre par la suite, que je crois devoir en donner ici la dénionslralion.
pr^> 71.
Double génération de Vhyperboldide a une nappe et du paraholoxde hyperbolique.
849. L’hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique dillèrent des autres surfaces re'glées par celte propriété remarquable, quelles peuvent être engendrées par une ligne droite de deux manières différentes.
Double génération de ï hyperbolo'ide a une nappe.
850r Soient AB, CD, EF 467, PL 71) les trois directrices d’un byperboloïde à une nappe;
AE, GH, BF, trois positions de la génératrice de celte surface. Je dis que si Fon prend ces trois dernières lignes pour directrices d’un second byperboloïde, ces deux surfaces coïncideront dans toute leur étendue et n’en feront par conséquent qu’une seule.
Gela revient à prouver qu’une droite quelconque rfïn qui s’appuierait sur les trois premières directrices, couperait toujours une droite quelconque pq qui s’appuierait sur les trois autres. Alors il sera démontré que toutes les génératrices de la première surface coupent toutes les génératrices de la seconde, et que, par conséquent, les deux surfaces se confondent.
Ce principe est la conséquence de quelques théorèmes dont nous allons donner la démonstration.
851. Si une transversale coupe les trois côtés d’un triangle ou leur prolongement ^ le produit de trois segments discontinus , c’est-à-dire qui n’ont pas d’extrémité commune , est égal au produit des trois autres segments pareillement discontinus.
Soient {fig. 468) le triangle ABC et la transversale PQS,
formnnt pnr ses intersections avec les côtés les six sej^ments PA,PB,QA,QG.SB,SG.
Menons GO parallèle à AB ; on aura
PBrOG :: SB: SG, OG:PA::QG:QA.
Multipliant les deux proportions, et réduisant, il vient
PB:PA::SBxQG:SGxQA;
d’où
P B X SG X Q A = PA X SB X QG ; ce qu’il fallait démontrer. •
852. Si sur les côtés d'un quadrilatère gauche, on prend quatre points qui soient dans un même plan , le produit des quatre segments discontinus est égal au pioduit des quatre autres segments également discontinus.
Soit {Jig‘ 469) le quadrilatère ABGD. Si les quatre points P, Q., R , S, sont dans un même plan , les trois lignes BD,PQ,RS concourront en un point M, intersection des trois plans ABD, BGD, PQRS.
D’après cela, la transversale PQM coupant les côtés du triangle ABD, on aura (851)
BP X AQ X DM = PA X QD x BM.
La transversale RSM donnera
BM X DS X GR=-SG X RB X DM Multipliant ces deux équations et réduisant, on aura BP X AQ X DS X GR=PA X QD x SG x RB.
Ce qu’il fallait démontrer.
