CK = CM

Donc, les deux points M et K n’en doivent faire qu’un; donc , les droites PQ , RS , se coupent en un point M sur la ligne AC ^ et les quatre points P, Q , R. , S soüt par conséquent dans un même plan.

Cest ce qu’il fallait démontrer.

8o4. Revenons à la ligure (467), article (830). Il s’agit de prouver qu’une génératrice quelconque mn du premier hjperbôloïde coupe nécessairement une génératrice quelconque pq du second.

380 SURFACES RÉGLÉES. PL. 7 j

Or, la ligne GH s’appuyant sur les trois directrices primitives AB, CD, EF, coupe la seconde au point u. Les quatre points G,G,D,H sont par conséquent dans un même plan , et par le principe du n° 852 , on doit avoir

EC xAG xBDxFH=CAx GB xDFxHE.

La ligne s’appuyant sur les mêmes directrices , coupe CD en z , et les quatre points G , wz , D, n sont dans un même plan , ce qui donne

CA X ^B X DF X /iE = EG x Am x BD X F«,

Enfin la ligne pq s’appuyant sur les trois droites AE, GH-, BF, coupe GH en et les quatre points p, G, q, H étant dans un même plan, on a

/?A X GB X gF X HE = E^ X AG x x FH.

Multipliant les trois équations qui précèdent et réduisant, on a

pA X mB X ^F X /îE = Ej9 X Am x B? X F/2,

Donc, puisque les quatre points j9,m,^,7i sont situés sur les côtés du quadrilatère gauche, de telle manière que le produit de quatre segments discontinus est égal au produit de quatre autres, il eu résulte (853) que ces quatre points sont dans un même plan, et que les droites mn^pq se coupent en un pointjp.

Donc enfin , puisque une génératrice quelconque de la première surface est toujours coupée par une génératrice quelconque de la seconde , il en résulte, comme nous nous proposons de le démontrer, que toutes les génératrices du premier liyperhoLoïde rencontrent toutes les génératrices du second^ et que, par conséquent , les deux sw' face s coïncident et n'en font quune seule.

SURFACES REGLEES.

Propriélés du paraboldide hyperbolique.

855. On démontre en géométrie, cpxe les parties de deux droites comprises entre des plans parallèles sont proportionnelles entre elles.

Soient {fig. 471) les deux lignes AB, CD, coupées par les plans P, P', P", parallèles entre eux. On aura

Am ; mB :: Cn : riD.

Or les positions diverses de la génératrice d’un paraboloïde hyperbolique étant déterminées par des plans parallèles au plan directeur (839), on peut dire en général que :

856. Les directrices d\in paraboloide hyperbolique sont coupées par les génératrices en parties proportion-' nelles.

857. Réciproquement, si deux droites sont coupées par trois autres en parties proportionnelles ^ ces trois dernières lignes seront parallèles à un même plan.

Supposons {Jlg. 471 ) que l’on ait

Am : mB :: Cn : ^/D.

Si les droites AG, mn, BD, n’étaient pas parallèles à un même plan , concevons une ligne mo, située dans un plan parallèle aux droites AG , BD ; on aurait

Am I mB : : Go : oD ;

mais à cause du rapport commun , il viendrait Qn : lïD : : Go : oD -,

d’où

C« : Go 7zD : oD ;

résultat absurde, d’où*il résulte que les trois droites BD, mn ^ AG sont parallèles à un même plan.

SURFACES REGLEES.

858. On peut conclure de ce qui précède , que ; Si une droite appuie sur deux autres en les coupant toujours en parties proportionnelles., la surface engendrée sera un parabolo'ide hjperbolique.

859. Si Von prend pour directrices d'une surface réglée trois droites parallèles a un même plan , cette surface sera un parabolo'ide hyperbolique.

Soient prises pour directrices ( fig. 472) les trois droites AC,mn,ED, parallèles au ])lan P, et supposons que AB, zx, CD, soient trois positions de la génératrice.

Les droites BD, mn et AG étant parallèles à un même plan , couperont les deux lignes AB, CD en parties proportionnelles (855); de sorte que Lon aura

Am I m B : : G /Z l /zD ;

d’où l’on tire

mB X C/7 =zkin X

De plus, la génératrice zx, s’appuyant sur les trois droites BD, mn, AG, coupera la seconde en o, ce qui donnera (852)

A/77 X Bx X D/7 X Cz = 7?/B X a:D x nC X ^A. Multipliant cette équation par la précédente, il vient

Bj: X = xD X Az ,

ou

Bx : jfD :: Az : Cz.

Donc, la génératrice zx coupera toujours les directrices BD, AC, en parties proportionnelles, et par conséquent (858) la surlace engendrée sera un paraboloïde hyperbolique, ayant un plan directeur P- parallèle aux droites AB, CD.

PL. 71. SURFACES REGLEES.

On pourra rlonc supprimer l’une des trois directrices BD, mil , AG, et la remplacer par le plan directeur P'.

Double génération du paraholdide hyperbolique.

8G0. Soit un paraboloïcle hyperbolique ayant pour directrices les deux droites AB, CD, et pour plan directeur le plan P.

Les i^énératrices BD, m /, AC, couperont les directrices AB, CD en parties proportionnelles, et l’on aura

d’où

Bm : mA :: Y)n : ;îG , B/7i X nC = wA X

Concevons actuellement un second paraboloïde hyperbolique qui aurait pour directrices les deux droites AG, BD , et dont le plan directeur serait P\ parallèle aux droites AB, CD, qui par conséquent seront deux positions de la f^énératrice.

Si nous supposons que zn soit une troisième génératrice de ce deuxième paraboloïde , on aura (8o6),

d’où

Kz : zQ :: B.r : xD, Kz X JrD =: zG X Bx.

Multipliant l’équation (1) par l’équation (2), il viendra

Bm X Az X n C X xD = mK X z G X D Ai X Bx ;

d’où on peut conclure (853) que la génératrice m/z , du premier paraboloïde , coupera la génératrice zx du second.

Ce que nous venons de démontrer, étant indépendant des positions particulières ides deux génératrices nin et zx, il en résulte que toutes les génératrices du premier paraholdide rencontreront toutes les génératrices du second ,

SURFACES REGLEES.

et que par conséquent les deux surfaces coïncideront dans tous leurs points et nen feront quune seule , ce qu’il fallait démontrer.

861. Il est très-essentiel de remarquer que lorsqu’on prend pour directrices les droites AB, CD , le plan directeur P est parallèle aux génératrices BD, AG ; tandis que si l’on prenait ces dernières lignes pour directrices, le plan directeur Poserait parallèle aux droites AB, CD, qui alors seraient deux génératrices de la deuxième surface.

En général, le plan directeur de la première généra* tion est parallèle aux directrices de la seconde . et réciproquement , le plan directeur de la seconde génération est parallèle aux directrices de la première.

Plans tangents aux surfaces réglées.

Si l’on a bien compris ce qui précède, il sera facile de construire, dans tous les cas, des plans tangents aux surfaces réglées.

862. Construire un plan tangent en un point donné sur la surface d^un hyperholoide à une nappe.

La surface de l’hyperboloïde pouvant être engendrée par une droite de deux manières différentes, si l’on fait passer par le point donné les génératrices appartenant à chacun de ces deux systèmes de génération , on aura deux droites situées dans la surface , et qui détermineront le plan tangent (630).

Soient ( fig. 473, PL 72 ) AA', BB', CC', les trois directrices d’un hyperboloïde à une nappe, et le |)oinL mm! donné sur l’une des génératrices mX, m'X' : cette droite pouvant être considérée comme une première tangente, il ne

SURFACES REGLEES.

reste plus qu’à en obtenir une seconde. Pour y parvenir on construira (836) deux autres génératrices YY', ZZ', et prenant les trois droites XX', YY', ZZ', pour directrices de la seconde génération, on construira la génératrice Tw, T'm', qui, avec 7?iX, m'X', déterminera le plan tangent.

863. Si on peut projeter la surface sur un plan perpendiculaire à l’une de ses directrices AA' [fig- ^1-75), cela simplifiera la construction des génératrices XX', YY', ZZ , et les opérations indiquées au n° 836 ne deviendront nécessaires que pour obtenir la seconde tangente Tm, T'ni .

864.. Construire un plan tangent en un point donné sur la surface d'un paraboloïde hyperbolique.

Supposons que les droites AA' et BB' {fig. klk) soient les deux directrices d’un paraboloïde hyperbolique dont le plan directeur serait parallèle aux deux droites VV' et UU'.

La génératrice XX' étant ta première tangente , il s’agit d’obtenir la seconde tangente TT'.

Pour y parvenir on construira d’abord (84^0) une seconde génératrice YY', puis les droites XX', YY' étant prises pour directrices de la seconde génération, on construira les droites {ma, nia') {mb., m'b'), parallèles aux deux premières directrices AA',BB', et le plan déterminé par ces droites , étant parallèle à la seconde génération (861), contiendra la génératrice niT, m'T' que nous prendrons pour deuxième tangente , et qui avec mX,m'X' déterminera le plan tangent.

865. Sur fig. 4.76, la première génération du j^araboloïde est parallèle au plan vertical de projection , ce (jui facilite la construction des génératrices XX' et YY'.

SURFACES REGLEES.

Pour obtenir la seconde tangente mT, 77^T" on opérera comme au n®

86G. Sur la 477, le plan directeur est perpendiculaire au plan vertical de projection , et sur la Jlg. 478 , il est parallèle à la ligne AZ.

867. . Construire un plan tangent a une surface réglée quelconque ^ en un point pris sur cette surface.

Soient {fig. 479, PL 75) A, B, G, les trois directrices d’une surface réglée; on veut construire un plan tangent par un ])oint m donné sur cette surface.

La génératrice ni'K qui contient le point donné pouvant être prise pour une première tangente , il ne reste plus qu’à en construire une seconde. Pour cela on pourrait couper la surface donnée dans une direction quelconque, par un pbm qui contiendrait le point 777 , puis mener par ce point une tangente à la courbe de section (629); mais ce moyen , suffisant dans un grand nombre de cas , n’est susceptible d’une exactitude rigoureuse que lorsque la courbe provenant de la section est telle que l’on j)uisse y mener géométriquement une tangente. Lorsque cela n’aura pas lieu , et que la question proposée exigera une grande exactitude, on cherchera s’il existe dans la longueur de la génératrice qui contient le point donné, trois points par lesquels on puisse mener des tangentes à la surface , et après avoir construit ces tangentes D,E,F, on les prendra pour directrices d’un hyperboloïde à une nappe qui touchera la surface donnée dans toute la longueur de la génératrice 777X; de sorte que les deux surfaces se touchant, tout phm tangent à l’une d’elles sera aussi tangent à l’autre. La question ne consistera donc plus qu’à construire un plan tangent à l'hyp^rboloïde , ce que nous sa-^ vons faire (862).

SUKFACES REGLEES.

Ainsi, par exemple, étant donnés {fig. /i>80) les trois directrices A, B, G, et le ])oint de tangence m , situé sur la génératrice mXc[ui.sera la première tangente.

Voici quel sera Tordre des opérations :

1® Par les points a, b, c, suivant lesquels la droite mX rencontre les courbes A, B, G, on construira les trois tangentes D, E, F qui seront les directrices de Thyperboloïde tangent ;

2° On construira (836) les deux lignes Y et Z, génératrices de cet byperboloïde , et Ton prendra les trois droites X,Y, Z pour directrices de la deuxième génération ;

3° On construira la génératrice mT qui s’appuie sur les trois droites X ,Y, Z ; de sorte que les deux droites mX et mT détermineront le plan tangent que Ton pourra construire en opérant comme nous l’avons dit au n® 55.

868. On remarquera toutefois que Texactitude rigoureuse du résultat est soumise à cette condition, que Ton pourra mener des tangentes à la surface en trois points différents de la génératrice c[ui contient le point donné; mais comme les directrices des surfaces réglées que Ton emploie dans les arts sont presque toujours des courbes définies , on pourra construire les tangentes à ces courbes aux points où elles sont coupées par la génératrice.

869. Supposons {fig. 481) que Ton soit parvenu à construire les trois tangentes D, E,F; chacune de ces tangentes, combinée avec la génératrice X, déterminera un plan tangent. Dans chacun de ces plans p^p' ,p'\ on pourra mener une infinité de tangentes à la surface donnée , et prenant une tangente quelconque dans chacun de ces trois plans, on pourra en faire les directrices d’un byperboloïde tangent, d’où il résulte qiiHl j a luie infinité (Vhjpevbo-

SURFACES REGLEES.

loides laugents à la surface donnée , et que Fon pourra toujours choisir parmi tous ces lijperboloïdes celui qui, par la disposition de ses directrices, serait le plus commode pour la construction de Fépure.

Si pjar les points a, b, c [fig- 481), on mène trois plans parallèles à un plan quelconque p'" , ces trois plans seront parallèles entre eux, et couperont les trois plans tangents pp\p' suivant trois droites tangentes h la surface , et qui de plus seront parallèles à un racine plan p’”; de sorte qu’elles pourront (859) être prises pour directrices d’un paraboloïde hyperbolique dont la construction est ordinairement plus simple que celle de Fhyperboloïde. Enfin, le plan directeur p'" pouvant être pris d’iuie manière quelconque, on pourra construire une infinité de paraholoïdes tangents , et l’on choisira le plus favorablement disposé pour les constructions.

870. Tout plan contenant une génératrice quelconque d'une surface réglée est un plan tangent., quelle que soit du reste sa direction.

En elfet ( fig. 483), indépendamment de la génératrice ac, que l’on peut considérer comme une première tangente , le plan P contiendra encore la droite th , tangente à la courbe suivant laquelle il coupe les autres génératrices de la surface; il sera donc tangent puisqu’il contiendra deux tangentes (629). Ainsi nous devons admettre cette conséquence que , pour construire un plan tangent à une surhice réglée, il suffit de le faire passer par une génératrice de cette surface.

871. Le point de tangence m sera déterminé par l’intersection de cette génératrice avec la courbe ou., suivant laquelle la surface est coupée par le j)lan tangent.

SURFACES REGLEES.

872. Si on fait tourner le plan p autour de la génératrice rtc, le ])oinl de tangence glissera le long de cette ligne , et changera de place pour chaque position dilïerente du plan tangent.

873. Si la surface réglée avait un plan directeur et que le plan tangent lui fut parallèle, le point de tangence serait à l’infini.

874. Il est très-essentiel de bien comprendre la dillérence qui existe entre les plans tangents aux surfaces réglées, selon que ces surfaces sont développables ou non développables.

Si la surface est gauche, le plan qui contient une génératrice ne le touche qu’en un point, qui est déterminé j)ar la rencontre de cette génératrice avec la courbe suivant laquelle le plan dont il s’agit coupe toutes les autres génératrices de la surface (871). ••

Si au contraire la surface est développable, le plan langent est le prolongement de l’espace infiniment petit compris entre deux génératrices consécutives (832), et ces deux lignes infiniment rapprochées n’en font qu’une seule qui devient la génératrice de tangence, suivant toute la longueur de laquelle la surface est touchée par le plan lancent.

875. Ainsi , quand une surface est développable et que l’on veut tenir compte de cette propriété, on ne peut faire passer par la génératrice qu’un seul plan tangent , qui est en même temps le plan osculateur de l’arête de rebroussement, au point où cette courbe est touchée par la génératrice de tangence, et si on faisait tourner le plan tangent autour de cette droite, elle cesserait aussitôt d’être une génératrice de tangence pour devenir une génératri< e

(le section; mais le plan n’en serait pas moins tangent à la surface que l’on considérerait alors comme un cas particulier des surfaces gauches y et le point de tangence serait à l’intersection de la génératrice autour de laquelle on aurait fait tourner le plan dont il s’agit, avec la courbe suivant laquelle ce plan couperait les autres génératrices de la surface.

876. Enfin, le plan tangent à une surface gauche ne la touche qu’en un point , tandis que le plan tangent à une surface développable la touche dans toute l’étendue de la génératrice de tangence.

Pour déterminer le premier, il ne suffira pas de connaître la génératrice par laquelle on veut le faire passer, il faudra encore donner le point de tangence ou quelque autre condition, tandis que le plan tangent à la surface développable sera déterminé lorsque l’on connaîtra la génératrice de tangence (833).

877. Il résulte des principes précédents que l’on pourra , dans certains cas, considérer comme tangent un plan qui couperait un cône ou un cylindre suivant une ou plusieurs génératrices.

En effet, le plan qui contient une génératrice d’un cône coupe toutes les autres au sommet, et ce point peut alors être considéré comme une section dont le rayon de courbure serait réduit à zéro, d’où il résulte que le plan est langent, puisqu’il contient une tangente au sommet , et la génératrice que Ton peut toujours considérer comme une seconde tangente.

878. Cette conséquence paraît incompatible avec les principes énoncés aux n®* 316, f^56 , puisque alors nous avions admis comme condition de tangence que les deux

SURFA CKwS nUGLEES.

FX. 75.

généra Lrires desecLion seraient réunies en une seule; mais la contradiction n’est qu’apparente et disparaît aussitôt que l’on se rappelle la différence que nous venons d’établir (876) entre les plans tangents aux surfaces développables et ceux qui sont tangents aux surï-àces gauches .

Ainsi, quand on considère le cône comme surface développable, le plan doit toucher la surface dans toute l’étendue de la génératrice de tangence, tandis que si on considère le cône comme cas particulier de surface réglée, et que l’on fasse abstraction de la propriété qu’il possède d’étre développable , le plan qui contient une génératrice quelconque peut être considéré comme tangent quelle que soit sa direction, et, dans ce cas, le plan n’est tangent qu’au sommet, puisque c’est à ce point que se rencontrent les deux tangentes qui déterminent sa position (877).

879. Cela devient encore évident pour le cône circulaire, en considérant cette surface comme un cas [)articulier d’hyperboloïde de révolution à une nappe. Dans ce cas, le {)!an conduit suivant une génératrice quelconque, contient encore la tangente au cercle de gorge dont le rayon est réduit à zéro (660).

Tout ce que nous venons de dire du cône s’applique au cylindre. Ainsi , quand on considère cette surface comme un cas particulier des surfaces réglées , il est permis de considérer comme plan tangent , celui qui contient une génératrice quelconque du cylindre ; mais alors , le y)oint de tangence est situé à la rencontre de la génératrice de section avec la courbe suivant laquelle le .plan tangent couperait à V infini les autres génératrices du cylindre.

Si, au contraire, comme c’est Tusage, on considère le cylindre comme surface développable, le [)lan langent

louche la surface suivant toute Tétenclue de la génératrice de tangence , qui est alors considérée comme provenant du rapprochement des deux génératrices de section.

880. Construire un plan tangent à une surface réglée , par un point pris en dehors de cette surface.

On fera passer des plans par le point donné et chacune des génératrices de la surface, ce qui fera autant de plans tangents.

Ainsi, par exemple [fig. 482) , la droite sn et la génératrice n — 1 détermineront un premier plan tangent (870).

On construira la courbe uu suivant laquelle ce plan coupe la surface, et Tintersection de la courbe ^^u avec le génératrice n — 1 donnera le point de tangence (871).

On obtiendra de la meme manière tous les points de la courbe min ...ni \ suivant laquelle la surface réglée serait touchée par une surface conique qui aurait son sommet au point donné s.

881. Construire un plan tangent à une surface réglée , par une droite donnée hors de celte surface.

Soit la droite donnée ac (fig. 485) : on construira (880) la ligne zx , suivant laquelle la surface réglée serait touchée pan une surface conique ayant son sommet en un point quelconque a sur la droite donnée. On construira pareillement la ligne sr^ provenant du contact par une seconde surface conique ayant son sommet en c , et le point m , intersection des deux courbes zx, sr, sera le point de tangence. Il ne restera plus qu’à faire passer un plan par les deux droites am, cm; il est évident que ce plan contiendra la droite ac.

882. Cette solution est analogue à celle que nous avons employée pour ronslruire , par une di’oite donnée, des

SURFACES REGLEES.

plans tangents à une surface de révolution. Toute la différence consiste dans la manière d’obtenir les courbes suivant lesquelles la surface donnée est touchée par des cônes auxiliaires .

Au lieu de cônes on peut employer deux surfaces réglées qui auraient pour directrices la surface et la dioite données. La troisième directrice étant à volonté , on profiterait de cette circonstance pour introduire les simplifications qui résulteraient de la nature de la surface donnée.

Ainsi, par exemple, s’il s’agit de construire par une droite donnée des plans tangents à une surface de révolution , on coupera la surface par des plans perpendiculaires à son axe; et par le point où chacun de ces plans rencontrera la droite donnée, on mènera deux tangentes à la section correspondante; le lieu qui contiendra toutes ces tangentes sera la première surface auxiliaire.

On coupera ensuite la surface donnée par des plans méridiens; et par le point où chacun de ces plans coupera la droite donnée , on construira les tangentes au méridien correspondant ; le lieu géométrique de toutes ces tangentes sera la seconde surface auxiliaire.

Les deux surfaces réglées , déterminées de cette manière, toucheront la surface donnée suivant deux courbes que l’on construira , et les intersections de ces courbes seront les points de tangence demandés.

883. Construire un plan tangent à une surface réglée parallèlement à une droite donnée.

On fera passer (/%. 4^86) par chacune des génératrices de la surface réglée un plan parallèle à la droite donnée ae (83).

Le point de tangence se déterminera comme nous l’avons dit précédemment (871); la courbe de contact nirn — tn"

contient la suite des points suivant lesquels la surface proposée serait touchée par une surface cylindrique parallèle à la droite donnée.

884-. Si cette droite était perpendiculaire au plan de projection, la projection de la courbe de contact serait la limite de la projection de la surface donnée.

Ainsi , en construisant [fi§. kSk) une suite de plans tangents perpenrliculaires au plan vertical de projection , les points de tangence seront situés sur une courbe qui

formera la limite de la projection verticale de la surface.

Surfaces normales.

885. Il est souvent utile de construire une surface qui en coupe partout une autre suivant des angles droits.

886. Si par chaque point d’une courbe située sur la surface donnée, on construit une normale, le lieu qui contiendra toutes ces droites jouira de la propriété demandée.

Toute surface engendrée de cette manière se nomme surface normale.

887. Étant donnée la ligne suivant laquelle on veut faire passer une suface normale, il est évident qu’il suffira de construire par chacun de ses points un plan tangent et une normale à la surface; et cette question ayant été résolue pour toutes les surfaces que nous avons étudiées jusqu’à présent, il ne reste plus qu’a rechercher quelles sont les simplifications qui peuvent résulter dans chaque cas de la nature particulière de la surface donnée, ou de la position de cette surface par rapport au plan de projection.