Construire la surface normale qui aurait pour cli
rectrice une courbe siliiée sur la surjace d'un cylindre.
La droite 2 — 3 {fig. 488, PL 74), tangente à la trace horizontale du cylindre donné, sera la trace horizontale d’un plan tang'ent (374); de sorte que la droite 1 — 4, perpendiculaire sur 2 — 3, sera la projection horizontale de la.normale (86).
On opérera de la meme manière pour chacun des points de la courbe donnée 1 — 1,1' — 1'.
889. On pourra se dispenser de construire les traces verticales des plans tangents en coupant chacun d’eux par un plan parallèle au plan vertical de projection , et contenant le point de tangence. On obtendra ainsi un système de lignes parallèles aux traces verticales des plans tangents, et par conséquent perpendiculaires aux projections verticales des normales dont la construction ne présentera plus alors aucune difficulté.
Ainsi, la projection verticale 1' — 4' de la normale devra être perpendiculaire sur la droite 1' — 3', etc.
Les droites 1 — 3,1' — 3' peuvent être considérées comme les génératrices d’une surface réglée qui toucherait le cylindre suivant la courbe (l — 1, l' — 1'), et qui aurait pour trace horizontale la courbe 3 — 3.
890. On peut encore obtenir les projections des normales en opérant de la manière suivante ;
On construira (/%. 492) les deux projections l" — 2", 1'" — 2'" d’une droite, parallèles à la direction du cylindre donné ;
2° On déterminera les traces de cette ligne, et Ton construira les droites 2" — 3", j)arallèles aux traces horizontales 2 — 3 des plans tangents au cylindre. Les droites 1'" — 3" seront par conséquent parallèles aux traces verticales des mêmes plans tangents.
Il ne restera plus qu’à tracer [Jig> 488) les nornuales 1' — 4', perpendiculaires sur les droites 1"' — 3" ( //g. 402).
891. Si on voulait donner à chacune des normales une longueur déterminée telle que 1 — 4” (/%. 488), on porterait cette grandeur sur la normale rabattue 1 — 5” que Ton ferait ensuite revenir à sa place.
Cette partie de l’opération n’a été conservée que pour une normale.
892. La normale en un point quelconque d’une surface donnée est toujours perpendiculaire au plan langent, et par conséquent à toutes les droites qui sont situées dans ce plan et qui passent par le point de tangence.
Il en résulte que les normales d’un cylindre sont toujours perpendiculaires aux génératrices, et par conséquent parallèles au plan de la section droite, qui devient alors le plan directeur de la surface normale.
Cette remarque fournit un moyen d’abréviation que nous allons indiquer.
Toutes les fois que la disposition générale de épure ne s’y opposera pas, on devra projeter le cylindre sur un plan j)erpendiculaire à sa direction. Par ce moyen chaque normale sera projetée dans sa véritable grandeur, et l’on ne sera plus obligé d’en faire le rabattement.
Ce moyen de solution a été employé sur la fig. 487 pour la construction de la surface qui aurait pour directrice la courbe ac^ac', située sur la surface d’un cylindre elliptique.
Les proiections verticales des normales sont perpendiculaires aux traces des plans tangents correspondants. Chacune de ces traces (1 — 2) a été obtenue par le principe (|ue nous avons énoncé au n" 259.
La courbe est l’intersection de la surface nor-
PL. 74. SURFACES REGLEES. 397
male avec un second cylindre elliptique semblable au premier.
893. Si Tune des génératrices du cylindre devait servir de directrice à la surface normale, cette dernière surface serait un plan.
89 V. Construire ta surface normale qui aurait pour directrice une courbe 1 — 1, l' — l', située sur la surface d\in cône {fig. V^90 ).
La droite (2 — 3), tangente à la trace horizontale du cône, sera la trace horizontale d’un plan tangent; par conséquent (1 — V-), perpendiculaire sur (2 — 3), sera la projection horizontale de la normale, et ainsi de suite pour tous les autres points.
895. On pourra obtenir les projections verticales des normales en opérant comme dans l’exemple du n® 889; mais , si on a de la place , il vaudra mieux construire par le sommet du cône un plan s — 3" parallèle au plan vertical de projection. Ce plan coupera tous les plans tangents, suivant un système de lignes 5' — 3"' parallèles à leurs traces verticales, et par conséquent perpendiculaires aux projections verticales des normales qu’il sera facile de construire.
896. En rabattant la normale 1 — 5, V — 5' autour de la verticale projetante du point 1, 1', on pourra lui donner une longueur déterminée telle que 1' — V-”.
897. La surface normale devient un plan lorsqu’elle a pour directrice l’une des génératrices du cône.
