Construire la surface normale qui aurait pour di
398 SURFACES REGLEES. PL. 74-
rectrice une courbe telle que 1 — 1, située sur une surface de rêuolution {fig. 489).
Il suffit de construire une normale par chacun des points de la courbe donnée (697).
Je rappellerai (698) que pour construire la normale en un point quelconque d’une surface de révolution, il n’est pas nécessaire d’avoir les traces du plan tangent.
En efïet, le point 1, par exemple, étant. rabattu en U dans le plan du méridien principal, on construira la tangente 1' — 2, puis ensuite la normale i' — 3' que l’on ramènera dans la positipn 1 — -3, en remarquant que le point o qui appartient à l’axe de rabattement ne doit pas changer de place.
Dans l’exemple proposé, la surface normale est limitée par la courbe suivant laquelle elle rencontre une seconde surface de révolution qui aurait pour section méridienne la ligne 3' — 4'.
899. Si l’angle suivant lequel la normale rencontre Taxe différait peu d’un angle droit, il serait convenable de construire la projection sur le plan perpendiculaire à Taxe delà surface. Sans cette nrécaution, les longueurs des normales ne seraient pas déterminées avec assez d’exactitude.
900. 11 est évident que la solution précédente conviendrait également à la sphère { fig. 491) ainsi qu’au cylindre ou au cône circulaire (fig. 493), qui sont des cas particuliers de surfaces de révolution.
901 . La surface normale d’une surface de révolution est un cône circulaire toutes les fois que la directrice est un parallèle de la surface; et lorsque la directrice est un méridien, la surface normale devient un plan.
SUKFACES REGLEES.
902. Les surfaces normales de la sphère sont toujours des cônes et deviennent des plans lorsque la directrice est un £^'rand cercle. •
903. Construire la surface normale qui aurait poiu' directrice une ligne quelconque située sur une surface réglée.
Si la directrice de la surface normale tiemandée est une courbe, on construira par cliricun de ses points un plan tangent et une normale (867), ce qui ne présentera pas d’autres difficultés que la longueur du travail.
90^1-. Quand la directrice est une ligne droite, ce qui arrive presque toujours dans les applications , on peut obtenir des abréviations remarquables en ayant égard aux propriétés de l’hyperboloïde à une nappe et du paraboloïde hyperbolique.
Nous allons étudier quelques questions de ce genre.
905. Prenons pour exemple {jig> h9k , PI. 75) la surface réglée que nous avions projetée au rP 813, nous proposerons de consli Liirc la surface normale qui aurait pour directrice la droite é>X,B^X', génératrice de la surface.
Si nous construisons les deux tangentes tsfs' et Izfz', ces droites, avec la directrice qu’il est permis de considérer comme une tangente, seront les directrices d’un bypeiboloïde à une nappe, cjui toucherait la surface donnée suivant toute la longueur de la génératrice Z.X,B'X'.
11 ne restera donc plus qu’à construire, par chaque point de cette dernière ligne, un plan- tangent et une normale à fhyperboloïde qui aurait pour directrices les trois droites (tj, tV), (IzJ'z), (B, B') ; ce travail , qui serait
fort long, peut être simplifié en opérant de la manière suivante :
Nous avons dit au n° 869 qu'il existait une infinité d'hyperboloïdes à une nappe et de paraboloïdes hyperboliques tangents à une surface réglée, suivant toute la longueur d’une même génératrice; et comme les plans tangents et les normales seront les mêmes pour toutes ces surfaces, nous pourrons choisir celle qui donnera lieu aux opérations les plus simples.
Or, la directrice BB' et la génératrice Z)X,B'X^ pouvant être considérées toutes les deux comme tangentes à la surface, le plan ^^'B'B qui contient ces deux lignes sera luimême un plan tangent, et le point b sera la projection horizontale du yjoint de tangence; toute ligne droite passant par le point Z?B' et située dans le plan i^'B'B sera par conséquent une tangente à la surface donnée.
Donc, si nous faisons passer par h un plan p', parallèle au plan vertical de projection, la droite BV) résultant de l’intersection du plan p^'B'B par le plan p' sera tangente à la surface, puisqu’elle sera située dans le plan tangent p'B'B; de plus, elle sera parallèle au plan vertical de projection , puisqu’elle sera située dans le plan p . Nous. pourrons alors remplacer l’hyperboloïde qui a^ ait pour directrices les trois tangentes (B, B') par un autre
hyperboloïde dont les tangentes [ts.,t's') [Iz, L'z') [bi^, BV') seront les directrices, et cette dernière surface sera un paraboloïde hyperbolique, puisque ses trois directrices sont parallèles au ])lan vertical de projection (859), qui devient par conséjyuent le plan directeur de l’une dés deux générations.
La question proposée est donc ramenée, par suite des opérations précédentes, à construire par la droite (Z;X,B'X') une surface normale au paraboloïde hyperbolique, qui a pour run de ses deux plans directeurs le plan vertical
SURFACES REGLEES.
de projection et pour directrices les trois droites {lz,l'z’) , BV') , tangentes à la surface donnée.
Voici quel sera l’ordre des opérations.
Les trois droites {ts,t's'), (Iz^l'z'), étant les
premières directrices, et la droite ^X, B'X', étant une des génératrices de la surface, il faudra construire une autre génératrice afin d’avoir les directrices de la seconde génération. Pour arriver à ce résultat, on construira par le point ss', pris sur la directrice et par la seconde di-
rectrice Iz.^ l’z', un plan dont la trace horizontale sera 50, et qui coupera le plan vertical contenant la troisième directrice suivant la droite o'u' parallèle à l’z’; de
sorte que le point iiu' appartiendra à la génératrice su,s'u', qui provient du premier mode de génération. Ainsi donc, les deux droites (Z>X, B'X') (5m, Vm') seront les directrices de la seconde génération qui, devant se faire parallèlement au plan vertical (861), ne présentera plus aucune difficulté.
On a tracé sur Tépure les génératrices du paraboloïde tangent ; chacune d’elles est tangente à la surface proposée en‘un point de la droite {bX. , B'X'); de sorte qu’à ce point le plan tangent sera déterminé par la droite (^X, B'X') et la génératrice correspondante du paraboloïde.
906. Surfaces normales. Pour construire une normale en un point quelconque mm! , on remarquera d’abord que la droite (m5,mV), sera l’une des génératrices du paraboloïde tangent; par conséquent, le plan tangent au point m/n' sera déterminé par les deux tangentes {mb, m'B'), {ms, m'/j. Il aura donc bs pour trace horizontale, et la droite mn, perpendiculaire sur bs , sera la projection horizontale de la normale; de plus, la tangente {ms^m's'), parallèle au plan vertical et située dans le plan tangent , sera parallèle à la trace verticale de ce plan; de sorte que /?/'//' perpen-
SURFACES REGIJEES.
diculaire sur w'./ sera la projection verticale de la normale.
En construisant une normale par chacun des points de la droite (Z>X,B'X'), on aura une surface normale suivant cette ligne.
Au lieu de construire les traces horizontales des plans tangents, il peut être commode de couper ces plans par tout autre plan horizontal tel que ce qui donnera les droites m — l,m — 2,m — 3. Ces droites, parallèles aux traces horizontales des plans tangents, seront par conséquent perpendiculaires aux projections horizontales des normales, dont la construction ne présentera plus de difficulté.
Si on voulait donner aux normales une longueur déterminée m — on rabattrait chacune d’elles comme nous l’avons fait aux n”* 891 et 896.
907. Sur la fig. 495 , on a construit la surface normale à la surface réglée que nous avions projetée au n® 814.
Tout ce que nous avons dit dans l’article qui précède s’applique à l’exemple dont il s’agit, il n’y a de différence que dans la nature et dans la position des lignes données ; de sorte que les opérations seront suffisamment indiquées par la similitude des lettres.
Les projections horizontales des normales devront être perpendiculaires aux droites m — l,m — 2pn — 3,77î — 4, m — 5, etc., suivant lesquelles les plans tangents sont coupés ])ar le plan horizontal p",
908. On peut souvent, en choisissant d’une manière convenable le plan directeur du paraboloïde langent, rendre les constructions aussi simples qu’élégantes.
Soient, par exemple {fig, 496), l’arc AA' et la verti-
cale BB', directrices d’une surface conoûlc ayant le plan horizontal pour plan directeur (818).
On veut construire une surface normale suivant lagé' nératrice (X, X').-
La droite Lt\ tangente au point aa' , pourrait, avec la verticale BB', être prise pour directrice d’un paraboloïde tangent, dont par conséquent la seconde génération se ferait parallèlement au plan vertical (861)j mais il sera mieux d’opérer comme il suit.
On construira par les deux droites XX' {tV) un plan tangent dont la trace horizontale ps sera parallèle à X, puis on mènera perpendiculairement sur X la tangente (an, a'iL) , que l’on prendra avec la verticale BB', pour les deux directrices d’un paraboloïde hyperbolique dont la seconde génération sera perpendiculaire à la droite XX'; de sorte qu’en projetant ce paraboloïde sur son plan directeur'p", que l’on a rabattu sur l’épure, la directrice X,X' sera ])rojetée par un seul point X", par lequel passeront toutes les projections des tangentes et des nornjales. Les projections des normales seront perpendiculaires à celles des tangentes , et leurs projections horizontales seront perpendiculaires à la droite X. La courbe zx est la section de la surface normale par le plan p”\ parallèle au plan horizontal.
Après avoir exécuté les constructions précédentes, il sera facile d’en rapporter les résultats sur la projection verticale primitive.
909. La surface normale que nous venons de construire est un paraboloïde hyperbolique, égal au paraboloïde tangent; car si on faisait hiire à cette dernière surface un quart de révolution autour de la directrice XX", il est évident que chacune des tangentes viendrait prendre la place
SURFACES REGLEES.
de !a normale correspondante, et les deux surfaces coïncideraient alors dans tous leurs points.
Il en sera de même toutes les fois que Ton emploiera comme surface auxiliaire , un paraboloïde hyperbolique dont le plan directeur sera perpendiculaire à la directrice de la surface normale demandée.
910. Dans la figure (497), AA' est une hélice à base circulaire ; cette courbe et la verticale BB' ont servi de directrices à une surface hélicoide dont la génération est parallèle au plan horizontal. On veut construire une surface normale suivant la génératrice XX'.
On construira la droite ao tangente au cercle A, et Ton portera de a en o une longueur égale au développement de l’arc ac, ce cjui donnera la projection horizontale de la tangente à l’hélice au point aa! (347).
La tangente (ao, a'o') et la verticale BB' seront les directrices d’un paraboloïde tangent suivant XX', les horizontales XX' (oMjo'm'), génératrices de ce paraboloïde, seront les directrices de la seconde génération, qui se fera parallèlement au plan vertical p' perpendiculaire à la droi te XX'.
On opérera pour le reste comme dans l’épure précédente.
La courbe zx est la section de la surface normale par le plan horizontal />".
911. On voit, par les deux exemples précédents , qu’il est avantageux d’employer de préférence le paraboloïde dont le plan directeur est perpendiculaire à la droite qui doit servir de directrice à la surface normale, parce que les normales , étant parallèles au plan directeur, seront égales à leurs projections sur ce plan , et qu’ensuite les angles droits que les normales doivent faire
SURFACES REGLEES.
avec les tangentes, se projetteront dans leur véritable grandeur.
On pourra parvenir au même résultat par des projections auxiliaires toutes les fois que la directrice de la surface normale sera inclinée dans l’espace d’une manière quelconque.
912. Supposons d’abord le cas où la directrice XX' (/%• 76), serait parallèle au plan vertical
de projection.
Les courbes AA', BB', CG', étant les trois directrices de la surface donnée.
Par les points mm! , nn'^ suivant lesquels ces courbes sont rencontrées par la droite XX', on construira les trois tangentes DD', EE', FF', qui seront les directrices de Fhyperboloïde tangent.
Tl s’agit maintenant de remplacer cet hyperboloïde par un paraholoïde hyperbolique dont le plan directeur psp serait perpendiculaire à la droite XX', qui doit servir de directrice à la surface normale demandée. Voici quel sera l’ordre des opérations.
Les deux droites XX, AA' déterminent un plan qui touche la surface donnée au point mm', et qui contient la droite (an, a'c') parallèle à la directrice XX'.
Le plan jj, perpendiculaire sur la droite XX', coupera le plan des deux tangentes XX', DD' suivant une ligne GG' qui sera tangente à la surface et parallèle au plan psp.
lies deux droites XX', EE', détermineront un second ])lan qui touche la surface au point rin' et qui contient la droite ou^o'u\ parallèle à la directrice XX'. lia section de ce deuxième plan tangent par un pian p” perpendicidaii e
à la droite XX' donnera une seconde droite HH' tangente au point nn! et parallèle au plan psp.
Enfin, la droite zx^z’x parallèle à XX' sera située dans le plan tangent déterminé par les deux droites XX', FF', et la section de ce plan tangent par le plan p’" perpendiculaire sur XX' donnera une troisième tangente KK' parallèle au plan psp.
Les trois tangentes, GG', HH', KK', étant parallèles au plan psp. la surface réglée qui aura ces trois droites pour directrices sera un paraboloïde hyperbolique qui touchera la surface donnée dans toute l’étendue de la génératrice XX'; de sorte qu^^il ne reste plus qu’à construire la surface normale qui aurait cette ligne pour directrice.
Par le point cc', pris à volonté sur la directrice GG', on tracera la droite c/%c'/ 'qui s’appuie en un point quelconque rr' sut la directrice HH'.
Le plan déterminé par les deux droites HH' et (cr,cV) coupera le plan p'" suivant la droite ti, t'i parallèle à la directrice HH'; enjoindra le point û' avec cc' par la droite YY', qui, avec XX', seront les deux directrices de la deuxième génération du paraboloïde tangent (83G , 861).
Les génératrices 1 — 2 , 1' — 2' de ce paraboloïde étant parallèles au plan directeur les projections verticales de ces lignes seront perpendiculairés à la droite X'. Les projections horizontales de ces memes lignes seront déterminées par la rencontre des droites 2' — 2 perpendiculaires à la ligne AZ avec les projetions horizontales X et Y des deux directrices du paraboloïde tangent.
.On peut vérifier la position de chacune de ces lignes en la projetant sur le plan directeur qui est rabattu (/^. 501).
On remarquera que sur ce plan la directrice XX' se projette par un seul point X", vers lequel , par conséquent ,
SURFACES REGLEES.
doivent concoLirir tonies les projections — 2" des géné-
ratrices du paraboloïde tangent.
Quand ces dernières lignes seront projetées sur la jî^. 501 , on construira par le point X” une perpendiculaire sur chacune d’elles, ce qui donnera les projections X"- — 3" des génératrices du paraboloïde normal.
Chacune de ces normales étant parallèle au plan directeur psj?, sa projection sur la^ig-. ^^98 devra se confondre avec celle de la tangente correspondante.
De plus, et par la m.ême raison , toutes ces lignes se projetteront sur la^z^. 501, dans leur véritable grandeur : de sorte que, si Ton veut donner à chaque normale une longueur égale à X''3'\ il suffira de décrire la circonférence (3” — 3"), qui déterminera les extrémités de toutes les normales.
Les points 3”. . . étant ramenés sur la /ig. 4-98 , donneront la courbe 3' — 3'... qui sera par conséquent Linterseclion de la surface normale demandée avec un cylindre circulaire , qui serait perpendiculaire au plan qui aurait pour axe la directrice X, X', X”, et pour section droite lu circonférence 3" — 3”.
La projection horizontale 3 — 3 de la même courbe sera déterminée par la rencontre des perpendiculaires et des parallèles a la ligne AZ , menées par les points correspondants des deux Jig. 498, 501.
913. Si la droite qui doit servir de directrice à la surface normale demandée était obli([uepar rapport aux deux plans de yirojection , on construirait ( /ig. 499) une projection auxiliaire sur un plan p' parallèle à cette directrice.
914. Il ne sera pas nécessaire de projeter sur le plan p' les directrices courbes de la surface donnée; on pourra se contenter de construire les projections des trois tangentes
408 SURFACES REGLEES. PL. 77.
directrices de Fhyperboloïde auxiliaire, après quoi tout le reste du travail se ferait comme dans l’exemple précédent.
915. Nous appliquerons les principes qui précèdent à une question que Ton rencontre quelquefois dans la construction des escaliers.
Supposons que la droite XX' {fi§- 502, 50^-, PL 77) soit assujettie à tourner en montant autour de la verticale oo\ de manière que tous ses points décrivent des hélices de meme pas. On pourra toujours considérer trois quelconques de ces hélices comme étant les directrices de la surface réglée engendrée par la droite XX'. Il s’agit de construire la surface normale qui aurait cette droite pour directrice.
Voici quel sera l’ordre des opérations:
1" On prendra l’un des deux plans de projection perpendiculaire à la verticale oo' et le second plan parallèle à la droi te XX', puis on projettera (339) sur ces plans les hélices AA', BB', GG', décrites par les trois points (m,/n'), (n,n'), pris où l’on voudra sur la droite XX'. Ges hélices seront les directrices de la surface réglée primitive;
2" En opérant comme nous l’avons dit au 34-7, on construira les trois droites DD', EE',FF' tangentes aux hélices AA', BB', GG'. Ges trois tangentes seront les directrices de l’hyperboloïde tangent , et détermineront aux points (m,m')j, trois plans tangents qui auront
pour traces horizontales les droites qa, qc^ qe;
3“ Les plans tangents que nous venons d’obtenir étant coupés par trois plans PipLp" , perpendiculaires à la droite XX', on aura les trois tangentes GG',HH', KK', qui , étant parallèles à un même plan, seront les directrices du paranoloïde tangent dont le plan directeur psp sera perpendiculaire sur la droite donnée XX' ;
SURFACES REGLEES.
4° Le plan qui contient le point uil et la directrice HH', coupera le plan projetant de la directrice KK', suivant {nz,^riz')y parallèle à la droite (ux,fUx), que Ton a prise avec intention parallèle au plan vertical ^X.
L'intersection de la droite (/îV) avec la directrice K' sera un point z ,z,^ qui, étant joint avec donnera la droite YY' pour la seconde directrice du paraboloïde tangent;
5® Les deux directrices XX', YY' et le plan directeur du paraboloïde étant déterminés, le reste des opérations se fera comme au n° 912.
On remarquera que les projections verticales XX', YY' des deux directrices du paraboloïde sont parallèles entre elles et perpendiculaires au plan directeur p”sp", ce qui aura lieu dans toutes les questions du même genre , quels que soient les bases et le pas des hélices, pourvu que l'on ait adopté la même disposition d'épure.
En effet, le paraboloïde tangent est indépendant de la position des points par lesquels on a construit les trois tangentes DD', EE',FF'. Or, si noussupposons que lepoint mm soit reculé jusqu’à l'infini sur la génératrice XX', le rayon om{fig. 504 ) deviendra parallèle au plan vertical de projection, et l'angle que la tangente fait avec le plan horizontal devant diminuer à mesure que le point de tangence s’éloigne de Taxe, il en résulte qu'au moment où ce point sera reculé jusqu’à l’infini , le plan tangent correspondant sera perpendiculaire au plan vertical de projection, et la génératrice du paraboloïde devra s’appuyer sur une droite située à üinjini dans le plan projetant qui sera par conséquent le second plan directeur du paraboloïde auxiliaire (815).
916. Le lecteur pourra s'exercer à résoudre la même question pour le cas où l’une des trois hélices directrices
410 SURFACËS RÉGLÉES. PL. 78.
(le la surface primitive serait remplacée par la verticale G, G' (y%. 503 et 505).
Si alors la droite donnée XX' était horizontale, on reviendrait à la question que nous avons résolue au n® 910.
917. Tout ce que nous venons de dire sur l’emploi d’un hyperboloïde ou d’un paraboloïde tangent ne s’applique qu’aux surfaces gauches.
En effet, si ia surface proposée était développable, le paraboloïde (jui la toucherait suivant une de ses génératrices deviendrait un plan tangent, et le paraboloïde normal serait un second plan perpendiculaire au premier.
C’est ce qui a lieu pour les surfaces cylindriques et coniques dont les surfaces normales sont des plans toutes les fois qu’elles doivent contenir une génératrice.
Sections des surfaces réglées.
918. Section par un plan perpendiculaire au plan de projection.
La surface étant donnée par ses directrices, on établira sur l’épure un certain nombre de génératrices , et l’on cherchera l’intersection de chacune d’elles par le plan donné. Ainsi [fig. 507, PL 78) la courbe b'u! est l’intersection de la surface réglée A, A', par le plan p^ perpendiculaire au plan horizontal.
919. On obtient de la même manière la courbe dxy provenant de V intersection par une surface cylindrique perpendiculaire au plan {vertical.
920. Intersection par une ligne. Si la ligne donnée aa' est droite, on emploiera comme surface auxiliaire (640) un de ses plans projetants, et l’on obtiendra le point rnm! .
Si la ligne est courbe, comme cc', on fera usage de la surface cj^lindrique projetante.
921. Si Fon donnait la projection m d’un point de la surface AA', et qu’il fallût obtenir sa projection verticale, on construirait dans le voisinage de ce point quelques génératrices ; puis coupant la surface par un plan p perpendiculaire au plan horizontal et contenant le point donné, on construirait la courbe b'ii sur laquelle devrait se trouver la projection verticale du point demandé.
Si ensuite par le point mm'., ainsi déterminé, on voulait construire une génératrice de la surface, on agirait comme aux n°® (812, 815).
922. Section par un plan oblique. Il suffit de chercher l’intersection du plan donné p {Jig- 508) par chacune des génératrices de la surface, ce qui ramène la construction à celle du n" 70. On a fait usage de plans perpendiculaires au plan vertical.
Intersection des surfaces réglées et des cylindres , cônes et surfaces de résolution.
