Intersection de deux surfaces réglées

Un plan vertical ja, contenant la génératrice aa' {fig. 512), coupera la seconde surface réglée, suivant une courbe bcfc'.) facile à construire (918), et l’intersection de cette courbe avec la droite aa' déterminera un point mm', commun aux deux surfaces.

On recommencera cette construction qui se réduit à chercher l’intersection de la surface réglée BB' par chacune des génératrices de l’autre surface (920).

Raccordement des surfaces réglées.

927. La ligne d’intersection de deux surfaces réglées est en général une courbe à double courbure (y/g*. 513, P/. 79). Mais dans quelques cas particuliers elle peut être plane.

928. Les deux surfaces représentées sur la flg. 514 se coupent suivant la droite ac , qui est une génératrice commune.

929. Enfin, les deux surfaces AA' et BB' (//g*. 515) se touchent, et par conséquent se raccordent suivant la génératrice commune ac.

930. Deux surfaces réglées se raccorderont toujours toutes les fois qu’elles seront touchées dans toute l’étendue d’une génératrice commune , par un même hyperboloïde , à une nappe {fig. 517), car il est évident qu’un plan tangent à l’hyperboloïde en un point c[uelconque de la génératrice ac , toucherait également à ce point les deux surfaces A et B , de sorte que ces deux surfaces étant touchées par les mêmes plans ^ suivant toute l’étendue de la génératrice commune, elles seront tangentes l’une à l’autre, et se raccorderont suivant cette ligne.

931. En général {fig. 516), si par trois points ^ v, pris à i^olonté sur une droite quelconque IL , on conçoit trois plans p, p', p”, dirigés comme on v'oudra dans l'espace ^ si ensuite .J par chacun des trois points m, n, v, on construit autant de courbes que Von voudra tangentes aux plans p, p', p", ou situées dans ces plans, toutes les surfaces réglées qui auront pour directrices trois quelconques de ces courbes , se toucheront suivant toute l’étendue de la génératrice commune X , car elles seront touchées dans foute la longueur de cette même droite par tous les hyper-

boloïdes ou paraboloïdes qui auraient pour directrices trois droites quelconques, menées dans les plans et p", par les points

932. Les surfaces réglées qui se raccordent peuvent avoir une ou deux directrices communes et ne différer que par la troisième directrice.

933. Si les deux surfaces réglées dont il s’agit étaient développables, tous les hyperboloïdes et paraboloïdes tangents se réduiraient à un seul plan qui toucherait les deux surfaces, suivant toute la longueur de la génératrice de raccordement.

934. 11 résulte de là qu’une surface réglée gauche ne peut pas se raccorder avec une surface développable suivant une génératrice.

935. Enfin deux surfaces réglées ne peuvent se raccorder suivant une génératrice, qu’autant qu’elles sont toutes deux développables ou toutes deux gauches.

936. Lorsqu’une surface courbe quelconque servira de directrice à une surface réglée, ces deux surfaces se raccorderont toujours dans toute l’étendue de la ligne qui contient les points suivant lesquels les génératrices de la surface réglée s’appuient sur la surface directrice.

937. En général , si par tous les points d’une courbe acii située sur une surface donnée A 618)? on construit des tangentes à cette surface , quelle que soit la direction que l’on aura adoptée pour ces tangentes , le lieu de l’espace qui les contiendra sera une surface réglée , se raccordant avec la surface donnée , suivant la courbe qui contient tous les points par lesquels on a construit les tangentes à cette surface.

PL. 79. SURFACES REGLEES. ^15

Supposons, par exemple, que les tangentes 1,1,1... aient été construites de manière à satisfaire à certaines conditions;que les tangentes 2,2,2... aient été obtenues par une autre loi; qu’il en soit de meme des tangentes 3, 3... , et ainsi de suite. 11 résultera de cette construction autant de surfaces réglées qu’il y a de systèmes de tangentes.

Toutes ces surfaces se raccorderont suivant la courbe acii qui partagera chacune d’elles en deux nappes. Enfin l’une quelconque des nappes de ces surfaces se raccordera toujours avec la nappe opposée de chacune des autres surfaces.

Supposons, par exemple, que la sphère AA' {fig. 519) ait servi de directrice à la surface réglée BB', et que la courbe acu soit la ligne de contact de ces deux surfaces j représentons par A et A' les deux parties delà sphère, et par B et B' les deux nappes de la surface réglée; la combinaison de ces diversesparties produira quatre surfaces différentes, savoir:

V La surface A-f A'.

2° La surface A-j-B'.

3° La surface A'-f-B.

4° La surface B-j-B'.

938. Pénétration rectangulaire. Au lieu de chercher à raccorder deux surfaces, on pourra demander qu’elles se coupent toujours à angle droit en un point quelconque de la ligne d’intersection.

Dans ce cas, étant donnée une première surface et la ligne suivant laquelle elle doit être coupée par la seconde, on construirait la surface normale qui aurait cette ligne pour directrice 5 puis, il ne resterait plus qu’à construire une autre surface tangente à la surface normale.

939. En général J, lorsque Von voudra que deux surfaces se rencontrent partout à angle droit , il faudra faire en

SUBFACES-ENVELOPPES.

sorte que Vune (Pelles soit tangente à la surface normale de Vautre J suivant , toute V étendue de la ligne d'intersection.

Cette remarque nous sera très-utile dans certaines applications de la géométrie descriptive.