PERPENDICULARITÉ DES LIGNES ET DES PLANS

84. Lorsqu\ine ligne droite est perpendiculaire a un plan , les projections de cette ligne sont perpendiculaires sur les traces du plan .

Soit, ( /%. 77, P/. 11.) la droite AB perpendiculaire sur le plan P; représentons le plan de projection par P', et par P” le plan projetant la droite ; alors ac sera la projection de cette droite, et bc sera la trace du plan P. Or, le plan P”, comme plan projetant, est nécessairement perpendiculaire sur le plan de projection P'; de plus, il est perpendiculaire sur le plan P, puisqu’il contient la droite AB, qui, d’après la question, est perpendiculaire à ce plan. 11 résulte donc de là que le plan P'^ étant perpendiculaire en même temps sur le plan P et sur le plan de projection P', sera perpendiculaire à leur intersection qui n’est autre chose que la trace du plan P ; et réciproquement, cette ligne bc sera perpendiculaire au plan P”, et par conséquent à toute ligne telle que ac qui passerait par son pied dans ce plan : ce qu’il fallait démontrer.

85. Réciproquement 78) , par les projections a, a' d"un point y on mène deux droites perpendiculaires aux traces d’un plaîi p, on pourra regarder ces lignes comme étant les projections d'une droite située dans l'espace, perpendiculairement au plan p; car les deux plans projetant y et p''élant perpendiculaires sur les traces du plan p, seront tous deux perpendiculaires à ce plan ( Géorn, ) , et par conséquent la ligne ab, a!b' , qui est leur intersection, sera aussi perpendiculaire au plan p.

8G. Donc pour exprimer qu’une ligne est perpendiculaire a un plan , ou réciproquement , il faut faire en sorte

PERPENDICULARITE.

que les projections de la ligne soient perpendiculaires sur les traces du plan {fig. 78).

87. Le théorème précédent conduit à la solution de toutes les questions de perpendicularité; mais, avant de passer à l’application, je rappellerai ce que j’ai déjà dit plus haut.

Les difficultés que l’on éprouve , dans le commencement , à résoudre les questions de Géométrie descriptive proviennent en grande partie de ce que l’on se préoccupe trop delà position des données.

On doit d’abord chercher à découvrir quelles sont les relations géométriques desquelles dépend la solution du problème, et ce n’est qu’après avoir trouvé ces relations qu’on les traduit dans le langage particulier à la Géométrie descriptive.

Il faut que l’on ait bien reconnu quelles sont toutes les opérations à faire, et que la question soit complètement résolue y avant de tracer la première ligne sur l’épure.

C’est alors seulement que l’on doit examiner les données, afin de reconnaître si, dans leur disposition particulière, il y a quelques moyens de simplifier l’application du principe général.

88. Les questions à résoudre sont ordinairement de deux espèces; les unes, que je nommerai questions simples, se déduisent directement de la géométrie ordinaire. Les autres, que je nomme composées y résultent de la combinaison de plusieurs cpiestions j)récédemment résolues.

Pour résoudre une question simple, il suffit de découvrir le théorème exprimant les relations géométriques (|ui existent entre les cjuanlilés que l’on connaît et celles que l’on cherche; et, dans ce cas, l’épure n’est plus qu’une traduction graphique de ces mêmes relations. Ainsi, par

PERPENDICULARITE.

exemple, dès que nous avons démontré qu’un plan perpendiculaire sur une droite doit avoir ses traces perpendiculaires sur les projections de cette droite, il est évident qu'il suffit d’établir celte perpendicularité sur Tépure pour construire un plan perpendiculaire à une ligne donnée.

Mais lorsqu’une question est composée, il faut, avant de commencer l'épure^ découvrir toutes les questions simples dont se compose la question principale , et déterminer bien exactement l’ordre suivant lequel doivent être faites toutes ces opérations.

89. Qu’il s’agisse, par exemple, de déterminer la distance d'un point à un plan , on dira presque toujours qu’il faut abaisser du point une perpendiculaire sur le ])lan ; après quoi on devra chercher la longueur de cette perpendiculaire.

Cette réponse, qui paraît exacte au premier abord , est cependant loin d’être complète; et l’erreur provient surtout de ce qu’on oublie que les droites et les plans employés ici comme moyens de solution, doivent toujours être considérés comme infinis (12); de sorte qu’il n’est point exact de dire que l’on mesurera la longueur de la perpendiculaire abaissée du point sur le plan, puisque cette ligne est infinie.

Voici de quelle manière la question devait être résolue.

Étant donnés [Jig. 80) le plan P et le point A ,

1"® opération. On tracera par le point A une droite mn perpendiculaire au plan donné.

2® opération. On déterminera le point B suivant lequel la perpendiculaire mn perce le plan P.

3® opération. On mesurera la longueur de la portion AB de perpendiculaire comprise entre le point donné et le plan.

La question étant ainsi décomposée, on commencera

PL. il. PERPENDICULARITÉ. 43

l’épure en exécutant successivement chacune des trois opérations précédentes, dans Tordre suivant lequel nous venons de les indiquer.

Ainsi :

opération. On tracera {fig. 79) par les points a et a! les deux droites ah, céU respectivement perpendiculaires sur les traces du plan p. Ces deux lignes seront les projections de la droite AB perpendiculaire sur le plan P

{fs- 80)-

2® opération. On déterminera (70) le point suivant lequel la droite ah, céV perce le plan p ; de sorte que ah, a'h' seront les deux projections de la portion de perpendiculaire comprise entre le point et le plan donné.

3® opération. On fera tourner la droite ah.^a'h' autour de la verticale projetante du point aa! ; ce qui donnera a'B pour la distance du point aa! au plan p.

Dans la figure 81 , le plan donné est parallèle à la ligne AZ , et la ligne ah, ah' , qui mesure la distance du point a au plan, se trouve rabattue en suivant sa véritable grandeur.

90. Supposons actuellement que Ton veuille déterminer la distance de deux plans parallèles p et p' (fîg. 83).

Représentons d’abord les deux plans donnés j)ar P et P^ {fig. 82), et cherchons quel doit être Tordre des opérations.

l®On construira (86) une droite quelconque mn perpendiculaire en meme temps aux deux plans P et P'.

La distance de ces plans étant partout la même, il est évident que la droite mn pourra être tracée où Ton voudra.

2° On déterminera (70) le point A, suivant lequel la droite mn perce le plan P.

44 PERPEINDICULARITÉ. PL. 12.

3® On déterminera de la même manière le point B, suivant lequel la droite mn perce le plan P'.

Alors AB sera la portion de perpendiculaire comprise entre les deux plans P et P', et représentera par conséquent leur distance.

On cherchera la grandeur de AB en opérant comme nous l’avons dit au n® 35.

Quoique j’aie indiqué par des renvois aux articles précédents lordre des constructions graphiques qui doivent être successivement exécutées , je répète qu’il ne faut pas com mencer l’épure avant d’avoir reconnu complètement quelles sont toutes les opérations simples dont se compose la question principale.

91 . On pourrait encore , pour obtenir la distance demandée , prendre un point quelconque situé dans l’un des deux plans (41 ) , puis mesurer la distance de ce point à l’autre plan , en opérant comme dans la question du n® 89.

92. Dans la figure 84, les plans donnés sont parallèles à la ligne AZ, et leur distance se trouve projetée en cù'h" , suivant sa véritable longueur.

93. Etant donnés un plan et un point y construire par le point un plan perpendiculaire au premier.

Soient {fig. 85, PL 12) le plan p et le point ad ; on fera 1® passer par le point une droite perpendiculaire a^u plan P (86); 2® on construira (51) autant de plans que l’on voudra contenant cette droite; tous ces plans seront perpendiculaires au plan donné. En effet, on sait ( Géoni.) que si une droite mn {/ig. 86 ) est perpendiculaire à un jjlan P, tout plan contenant cette droite mii sera aussi perpendiculaire au plan P.