Mesurer la distance de deux droites quelconques

Soient, par exemple [fig. 96 , PL 15) , les deux droites

A et B , 1° on prendra sur B un point quelconque M ; 2° on mènera par le point M une ligne G parallèle à la droite A , 3° par les deux lignes B et G on construira un plan P (55). Ge plan sera parallèle à la droite A (83 ) ; on prendra ensuite sur la droite A un point quelconque N ; 5® l’on abaissera de ce point une ligne ND perpendiculaire au plan P (86); 6*^ on déterminera en D le pied de cette perpendiculaire; T on la fera mouvoir parallèlement à elle-méme jusqu’à ce qu’elle soit venue prendre la position KS. Je dis qu’alors elle sera perpendiculaire sur les deux droites données. En effet, KS étant parallèle à ND, sera , comme cette dernière ligne, perpendiculaire au plan P, et par conséquent à la droite SB qui passe par son pied dans ce plan; de plus, elle sera perpendiculaire à la droite AK qui est parallèle au même plan ( Gèoni. ). 8° Quand on a obtenu la ligne KS perpendiculaire sur les deux droites données, il ne reste plus qu’à en chercher la véritable grandeur (35).

L’épure (95) représente les constructions que l’on n’avait qu’indiquées dans la figure 96. Pour obtenir le résultat, il suffit d’exécuter ces constructions dans l’ordre suivant lequel on vient de les énoncer, en faisant pour cela usage des principes établis précédemment.

Pour plus de clarté, j’ai eu soin d’employer les mêmes lettres dans l’épure 95 et dans la figure auxiliaire 96 , pour désigner les mêmes points ou les mêmes lignes; seulement la ligne A est représentée sur l’épure par celle dont les projections sont ad , et ainsi pour les autres.

105. Trouver le centre et le rayon de la sphère dont la surface passerait par quatre points donnés.

Le centre d’une sphère étant à égale distance de tous

PEKPENDICULAKITE.

les points de sa surface , il est évident ( Géoni.) que si l’on joint par une ligne droite deux points de cette surface, et que par le milieu de cette droite on mène un plan qui lui soit perpendiculaire; ce plan passera par le centre. D’nprès cela , étant donnés 97) quatre points aa, hh\ cc\dd\ on joindra le point a avec le point b ; puis, par le point i'w , milieu de la corde ab , on mènera (97) un plan p perpendiculaire à cette corde : ce plan contiendra le centre de la sphère demandée. De même par le pointez', milieu de la corde ^c, on mènera un plan p' perpendiculaire à cette corde : ce plan passera encore par le centre, enfin par le point uii\ milieu de cd. On mènera un troisième plan perpendiculaire à cette corde, et qui, par conséquent, contiendra aussi le centre de la sphère.

On aura par ce moyen trois plans contenant le centre de la sphère demandée. Cherchant (67) le point commun à ces trois plans , on aura le centre de cette sphère.

Après avoir obtenu le pointmm', qui représente le centre de la sphère, on joindra ce point avec un quelconque des points donnés qui , d’après la question , appartiennent à la surface , et la droite am^ a'm\ sera le rayon de la sphère. Cherchant enfin (35) la véritable longueur de ce rayon , on obtiendra la ligne Am' avec laquelle, des points m et m comme centres, on décrira deux cercles qui seront les projections verticale et horizontale de la sphère.

Il serait bon , avant de décrire les deux cercles dont je viens de parler, de s’assurer de l’exactitude des constructions. Pour cela , on joindrait le point m avec chacun des quatre points donnés, ce qui donnerait quatre rayons dont on chercherait la véritable longueur-, et si ces longueurs étaient égales , ce serait une preuve suffisante que le point obtenu est à égale distance des quatre points donnés , et que , par conséquent, il est le centre de la sphère qui passerait par ces quatre points.