CHAPITRE III

/^abattements.

109. Nous avons dit au n° 35 que, pour avoir la grandeur véritable de la portion de ligne droite qui joint deux points , il fallait faire tourner cette ligne jusqu’à ce qu’elle fut parallèle à l’un des plans de projection.

L’opération que je viens d’énoncer , et que l’on nomme rabattement . a servi dans la solution de plusieurs questions précédentes.

L’importance que les rabattements doivent acquérir par la suite dans les applications de la Géométrie descriptive doit nous engager dès à présent à présenter quelques considérations générales sur ce genre d’opération.

110. Je ferai d’abord remarquer qu’une épure, quelle qu’elle soit, n’est elle-même autre chose que le résultat d’un rabattement.

En effet, les deux plans de projection devant toujours faire un angle dans l’espace, ce n’est qu’au moyen d’un rabattement que l’un de ces plans a pu devenir le prolongement de l’autre.

Nous avons supposé (8) queleplanhorizontal avait tourné autour de la droite AZ, jusqu’à ce qu’il fût rabattu sur le prolongement du plan vertical^ on peut tout aussi bien admettre que c’est le plan vertical que l’on a rabattu sur le prolongement du plan horizontal. Cette dernière supposition sera même plus naturelle, toutes les fois que l’épure sera placée sur une table, comme cela est nécessaire pour l’exécution du travail graphique.

KABATTEMKNTS.

Les plans de projection n'étant autre chose que des conceptions géométriques destinées à faciliter la solution des problèmes , ils sont toujours à la disposition de celui qui opère, et par conséquent on devra tâcher de choisir ces plans, de manière que les opérations graphiques qui en dépendent soient les plus simples possible.

Or, il est évident que, dans les eiiempîes des n®® 35 et suivants, on aurait évité le rabattement de la droite MN, si au lieu du plan vertical qui contient la ligne AZ , on avait pu prendre un plan vertical de projection parallèle à MN ; parce qu’alors la droite donnée mn , m’ n! , aurait été projetée sur ce plan dans sa véritable grandeur; mais on ne pourra pas toujours prendre dès l’origine le plan de projection le plus simple; c’est-à-dire que le plan qui serait le plus commode pour résoudre une certaine partie de la question ne sera pas toujours celui qui conviendrait le mieux pour une autre opération dépendant du même problème. Dans ce cas, on sera quelquefois conduit à prendre autant de plans de projections différents qu’il y aura d’opérations particulières dans la (question principale , et toutes ces projections auxiliaires devront être rabattues sur l’épure, chacune selon sa position.

111. Il existe d’ailleurs une classe particulière de questions qui peut presque toujours être résolue avec avantage par le moyen des rabattements.

On sait que les questions de géométrie sont de deux espèces : les unes appartiennent à la géométrie plane, et les autres dépendent de la géométrie à trois dimensions.

On dit qu’une question appartient à la Géométrie plane, lorsque les données, les résultats, et toutes les lignes d’opérations sont dans un même plan.

Or, toutes les fois que , parmi les questions particulières qui ,.par leur combinaison , devront concourir à la solution

RABATTEMENTS

fliine question principale , il y aura quelques constructions (jui devront être exécutées dans un plan oblique ; on ra- ])attra ce plan sur l’épure; puis, après avoir exécuté les Oj)érations nécessaires, f)n ramènera le tout à la place qu’il doit occuper dans l’espace.

lia première chose à faire, lorsqu’on veut exécuter un rabîittement , c’est de choisir la droite autour de laquelle on veut faire tourner le plan que l’on rabat.

Nous donnerons à cette droite le nom à' axe ou de char^ 7/ière de rabattement, et nous la supposerons toujours immobile.

llâ. Les rabattements ayant principalement pour but d’obtenir certaines figures planes dans leur véritable grandeur, il faut que la droite prise pour axe soit parallèle à Viiri des plntis de projection ; car si on faisait tourner une figure plane autour d’une droiterjui ne satisferait pas à la condition cjue nous venons d’énoncer, la figure que l’on fèrait tourner, ne pouvant jamais être parallèle au plan de projection , ne se projetterait jamais siu ce plan dans sa véritable grandeur.

Lorsque l’on fait un rabattement, chaque point décrit dans l’espace un cercle qui a son centre sur l’axe de rotation , et qui a pour rayon la distance de cet axe au point que l’on rabat.

Les notions précédentes étant admises , nous allons compléter cette théorie par quelques exemples.

113. Supposons que l’on veuille rabattre le point rn^in' ( Jig. 99, PI 14)sur le plan horizontal qui contient la droite «A, a'b' et que l’on .ait choisi cette droite pour l’axe du rabattement.

Dansce mouvemen! , le point /nm' ne qui Itéra pas le plan vertical, qui a pour trace la droite mm^'’ perpendiculaire

PL. 14. UAiiATTEiMEJNTS.

sur ab; et pour connaître la place que ce point doit venir occuper sur le plan horizontal qui contient la droite ah, il suffit de chercher la véritable grandeur de la droite mo, qui n’est autre chose que le rayon de l’arc de cercle parcouru par le point mm!, dans son mouvement autour de la droite ab, a!b\

Pour obtenir la grandeur de la droite mo, m'o', il faudra opérer, comme nous l’avons dit aux n®® 35,36, etc. -, c’està-dire que l’on fera tourner cette ligne autour de l’hori» zontale projetante du point o.

Le point 772m' décrit alors un arc de cerclé m'm" parallèle au plan vertical de jirojcction , et qui , par cette raison , doit avoir sa projection horizontale mm”' parallèle à la ligne AZ.

Par suite de cette opération , on aura m”'o pour la véritable grandeur de la droite mo, 77/0', et par conséquent pour la distance du point mm' à la droite ab.^a'b' ; de sorte qu’en ramenant m'''o dans la position 77i’''o, le point m’usera la place occupée par le point mm' rabattu en tournant autour de ab , sur le [)lan horizontal qui contient cette droite.

lU. Il est très-essentiel de rcmar([uer que, dans l’oj^ération précédente, il y a deux rabattements. L’un, qui se fait autour de ab , a pour l)üt de rabattre le point jnm! sur le plan horizontal a'b' .

Le second, qui a lieu autour de l’horizontale projetante du point O , sert à déterminer la distance du point mm' à la droite ab , que l’on a prise pour axe du rabattement.

115. L’opjéralion serait bien plus simple, si la droite que l’on prend pour axe du rabattement était perpendiculaire à l’un des pians de [irojection.

En ellét, dans ce cas ( /%. 100) , l’arc de cercle parcouru parle point mm' autour di' la droite «77' s'-ra parallèle au plan vertical de prtjection , t t la place du jioint 777/77', rabattu en m'” sur le plan horizon I al ani” , sera < ;éU;r minée <ii-

56 RABATTEMENTS. PL. I4

rectement , puisque Ton connaît la distance a'm'àe ce point à la droite aa' .

Nous conclurons de ce qui précède,

1" Que les conditions essentielles pour qu’une droite puisse servir d’axe de rabattement , c’est qu’elle soit parallèle à ï un des plans de projection (112).

2® Que les constructions seront encore plus simples lorsque l’axe du rabattement sera perpendiculaire au plan de projection (115).

Or, dans un plan incliné quelconque , on pourra toujours choisir un axe parallèle à tel |)lan de projection que l’on voudra ; mais on ne pourra obtenir de perpendiculaire au plan de projection que dans les plans qui satisferaient euxmêmes à cette condition.

116. Cependant ce résultat pourra toujours être obtenu en prenant un plan auxiliaire de pi ojection perpendiculaire au plan que l’on veut rabattre.

En effet, reprenons la question que nous avons déjà résolue au n® 113, et proposons nous, comme alors, de rabattre le point mm' sur le plan horizontal a'b' , en le faisant autour de la droite ah, a'U .

Si nous remplaçons le plan vertical de projection par le plan auxiliaire pcm^'', et que nous concevions ce dernier plan rabattu sur l’épure en tournant autour de sa trace horizontale cni^'’, le point mm' aura pour nouvelle projection verticalele point m",queron obtiendra en faisant et la droite horizontale ab,a'b' étant perpendiculaire au nouveau plan vertical de projection pcm}'’ , elle se projettera sur ce plan par un seul point o', de sorte que le chemin parcouru par le point mm' sera représenté sur le nouveau plan de projection par l’arc de cercle m"m'"^ ce qui donnera pour la place que vient occuper le point mm' rabattu sur le plan horizontal n'b' .

RAJîATTKlMElNTS.

117. Cette disposition d’épure contribue beaucoup à faire comprendre renchaînemenl des idées, parce qu’elle permet de projeter les arcs parcourus par chacun des points que l’on fait tourner.

118. On devra aussi éviter, autant que possible , de faire un rabattement sur une partie de l’épure qui serait déjà occupée par un autre rabattement ou par une projection.

119. Les principes que nous venons d’exposer, et c[ui seront fréquemment employés par la suite, correspondent au problème connu dans l’analyse algébrique sous le nom de transformation de coordonnées. Là , comme ici , le choix des axes ou des plans coordonnés est une des parties les plus importantes de la solution des problèmes.

Nous allons reprendre , comme exercices , quelques-unes des questions qui ont été résolues dans le chapitre précédent.