Déterminer ta distance d'un point à un plan

Supposons qu’il s’agisse de déterminer la distance du

point aa' au plan p (fîg. 102).

1*^® opération. On construira d’abord le jjlan vertical p' perpendiculaire sur la trace horizontale du plan p, et par conséquent perpendiculaire à ce plan.

Le plan p contiendra la perpendiculaire abaissée du point aa sur le plan p.

2® opération. On fera tourner le plan p' autour de sa trace verticale, jusqu’à ce qu’il soit rabattu sur le plan vertical de projection.

Dans ce mouvement , le point «a’ viendra se placer en a" , et le point s en s\ après avoir décrit deux arcs horizontaux dont les centres o et o' ont tous deux le point o pour projection horizontale.

ir opération. On tracera la ligne us\ qui sera l’inter-

RABATTEMENTS

section du plan donné p par le plan auxiliaire p' ; et la droite a"b'\ perpendiculaire sur sera la distance du point aa" au plan p.

En efïét , les deux plans p et p' étant perpendiculaires entre eux, la droite a"b'\ située dans le plan p' et perpendiculaire à l’intersection p-j', est aussi perpendiculaire au plan p, et mesure par conséquent la distance de ce plan au point donné aa! .

Si on voulait avoir la projection verticale de la perpendiculaire aV, on ramènerait cette lii^ne dans le plan p, ce qui donnerait a'U .

Il est évident qu’au lieu du plan vertical p\ on aurait pu employer un plan perpendiculaire à la trace verticale du plan donné. Dans ce cas on rabattrait ce plan sur le plan horizontal.

12i. Mesurer la distance de deux plans parallèles (% 103).

opération. On construira le plan p" perpendiculaire sur les traces horizontales des deux plans donnés, et par conséquent perpendiculaire à ces deux plans.

2® opération . On ral)attra le plan p" en le faisant tourner autour de sa trace verticale, ce qui donnera les deux droites tA' provenant de l’intersection des deux plans p dp' par le plan auxiliaire p" .

On remarquera que les deux droi tes p-'.s' doivent être parallèles entre elles, puisqu’elles sont les intersections de deux j)lans parallèles par un troisième plan.

3® opération. La droite mn , perpendiculaire aux deux droites r-j*, us, sera la distance des deux plans p et p' .

Déterminer la distance d’un point à une droite

(fig. 104).

opération. Cpncevons par le point donné aa' un pian horizontal p.

RABATTEMENTS

L'inlersection de ce plan par la droite donnée sera un l'.oint JL que l’on projettera en ji sur le plan horizontal.

2® opèt'ation. La ligne droite aii,a'ji' sera une horizontale située dans le plan qui contient le point et la droite donnée.

3® opéi'ation. Nous ferons tourner la droite hm.,Vni' autour de Thorizontale aii^ a'n\ jusqu’à ce qu’elle soit ramenée dans le plan horizontal p.

Dans ce mouvement , le point nn' ne changera pas de place, puisqu^il appartient à la droite an^a!ji\ que nous prenons pour axe de rabattement. Mais si nous prenons, sur la droite donnée , un point quelconque mtii' , il est évident que ce point, en tournant autour de an, ne quittera pas le plan vertical qui aurait pour trace la droite perpendiculaire sur an. De sorte qu’en cherchant, comme nous l’avons fait au n® 113 , la distance du point mm' à la droite an, a! jl nous ohliendrons nd'" pour la place occupée par le point uuii rabattu sur le plan p.

11 ne restera donc plus qu’à tracer la droite nm^'’ et la perpendiculaire au, qui sera la distance demandée.

123. Mesuj'cr la distance de deux di'oites paj'allëles (%.105).

D On coupera, comme précédemment, les deux droites données par un plan horizontal; ce (jui donnera deux points ^ et i\

2° On joindra ces deux points par la droite si', qui sera une horizontale située dans le plan des deux droites données, et qui,’ pour celte raison, remplira les conditions nécessaires pour former un axe de rabattement (112).

3° On cherchera, comme précédemment, la distance om*^ d’un point quelconque mm' à la droite j/’, de sorte que /’m"^ sera l’une des parallèles données rabattue sur le plan horizontal.

RABATTEMENTS

La deuxième parallèle sa" sera déterminée, puisque l’on connaît un de ses points 5 et sa direction parallèle à rm^\

4® Tl ne restera plus qu’à construire la perpendiculaire îiUf qui sera la distance cherchée.

124. Mesurer la distance de deux droites quelconques. Nous remarquerons d’abord [Jig. 110, PL 15) que si l’une des deux droites données aa' était perpendiculaire à l’un des plans de projection, la perpendiculaire commune ac^a"c" serait parallèle au même plan de projection et par conséquent se projetterait sur ce plan dans sa véritable grandeur.

Il sera facile de parvenir à ce résultat par deux rabattements successifs.

1®'' rabattement. On fera tourner les deux droites données {Jig. 106) jusqu’à ce que l’une d’elles, la droite a par exemple, soit parallèle au plan vertical de projection.

Si on choisit pour l’axe de ce premier rabattement la verticale qui contient le point m , les points m! et m" resteront immobiles.

Le point w, pris où l’on voudra sur la droite a, viendra se placer en u' , après avoir parcouru l’arc horizontal uu' ; de sorte que a! , a! seront les nouvelles projections de la droite a.

Pendant que le point u parcourt l’axe horizontal uu\ le point ^ appartenant à la droite b décrit un arc égal à uu' ; parce que l’on peut toujours choisir les deux points à égale distance de l’axe de rotation m, nim" .

On joindra avec le point mm'', et l’on aura ù',^' pour les nouvelles projections de la droite b.

2® rabattement. L’opération précédente avait pour but d’amener la droite a dans une position a! parallèle au plan vertical de projection. Nous allons actuellement (aire tour-

RABATTEMENTS

ner les deux droites jusrju’à ce que la première soit perpendiculaire au plan horizontal.

Si nous prenons pour Taxe de ce deuxième rabattement la droite qui contient le point w, et qui est perpendiculaire au plan vertical de projection , les deux points n' et n” resteront immobiles.

Les deux points XjP»', pris à égale distance de Taxe de rotation , le premier sur la droite a’ et le second sur décriront deux arcs égaux xx', oV” parallèles tous deux au plan vertical de projection.

Par ce mouvement, la droites' devient perpendiculaire au plan horizontal de projection; d’où il résulte que sa projection sur ce plan se réduit à un seul point a”.

De [)lus, l’arc oV'' décrit par le point o' se projettera sur le plan horizontal par la droite oV" et le point parvenu en o”, étant joint avec n”, on aura 7ib'\ n”b" pour les nouvelles projections de la droite b\

Ainsi les deux droites a\ b' sont arrivées dans les positions ci\V\ et l’une d’elles étant alors perpendiculaire au plan horizontal de projection^la perpendiculaire commune sera horizontale, et sa projection d'c sera la distance des deux droites données.

La solution précédente est due à M. Ollwier. .

125. Une droite ac,a c' (fîg. 109) étant donnée dans un plan oblique p, construire un quarré qui aurait pour côté la droite donnée et qui soit situé dans le plan p.

Cette (|uestion est évidemment du genre de celles dont nous avons parlé au n" 111. Ainsi.

1*^® opération. On rabattra le plan donné en le faisant tourner autour de sa trace horizontale.

Par suite de ce mouvement, la droite donnée deviendra a!'c'\

62 RABATTEMEJNTS. PL,

2® opération. On construira un quarré qui ait pour côté cette droite.

3® opération. On ramènera le plan à sa place, ce qui donnera acxz pour la projection horizontale du quarré demandé.

/|.® opération. On déduira la projection verticale en employant le principe du n® 4-1.

Les constructions pourront être simplifiées en prenant un plan auxiliaire de projection p" perpendiculaire à la trace horizontale du plan donné, parce qu’alors les arcs de cercles parcourus par les dilférents points du plan p^ lorsque l’on rabat ce [)lan ou qu’on le ramène ii sa j)lace , se projetteront par des arcs de cercles sur le plan auxiliaire p" (116).

On fera bien aussi , comme étude, de vérifier les points où les côtés prolongés du quarré rencontreront le plan horizontal, le plan vertical, ou le plan auxiliaire de projection.

126. Dans la figure 107 on s’est proposé de construire les deux projections d’ui:j cercle situé dans un plan parallèle à la droite AZ.

Pour y parvenir, on a d’abord labattule plan donné, on a décrit le cercle, et l’on a ensuite ramené le tout à sa place.

Les arcs de cercles parcourus dans ces diflférentes opérations sont projetés par des arcs de cercles sur le plan auxiliaire p\

La tangenie a été construite dans le rabattement, d’où on l’a ensuite ramenée à sa place.

Ce qui précède sulïit pour faire comprendre l’utilité des rabattements. Les exemples de ce genre peuvent être multipliés à Tinfîni , et nous rencontrerons souvent, par la suite, l’occasion d’appliquer avec avantage ce mode j)arhculier d’opération.

127. Dans la figure 108 on s"est proposé de déterminer dillérents points sur les deux projections ae, oüe d’un cercle dont le plan est perpendiculaire à la li^ne AZ.