Construire V angle quiine droite fait auec un plan

On sait {Géom.) que l’angle d’une droite avec un pian se mesure par l’angle que cette droite fait avec sa projection sur ce plan.

Ainsi l’angle que la droite SG ( fi^. 115) fait avec le plan P aurait pour mesure SCB ou son égal GSD ; mais pour éviter la construction de la ligne GB, on remarquera que l’angle demandé GSD est le complément de l’angle que la ligne donnée ferait avec la ligne SB perpendiculaire au plan P, d’où résulte la construction qui suit : 1® on prendra (y%. 115, 116) sur la droite donnée un point quelconque S ; 2® on abaissera de ce ]mint la ligne SB perpendiculaire au plan donné ; 3’’ on rabattra l’angle BSG que ces droites font entre elles; 4® on en prendra le complément.

134. Construire les angles quune droite fait avec les plans de projection.

Soit la droite donnée {ab,o!b') [fig. 117); l’angle que cettedroite fait avec le planborizontalest situé dans le plan vertical qui contient cette droite et sa projection. Prenant pour axe la verticale a'u\ on fera tourner ce plan jusqu’à ce que le sommet {bb') de l’angle cherché soit arrivé au point y' . Alors cet angle étant parallèle au plan vertical , sera projeté en a!b"u\ selon sa véritable grandeur.

Le plan de l’angle formé par la droite avec le plan vertical, contenant cette droite et sa projection verticale a'b\ on le fera tourner autour de l’horizontale bo.^ jusqu’à ce que le sommet [aa!) soit venu se placer en a"; ce qui donnera ùaV pour la véritable grandeur de l’angle que la droite donnée fait avec le plan vertical.

135. Si la droite donnée {ab,a!V) {fig* 118) était perpendiculaire à la ligne AZ , un même plan contiendrait les deux angles que cette droite ferait avec les plans de projection, et le rabattement de ce plan sur le plan vertical donnerait en même temps ces deux angles, dont l’un aurait le sommet en a' et l’autre en b" .

On pourrait aussi les rabattre sur le plan horizontal.

LES ANGLESJ

136. Construire une droite qui fasse des angles donnés avec les plans de projection.

Représentons [fig. 119) par v l’angle que la droite demandée doit faire avec le plan vertical, et par h Tangle de cette même droite avec le plan horizontal. On construira en a l’angle h au-dessus de la ligne AZ, et Tangle v au-dessous, puis on prendra deux distances égales ac\ ad.

Supposons que ad soit la ligne demandée rabattue sur le plan vertical; si nous ramenons cette droite à la place qu’elle doit occuper dans l’espace , en la faisant tourner autour de la verticale du point de manière qu’elle fasse toujours le même angle avec le plan horizontal, le point cd décrira un cercle horizontal {cb,dd). Si, de plus, nous regardons ad comme le rabattement de la même droite sur le plan horizontal; en ramenant cette ligne à sa place, le point dd' décrira un cercle {db^ d'b') parallèle au plan vertical. Or, les points cd et dd' qui appartiennent tous deux à la droite demandée étant à égale distance du point a, ne doivent faire qu’un seul et même point , et comme ce point doit se trouver en même tem[)S sur les deux cercles dont nous venons de parler, il sera au point bU où ces deux cercles se coupent, de sorte que {ab,db') sont les deux projections de la droite cherchée.

On est assuré que les cercles se coupent, parce que les points b et b' sont sur une même perpendiculaire à la ligne AZ.

Si la somme des deux angles donnés était égale à un angle droit, les deux cercles se toucheraient au lieu de se couper, et la droite demandée serait perpendiculaire à la ligne AZ.

Enfin, si la somme de ces angles était plus grande qu’un angle droit , les deux cercles n’auraient pas de point commun , (et le problème serait impossible. En

efliet, si l’on place une droite quelconque dans le plan vertical, et si, en partant de celle position, on la fait tourner de manière qu’elle fasse toujours le meme angle avec le plan horizontal , on conçoit que l’angle avec le plan vertical , qui d’abord était nul, augmentera jusqu’à ce que la droite soit venue se placer dans un plan perpendiculaire à la lierne AZ. Alors la somme des deux ani;les vaudra un ansrle

droit et aura atteint son maximum ; car il est évident que si l’on continue à faire tourner la droite, l’angle avec le plan vertical diminuera de nouveau, jusqu’à ce qu’il devienne nul comme il l’était avant que l’on eût commencé à faire mouvoir la dioite.

Si l’on prolongeait les projections verticales et horizontales des deux cercles, on aurait un second point d’intersection, et par suite une seconde position de la droite demandée. Nommons ( ac, aV) les projections de cette seconde droite, et supposons, pour mieux fixer les idées, que l’on ait transporté le point a hors de la ligne AZ , comme on le voit [fig- 120 ) ; il sera facile de s’assurer que les quatre droites (ac,rtV), («c”, aV), (aû, a'û'), («û”, a'û'), satisfont toutes les quatre aux conditions demandées. Ces droites sont les arêtes d’une pyramide quadrangulaire qui aurait pour base le rectangle cc"û"û, et pour sommet le point aa! ,

Si l’on demandait que la droite passât par un point donné, il est évident qu’après avoir fait la construction précédente, il n’y aurait plus qu’à mener par ce point des parallèles aux lignes que l’on aurait obtenues.

Angles des plans,