PI, 18. Ï-ES ANGLES

\kk. Construire l'angle quiin pla7i donné fait avec les plans de projection.

L’angle que le plan p {fig. 127, 128, PL 18) fait avec le plan horizontal , étant situé clans le plan vertical p\ on fera tourner ce plan autour de sa trace verticale jusqu’à ce que le point 5, sommet de Tangle cherché , soit venu se placer en s' sur la ligne AZ ; ce qui donnera l’angle h pour l’inclinaison avec le plan horizontal.

De même, l’angle que le plan donné fait avec le plan vertical étant situé dans le plan p'\ son sommet u se rabattra en u\ et l’angle v représentera l’inclinaison avec le plan vertical.

145. Construire un plan faisant des angles donnés avec les plans de projection.

On sait ( Géom.) que si une droite et un plan sont perpendiculaires l’un à l’autre, les angles que cette droite et ce plan feront avec un autre plan sont compléments l’un de l’autre; diaprés cela, si l’on voulait construire un plan faisant avec les plans de projection des angles représentés [fig. 129) par h et par p», on construirait d’abord (136) la droite [ad] faisant avec les plans de projection des angles lé et v\ compléments des angles donnés , puis on mènerait ( fig. 130) un plan p perpendiculaire sur cette droite.

Si le plan devait être assujetti à passer par un point donné on emploierait la construction (97).

Nous avons vu (136) que par un point donné on pouvait faire passer quatre droites faisant , avec les plans de projection, des angles donnés; il en résulte que l’on pourra pareillement faire passer par un point, quatre plans faisant avec les plans de projection, des angles donnés (/i, v). Ces plans sont représentés ( fg. 130) par p>p'^p'\p"'; ils forment les quatre faces d’une pyramide quadrangulaire dont la section horizontale serait le losange ahcd.

146. Nous avons vu encore (136) que la somme des angles qu'une droite fait avec les plans de projection ne peut jamais êt;e plus grande qu’un angle droit. Ainsi, dans l’exemple présent , i^'+//ne pouvant pas valoir plus d’un angle droit, la somme de leurs compléments ne peut pas être plu< petite qu’un angle droit. Donc, pour que le problème que nous venons de résoudre soit possible, il faut que la somme des angles donnés soit plus grande , ou au moins égale à un angle droit : dans ce dernier cas , le plan cherché serait parallèle à la ligne AZ.

147. Construire un plan passant par V intersection de deux plans donnés y et qui partage t angle quils font entre eux en parties égales.

Le plan demandé devant contenir la ligne [fig- 131, 1 34 ) qui représente l’intersection des deux plans donnés, sa trace horizontale doit passer par A, et sa trace verticale par (84). 11 ne reste donc qu’a trouver un second point de l’une de ces traces : pour cela, on rabattra sur le plan horizontal l’angle asb que les deux plans donnés font entre eux, et l’on construira la droite su qui partage cet angle en deux parties égales. Le point u où cette droite perce le plan horizontal appartiendra à la trace horizontale du plan cherché. Après avoir construit cette tr.ice A«, on fera passer la trace verticale par le point et l’on aura satisfait à la question.

En eflet, les trois droites say su, sb, étant situées dans le plan p" perpendiculaire à l’intersection commune des trois plans p^p\p"\ les angles que ces lignes font entre elles mesurent les inclinaisons de ces trois plans (137); et puisque su partage l'angle asb en deux parties égales, le plan j^>"',qui contient^a, partagera l’angle des deux autres plans aussi en parties égales.

Il est bon de remarquer que l’on n’a pas ramené la ligne

su à sa place, parce qu’il suffisait (51) d’avoir le point où cette ligne perce le plan horizontal.

Nous avons partagé en deux parties égales l’angle obtus formé par les deux plans donnés; on opérerait de la même manière pour obtenir le plan qui partage l’angle aigu en deux parties égales.

14-8. Les mêmes moyens seraient employés si l’on voulait partager l’angle de deux plans suivant tout autre rapport.

149. Étant donnés wi plan et une droite située dans ce plan , on veut faire passer par cette droite un second plan faisant avec le premier un angle donné,

Soit(yi^. 132) le plan donné p, la droite donnée {yliyv'K) et l’angle donné A.

Le plan demandé devant contenir la droite sa

trace v< rticale passera par le point v et sa trace horizontale par h. Pour avoir un autre point de cette dernière trace, on construira le plan p” perpendiculaire sur la ligne donnée, qui doit être l’intersection du plan donné avec celui que l’on cherche, et après avoir rabattu sur le plan horizontal la ligne sa provenant de l’intersection du plan donné par le plan p'\ on construira l’angle asu égal à l’angle donné A, et le point u sera un point de la trace horizontale du point cherché. En effet, si l’on compare cette construction avec celle indiquée (137), il est facile de reconnaître que l’angle asu est égale à l’angle A , qui mesure l’inclinaison des plans p et p\

En construisant l’angle aso , on obtiendrait en o un point de la trace horizontale d’un plan qui satisferait pareillement aux conditions demandées.

ioO. Dans la figure 133, le plan p' partage en deux

parties égales Tangle que le plan p fait avec le plan horizontal.

151 . Trouver le centre et le rayon (Tue sphère dont la surface serait tangente à quatre plans donnés.

Il est évident que cela revient à trouver un point également éloigné de ces quatre plans. Or, si par l’intersection de deux plans on en mène un troisième qui parlage l’angle des deux premiers en parties égales, il est certain {Géom.) que tous les points de ce plan seront à égale distance des deux premiers, d’où résulte la construction suivante.

Soitp,p'^p",p’" ( fg. 19) les quatre plans don-

nés. On construira un plan p^"' qui partage en deux parties égales l’angle des plans p et p' (H7). Ce plan contiendra le centre de la sphère cherchée ; on construira de la meme manière le plan p^ qui partage en deux parties égales l’angle des plans p’ et p". Enfin le plan qui partage en deux parties égales l’angle des plans p” et p”\ contiendra encore le point cherché que l’on obtiendra en cherchant l’intersection des trois plans (67); quand aura obtenu

en [mm')\e centre de la sphère, on abaissera de ce point une perpendiculaire sur l’un des plans donnés, et après avoir obtenu le pied de cette perpendiculaire , on en mesurera la longueur (89, 120) ; ce qui donnera le rayon avec lequel , des points (m, né) comme centres, on décrira deux cercles qui seront les projections verticale et horizontale de la s()hère demandée.

En combinant les quatre plans donnés deux à deux de toutes les manières possibles, on obtient six combinaisons pp\pp”,pp"', p'p’\ p'p'",p''p’”- Si l’on partage en parties égales les angles formés par chacune de ces combinaisons, on aura six plans qui contiendront le point cherché , et l’on choisira parmi ces six plans les trois qui donneront les constructions les plus simples.

Les quatre plans donnés forment , dans l’espace , une py-

ramide qiiadrangulaire , et en partageant comme nous l’avons fai 136) les angles dont l’ouverture est dirigée dans

l’intérieur de la pyramide, nous avons obtenu la sphère inscrite ; mais si nous avions partagé les angles extérieurs en parties égales par des plans, les intersections de ces plans auraient encore donné quatre points que l’on pourrait prendre pour les centres d’autant de sphères tangentes aux plans donnés , chacune de ces sphères toucherait en dehors l’une des faces de la pyramide, et les prolongements des trois autres faces. 11 y aurait donc en tout cinq solutions.

Pour reconnaître, parmi les plans qui partagent en parties égales les angles des plans donnés, qriels sont ceux qui sont dirigés dans l’intérieur de la pyramide, on pourra opérer de la manière suivante:

On déterminera {(SI), fig. 137:

1° Le point A provenant de l’intersection des trois plans

2® Le point B, intersection de trois plans p,p\p"';

3° Le point G, intersection des trois plans p, p"-,p'”;

4° Enfin, le point D, intersection des trois plans p\p"^p'”.

Or, il est évident que le plan qui partage en deux parties égales l’angle des faces ABD, ABC, sera dirigé dans l’intérieur de la pyramide, s’il coupe l’arête CD entre les deux points G etD. Dans le cas contraire, il passera en dehors, et par conséquent il contiendra le centre de l’une des quatre sphères extérieures.

Si le lecteur veut construire les projections de ces sphères , il fera bien de placer les données de la planche 19 au milieu d’une demi-feuille de papier grand aigle dont la plus grande dimension serait parallèle à la ligne AZ.

S’il prend d’autres plans , il devra étudier d’avance leur disposition , parce que , sans cela , les centres de quelquesunes des sphères cherchées pourraient se trouver fort loin en dehors des limites de l’épure.

Quand les données seront placées , on pourra opérer dans l’ordre suivant :

Sphère intérieure. On partaj^era en deux parties égales trois f[uelconf|ues des angles formés à l’intérieur de la pyramide par les plans pp\pp" , pp"'-)p'p\p'p'\p"p'"-

sphère extérieure. On partagera les angles formés à l’extérieur de la pyramide par les plans pp\ pp\pp">

2® sphère extérieure On partagera les angles extérieurs formés par les plans p'p, p'p" ^p’p"'>

3® sphère extérieure. On partagera les angles extérieurs formés par les plans p"p^p’'p p”p"-

4*® sphère extérieure. On partai:era les angles extérieurs formés par les plans p"'p* p”'p\p'''p"‘

La question que nous venons de résoudre a beaucoup d’analogie avec le problème de géométrie plane , dans lequel on inscrit un cercle dans un triangle 135); là on partage les angles du triangle, et ici les angles de la pyramide, en parties égales.

Dans le premier problème, on obtient quatre cercles tangents aux trois droites qui forment les côtés du triangle donné, tandis que, dans le problème précédent, il y a cinq sphères tangentes aux plans qui forment les faces de la pyramide.

152. En proposant cette question comme exercice, j’ai cru devoir placer les plans donnés dans une position quelconque ; maison pourrait, par un choix convenable de plans coordonnés, en rendre la solution plus simple. En efi’et, nous l’avons déjà dit (107), pourvu que l’on ne change rien aux données de la question , on peut toujours choisir tels plans de projection que l’on voudra.

D’après cela, plaçons horizontalement ( Jig. 138, PI. 20) l’un des quatre plans donnés, le plan p, par exemple, et prenor s pour plan vertical de projection un plan perpen-

diculaire au plan p' ; les lignes p'' et étant les traces horizontales des deuxautres plans donnés, et le point {s, 5') étant le sommet de la pyramide formée par les quatre plans ; sera le plan qui partage en deux parties égales l’angle des plans P et p' , et sa trace verticale contiendra la projection verticale du centre de la sphère demandée. L’angle des plans P et p'\ situé dans le plan vertical se rabattra en et la ligne qui partage cet angle en deux parties égales, rencontrera en o' la ligne verticale qui contient le point (5, .s'). L’angle des plans p et p"\ projelé suivant su y se rabattra en u” et sera partagé en deux parties égales par qui rencontrera en h’ la même verticale s\ Concevons maintenant ( 65 ) un plan auxiliaire ^ , parallèle au plan vertical de projection ; ce y)lan contiendra en a! et o' deux points du plan p" , qui partage en deux parties égales l’angle des deux plans p et p" ; de sorte qu’il coupera ce plan suivant la droite a!o' , Par la même raison il coupera suivant b'h' le plan qui partage l’angle des plans pp"' en parties égales ; de sorte qu’en joignant le point où les deux lignes aV et se cou[)erit, avec le pointe', intersection des traces horizontales des plans p’ et p"\ qui sont les mêmes que celles des plans p'’ et p'^\ on aura l’intersection de. ces deux derniers plans; et le point (m,A7/),où cette intersection percera le plan p^\ sera le centre de la s[)hère cherchée. Quant au rayon, il sera projeté en m'd suivant sa véritable grandeur.

153. S’il y avait de la symétrie dans la position des quatre plans donnés, les opérations deviendraient encore plus simples. On peut s’en convaincre par l'inspection des figures 139 et 142, qui contiennent les projections verticales et horizontales des cinq sphères tangentes aux quatre faces d’un tétraèdre réi^ulier.

Pour plus de simplicité , on a placé Tune des faces abc

du tétraèdre parallèle au plan horizontal de projection, et l’une des arêtes ac perpendiculaire au plan vertical.

154. . Par une droite donnée faire passer douze plans faisant entre eux des angles égaux.

Représentons la ligne donnée par (a, a') fig. 14-0, 141). On sait déjà (48) que les traces des douze plans demandés doivent passer par les traces de la droite donnée ; il ne reste donc plus qu’à déterminer un point de chacun de ces plans. Pour y parvenir, on construira un plan p" perpendiculaire sur la ligne donnée {a,cé) qui doit être l’intersection commune de tous ces plans; puis, au moyen de la construction indiquée (138) , on rabattra sur le plan horizontal le point o , provenant de l’intersection de la ligne donnée par le plan p" , On mènera par le point O, ainsi rabattu sur le plan horizontal , douze lignes faisant entre elles des angles égaux , et le point où chacune de ces lignes ira couper la trace horizontale du plan p" appartiendra à la trace horizontale de l’un des plans que l’on cherche; car il est évident {fig^ 141) que ces douze lignes passant par le point o dans le plan p" y sont perpendiculaires à la ligne donnée; de sorte que les angles que ces lignes font entre elles mesurent les inclinaisons des douze plans qui les contiennent. On n’a pas cherché quelles seraient les projections de ces douze droites si on les ramenait à leur véritable position dans l’espace, parce qu’il suffisait (48) d’avoir les points où chacune de ces droites va percer le plan horizontal.

On n’a dû par tager en douze parties égales que la moitié de la circonférence, parce que les prolongements des rayons auraient déterminé les mêmes plans.

Angle trièdre.

155. Dans un angle trièdre on peut considérer les trois faces ou angles que les arêtes forment entre elles, et les trois angles d’inclinaison de ces faces.

L’expression angle solide est assez souvent employée; mais on sait ( Géom.) qu’il ne faut attacher à cette expression aucune idée de volume, et qu’il ne s’agit que de la combinaison de plusieurs plans qui passent par un même point. Au surplus, les expressions d’angles dièdre ^ trièdre ou polyèdre expriment mieux l’idée que l’on doit se former de l’intersection de deux, trois, ou un plus grand nombre de plans.

156. Étant donnés trois quelconques des six angles qui composent un angle trièdre , on demande de construire les trois autres.

Cette question donne lieu à six problèmes. En ell’et, désignons par a, c les trois angles plans ou faces, et par A, B, G les angles dièdres ou d’inclinaison des faces entre elles. On peut avoir;

Données.

Inconnues.

157. 1®" Problème. Etant donné sl y b, c, trousser K y B, G. On placera les trois faces données à côté les unes des autres, comme on le voit {fig. 143, PL 21 )? et l’on prendra une distance quelconque que l’on portera à

droite et à gauche du point S , sur les deux côtés extérieurs des faces a et c.

Si maintenant l’on fait tourner la face a autour de l’arête pour la ramener à la position qu’elle doit occuper dans l’espace , le point rnH décrira un cercle dont le plan sera perpendiculaire à l’arête et dont la projection sur le plan de la face h sera représentée par la droite m', m; si l’on fait tourner pareillement la face c autour de l’arête Sm , le point m" décrira un cercle qui aura pour projection ladroitem"/7z. Or, quand les deux faces a et oseront revenues à leur place, le point ni et le point m", qui sont à égale distance du point S, ne feront qu’un seul et même point, et ce point devant êlre'en même temps dans les deux plans fera par-

tie de leur intersection , qui , étant perpendiculaire au plan de la lace ô, se projettera sur cette lace par le point m.

L’angle trièdre étant reformé, l’angle C, qui exprime l’inclinaison des faces a et ô, aura son sommet en A, et sera projeté sur le plan de la face ô par la ligne hm , qui sera fun de ses côtés. Pour avoir la grandeur de cet angle, il suffira de le faire tourner autour de hm pour le rabattre sur le plan de la face ô,dans la position mhrn'”. La perpendiculaire qui contient le point m prendia, dans ce rabattement, la position mm'" , et on déterminera le point m'" en décrivant du point /i, comme centre, un cercle dont le rayon , égal à la ligne /im', sera le second côté de l’angle G.

Une construction analogue donnera l’angle A rabattu sur le même plan , dans la position

Pour obtenir l’angle B, on concevra par le point dont la projection est w, un plan perjiendiculaire à l’arête Sw. Ce plan, qui contiendra l’angle B, coupera la face a suivant une droite perpendiculaire à Sm, et représentée par mV dans le rabattement de la face a; ce même plan coupera la face c suivant la ligne et la face h suivant vu; de sorte que les trois droites mV, vu, m''u, seront les trois

cotes (lu triangle au sommet cluquel se trouve l'angle B, (]Lie Ton connaîtra en construisant le triangle viiz.

Si la face h était égale à la somme des deux autres, le point m serait sur l’arc de cercle nioni", les angles A et C seraient nuis, et l’angle B vaudrait deux angles droits.

Si la face tétait plus grande que la somme des faces a et c, le point m se trouverait hors du cercle niom'\ et l’on aurait ce qui serait absurde, puisque l’angle trièdre étant reformé, mh est la projection de et ne ])eut pas être plus grande que cette ligne ; enfin , s’il y avait dans les données quelque condition d’impossibilité, elle se manifesterait toujours par la construction de l’épure.

J’engage le lecteur à changer les données de manière à reconnaître ce qui arriverait dans toutes les hypothèses. Il fera bien de résoudre la même question en supposant que quelques-uns des angles donnés ou tous les trois sont obtus.

Si du point m, comme centre , avec un rayon égal à mm"\ on décrit un arc de cercle, cet arc doit passer par le point car il résulte de ce qui précède, ({ue les deux droites mm" représentent le rabattement de la même ligne.

Enfin, les deux angles étant droits, leurs

sommets doivent se trouver sur la eirconférence (jui aurait Sm pour diamètre.

Ces dernières remarques nous seront fort utiles pour la solution des problèmes suivants.