Si l’on imagine un fil attaché en z, et courbé sui

LIGNES COURUES

vant le contour de la ligne zonm ; en faisant mouvoir le point a suivant la courbe ahcAe , il est facile de voir que le fil se développera , (jue !e point m décrira la courbe msu^ et que le rayon de courbure s’accroîtra , à chaque instant, delà didérence des deux normales passant parles extrémités de Tare parcouru par le pointa; de sorte que la partie uz du dernier rayon pourra être regardée comme le développement de la courbe zonm. C’est cette propriété qui a fait donner à la courbe ahede le nom de développante , par rapport à la courbe zonm qui contient les centres de courbure , et que l’on nomme sa développée.

2 1 1 . En regardant une courbe comme une suite de petits arcs de cercle, hypotbèse suffisamment exacte pour un grand nombre d’applications, nous allons voir quel parti on peut tirer des principes précédents pour la construction des courbes.

212. Étant donnée une ligne courbe , construire sa développante.

On placera sur la courbe donnée un certain nombre de points Irès-rapprocbés les uns des autres ; puis, après avoir mené une tangente par chacun d’eux , on prendra ce point pour c{ ntre, et la tangente pour rayon de courbure de l’arc correspondant de la dévelo])pante.

Ainsi, par exemple, étant donnée la courbe rnnoz [Jig. 183), on construira les tangentes ma.^nb; puis du point ni comme centre, avec le rayon ma, on décrira l’arc ab ; le point/i sera le centre de l’arc bc , et ainsi de suite, Les courbes a^c, dldc {fig. 184-) sont les développantes du cercle. On aurait pu en construire une pour chaque point du cercle , et l’on peut voir qu’en général une courbe a une infinité de développantes. La ligne a'b"c” est la développante de a'b'c .

LIGNES COURBES

213. Ln couibe ab , obtenue par le moyen que nous venons (l’intli<juer, n’esl pas rigoureusement égale à la cléve- ]opj)nnle du cercle, puiscjue la définition de cette dernière ligne suppose la coi struction d’un nombre infini de tangenies.

Pour obtenir plus de précision dans le tracé de la courbe, on mesurera le rayon en le portant avec le compas sur une échelle divisée avec le plus grand soin. Puis on calculera la circonférence au moyen de la formule 27:R ; ce qui donnera la longueur delà 10® tangente. On partagera cette longueur en IC ])arties égales, et l’on jiortera 15 de ces parties sur la 15® tangente, 14 sur la 14® tangente, 13 sur la 13®, et ainsi de suite. Après quoi on tracera la courbe à la main , ou en cherchant les centres comme nous le dirons bientôt.

214. Etant donnée une ligne courbe ^ construire sa développée.

Il iaudra mener ( fig. 183) h la ligne proposée un certain nombre de normales très près les unes des autres, puis on fera passer une courbe par les points d’intersection de ces normales consécutives.

La développée du cercle se réduit h un point.

11 ne sendjle pas que ces principes puissent être d’une grande utilité dans les applications, puisque la développante ne peut se construire qu’à l’aide de la développée, et que, réciproquement, on ne peut obtenir la développée que lorsqu’on a déjà la développante. Mais nous allons voir que l’on peut souvent éluder cette difficulté.

215. Lorsqu’une courbe provient , comme abede {fig. 183), de la construction d’arcs de cercles successifs, on lui donne, dans les applications, le nom de courbe a plusieurs centres. On voit que ces sortes de courbes ne sont pas soumises dans toute l’étendue de leur cours à la même

LIGNES COURBES

loi (le continuité , c’est à-dire (juc les conditions qui détcrminént le mouvement du point j^éncrnteur ne sont p;is identiquement les mêmes depuis le commencement de la courbe jusqu’à son extrémité. Mais la facilité avec laquelle on peut construire , à l’aide d’un compas , ces imitations de courbe , les fait souvent préférer, dans les applications, aux courbes continues que l’on ne peut tracer qu’à la main.

Des courbes à plusieurs centres.

216. La construction des courbes à plusieurs centres dépendde ce principe de içéométrie, que si deux cercles ont une tangente commune en un point de leurs circonférences, ils se toucheront en ce point.

217. Soit , par exemple {fg> 185) , un arc de cercle ab ayant pour centre le point c; il est évident que tout autre arc de cercle passant par le point b et qui aura son centre sur le rayon cb ou sur son proloni^ement , sera louché en b par le premier arc et se raccordera parfaitement avec lui.

On peut proposer deux questions principales sur les courbes à plusieurs centres.

218. U® Question. Faire passer une ligne courbe par plusieurs points donnés.

Soient trois points a.^b.^c{fLg. 187), on mènera les cordes ab, bc , et les lignes dm, hn, perpendiculaires sur les milieux de ces cordes ; puis du point m , pris où l’on voudra , SLir^/m, on décrira un premier arc ab. Quant au second arc bc, il doit avoir son centre sur la ligne hn perpendiculaire au milieu de bc ; mais pour qu’il se raccorde avec le premierarc , il faut qu’ils aient la même tangenteau pointé. II faut donc que le centre du second arc soit sur le rayon bru. Il sera donc au point n , où les deux lignes bm, hn, se rencontrent.

LIGNES COURBES. PL. 29-

On voit que la question proposée est indéterminée, et (jue par trois points donnés on peut faire passer une infinité de courbes à deux centres, dont la forme dépend du centre que Ton choisit pour décrire le premier arc. Si Ton prenait le point o pour centre, les deuxarcsn’en feraient qu’un; si l’on décrivait le premier arc du ])oint sur la lii^ne hp perpendiculaire à Z>c, le rayon de courbure du second arc serait infini , et cet arc se confondrait avec la corde 6c , qui deviendrait tangente au premier arc.

219. On peut appliquer ces principes à la construction d’une courbe passant par tant de points que l’on voudra , et l’on reconnaîtra encore que la forme de la courbe dépend du centre du premier arc. Ainsi {Jig- 186), en prenant ce centre en i, on a la courbe abede, tanrlisque si l’on prend le point O pour premier centre, on obtient la courbe ab'c'd'e.

220. Pour obvier h l’inconvénient qui résulterait de celte indétermination., on tracera tl’abord (/%. 188) au crayon et avec beaucoup de soin la courbe que l’on se proposera de construire; puis après l’avoir partagée en parties égales par les points a, h, c^d^e^ on fera passer par b une perpendiculaire sur «c, par c une perpendiculaire sur bd^ et ainsi de suite. Toutes ces lignes pourront être considérées comme des normales à la courbe, et leurs intersections successives donneront les centres de courbure.

221. 2® Question. Construire une courbe à plusieurs centres et tangente à des droites données.

Soient ( fig. 189) les deux droites ah, ac ; on veut décrire une courbe qui les touche en b et en c. Pour cela ,’ on construira d’abord bo,ci, perpendiculaires aux deux tangentes données , puis on décrira un premier arc bd, en prenant pour centre un point o situé où l’on voudra sur

LIGNES COURBES

la droite bu , de manière, toutefois, que Tare ne touche pas la tangente ac. Portant le rayon ho de c en /i , on joindra le point o avec le point h par la droite oh^ sur le milieu de laquelle on élèvera la perpendiculaire dont la rencontre avec la ligne ci donnera en i le centre du second arc. En elfet, on aura ik = io, et par conséquent //i j Ac = 10 -f- , puisque odz=bo = hc. Donc le second arc tangent en c passera par le point d; de plus, il se raccordera avec le premier arc, puisque si au point d on menait une perpendiculaire à od^ elle le serait aussi au rayon id du second arc, d’où il suit que les deux arcs auraient une tangente commune en r/, et se toucheraient en ce point.

Si le centre du premier arc était situé sur la ligne qui partagerait l’angle bac en deux parties égales, cet arc toucherait aussi la ligne ac au point u, éloigné du point a d’une quantité = et la partie droite eu remplacerait le second arc dont le rayon serait alors infini.

222. Si les deux tangentes étaient parallèles, on opérerait de la même manière. Enfin, si la courbe devait être assujettie à passer par un point donné, le problème serait déterminé.

Soient, par exemple ( fig. 190) , les deux droites aA, cd. On veut décrire une courbe qui touche ces deux lignes en b et en c, et qui passe parle point A. On construira Ao, et, perpendiculaires sur les deux tangentes ; on mènera de plus la corde AA , sur laquelle on élèvera la perpendiculaire io. Le centre du premier arc sera déterminé par l’intersection de ho avec la perpendiculaire sur le milieu de AA ; on fera ensuite en =Ao, et le centre du second arc sera donné par l’intersection de ci avec la perpendiculaire sur le milieu de ou. Le point de raccordement sera sur le prolongement de io.

223. Si l’on veut construire une courbe tangente aux divers cotés d'un polygone quelconque ( fig. 191 ) , on com-

LIGNES COUKBES.

mencera par l’indiquer au crayon avec le plus de régularité possible; puis, après avoir bien arrêté les points où Ion veut que la courbe touche le polygone, enjoindra ces points deux à deux par des courbes à deux centres, du genre de celle que nous avons construite (221).

Lieux géométriques,

22^^. Nous avons précédemment regardé une courbe comme représentant le chemin parcouru par un point qui se meut suivant une certaine loi ; mais souvent on considère une ligne courbe comme étant le lieu où se trouvent réunis un nombre infini de points qui satisfont tous à certaines conditions données. Dans ce cas , la courbe prend le nom de lieu géométrique ; ainsi , la circonférence d’un cercle est le lieu de tous les points qui, dans un même plan sont à égale distance d’un point donné que l’on nomme centre.

La droite qui partage un angle en deux parties égales est le lieu de tous les points également éloignés des côtés de cet angle.

Nous allons donner une idée de la construction de quelques lieux géométriques et de leur usage.

225. Étant donnés un cercle et une droite , construire le lieu de tous les points à égale distance de la droite et de la circonférence du cercle.

Soit {fig, 192 , PL 50) la droite ap et le cercle qui a son centre en c. On abaissera de ce point une perpendiculaire sur la droite ap, et Ton prendra le milieu de la partie de cette perpendiculaire comprise entre la droite et la circonférence du cercle , ce qui donnera en o un point de la courbe cherchée. Pour en construire d’autres, faisons od — oli; menons au point h une ligne hu parallèle à ap, et décrivons du point c, comme centre, l’arc du. L’intersection de cet

LIGJNES COURBES.

îirc et (le la droite hu donnera en u un second point de la courbe. En eflfet, on a zu=ph = cli = us.

Donc,

zu ~ us.

On construira de cette manière autant de points que l’on voudra.

Tout cercle qui , ayant son centre sur cette courbe, toucherait la droite donnée, serait aussi tangent au cercle donné.