Si Ton voulait construire le lieu de tous les points a

égale distance des c,e, on joindrait les centres

pnr la droite ce, elle point a?, milieu de nm, appartiendrait au lieu cherché. Prenant ensuite xi^=hx., et décrivant

des points c, e , comme centres , on aura en y un second point de la courbe cherchée. En répétant cette construction, on aura autant de points que Ton voudra, ce qui déterminera la courbe txy.

Tout cercle ayant son centre sur cette courbe, et qui toucherait le cercle c, serait aussi tangent au cercle e.

C’est par une construction analogue que l’on a obtenu la courbe pq^ qui contient les centres de tous les cercles c|ui sont touchés intérieurement par le cercle c, et extérieurement par le cercle e.

227. Étant donnés trois cercles , que je désignerai par a, b, c {fig- 193), construire un cercle qui les touche tous les trois.

On construira d’abord le lieu rnn, (jui contient les centres des cercles tangents aux cercles a et b. On construira de même le lieu contenant les centres des cercles tangents aux cercles « et c, et l’inlersection des courbes mti^pq donnera en X le centre d’un cercle (jui touchera les trois cercles donnés.

LIGNES COURBES

Eu construisant le lieu des centres des cercles qui touchent é et c, on obtiendrait une troisième courbe vs qui passerait encore par le point x, ce qui vérifierait les constructions.

On obtiendrait de la même manière les centres des cercles qui toucheraient extérieurement quelques-uns des cercles donnés, ou tous les trois. Dans le cas général, il y a huit cercles tangents à trois cercles donnés.

Je n’ai donné cette construction que comme un exemple d’application des lieux géométriques que nous emploierons par la suite dans plusieurs occasions -, mais on trouvera dans les Traités de Géométrie ordinaire, d’autres moyens de résoudre les problèmes relatifs au contact des cercles.

228. Étant donnés [fig- 194-) un cercle dont le centre est en a , et un point b hors de ce cercle , construire le lieu contenant les pieds de toutes les perpendiculaires abaissées du point b sur les tangentes au cercle.

On construira les tangentes cd.,eh, p'o, etc., et du point b on abaissera les perpendiculaires bd., bh , bo, ce qui donnera la courbe mdhbosubkm.

Courbes d'essai.

Voici encore quelques applications des lieux géométriques.

229. Soient donnés la courbe bxc et le point a { fig. 195 ) ; on demande de faire passer par ce point une tangente à la courbe.

On construira un certain nombre de normales (208), puis abaissant du point donné une perpendiculaire sur chacune de ces normales, on aura le lieu dxli , qui contiendra les pieds de ces perpendiculaires, et le point x provenant de l’intersection de cette ligne avec la courbe proposée,

LIGNES COURBES

sera le point de taniçeiice; car il est évident cfue si, par ce point , on construit une normale .ro, la droite ax sera perpendiculaire à cette normale , et par conséquent tangente à la courbe.

Pour ne pas faire de travail inutile, on commence par reconnaître quelle doit être à peu près la position du point de tangence, et Ton construit deux ou trois normales en deçà, et autant au delà de ce point.

230. Cette manière d^employer les lieux géométriques leur fait quelquefois donner le nom de courbes d'essai.

231. Tous les géomètres ont attaché une grande importance à la détermination rigoureuse des tangentes et des points de tangence; mais dans les applications, quelle que soit l’exactitude du principe dont on fait usage, on conçoit qu’il y aura toujours quelque erreur, que l’on pourra , dans le calcul, rendre aussi petite nue l’on voudra, mais f^ui , dans les constructions graphie] ues, sera toujours dépendante de la perfection des instruments , ou de l’habileté de celui qui les emploie. Ainsi, ])ar exemple, lors(|u’on veut faire passer une droite p.'îr un point, il est certain que l’eireur que l’on commet dépend du plus ou moins de finesse flans la pointe du crayon avec lequel on aura tracé cette droite.

Nous conclurons de là f{ue, pour construire, par un point a [/ig. 196) , une tangente à la courbe hxd , on peut se contenter d’approcher une règle de manière t|ue la ligne tracée par le point donné paraisse passer sur la courbe, sans augmenter la largeur du trait. Il est évident que la tangente sera , parce moyen, aussi bien déterminée fjue si l’on avait obtenu d’abord le point de tangence, puisque, dans l’un comme dans l’autre cas, la plus grande erreur ne pourra excéder la largeur de la ligne tracée; mais on con-

LIGNES COURBES

çoit que ce dernier moyen de construire une tangente laisse de Tincertitude sûr la véritable place du point de tangence, et si Ton voulait déterminer ce point, on construirait plusieurs cordes parallèles à la tangente , et la courbe y.x, contenant les milieux de toutes ces cordes, viendrait aboutir au point de tangence , et le déterminerait avec une exactitude suffisante pour la plupart des applications.

1232. Ce moyen de construire une tangente ne peut être employé avec succès q ue lorsque la direction de la tangente est déterminée par un point extérieur ou par quelque autre condition. Si le point donné, par exemple, était sur la courbe , il est évident que la plus petite erreur, à droite ou à gauche de ce point , pourrait influer beaucoup sur la direction de la tangente, et par conséquent sur la position de tous les points qui dépendraient de la direction de cette ligne.

Dans ce cas , il serait indispensable de commencer par déterminer la normale, soit par la construction indiquée (208), soit par tout autre moyen résultant de la définition de la courbe.

233. ConsLruire une tangente a une courhe cyd , parallèlement à une ligne donnée ab.

On construira [fig. 197) quelques normales, et d'un point «pris où l’on voudra sur la droite donnée, on abaissera une perpendiculaire sur chacune de ces normales. La courbe axz , qui passera par les pieds de toutes ces perpendiculaires , coupera la droite ah en un point x. Or si , par ce point, on construit la normale xo , elle sera évidemment perpendiculaire à la ligne ab et son intersection avec la courbe donnée déterminera le |)oint de tangencey et la tangente qui sera parallèle à comme on le demandait.

Pour mener par le point x la normale xo , on prolongera

PL. 30. LIGNES COIJEBES. 119

les normales que Ton avait construites pour obtenir le lieu axz. Les intersections successives de ces normales donneront un arc eo appartenant à la développée de cyd , et menant par le point x une tangente à la courbe eo, on obtiendra la normale ox.

234*. On pourrait {Jig* 198), pour construire la tangente demandée , se contenter d’approcher la règle parallèlement à la ligne donnée ab , et l’on tracerait la ligne pq de manière qu’elle passât sur la courbe sans augmenter la largeur du trait; puis on construirait quelques cordes parallèles à la ligne donnée, et la courbe zx , passant par les milieux de ces cordes, viendrait aboutir au point de tangence et le déterminerait avec une exactitude suffisante (207).