Construire une tangente a deux courbes données

On approchera {fig. 199) une règle de ces deux courbes,

ce qui déterminera la tangente pq avec une exactitude suf*- Csante. Quant aux points de tangence , on mènera deux ou trois cordes parallèles à pq , et prenant les milieux des cordes tracées dans la courbe czd., on construira le lieu «z, qui déterminera le point z ; on obtiendra de la même manière le point X.

236. Partager un cercle en tant de parties égales que Von voudra.

Soit, par exemple [fig^ 200), un cercle que l'on veut partager en sept parties égales.

On construira un rayon et une ligne bc ^ perpendiculaire en un point quelconque pris sur le [)rolongement de ce rayon; puis ouvrant le compas' d’une quantité que l’on jugera peu différente de la septième partie du cercle, on portera cette ouverture à ])artir du point a , en ayant soin de marquer sur la circonférence le sixième et le hui-

jj(;lm:s colrhks.

tième point de division; taisant ensui le r/e , on joindra le point b avec le point 8 , et le point c avec le point 6 , par deux droites qui se couperont en o. Or, si le point o élait sur la ligne di^ , il est évident que les points 6 et 8 seraient symétriquement placés par rapport à cette droite, et que le septième point de division coïnciderait avec le point a; tandis que si le point o est au-dessus ou au-dessous de la ligne di^, on peut en conclure que Ton a pris une ouverture de compas trop grande ou trop petite.

Après trois ou quatre essais de ce genre, en diminuant ou augmentant un peu Touverture du compas, on obtiendra une courbe qui coupera la ligne di^ en un point x, et joignant ce point avec />, on déterminera l’extrémité de la septième partie de la circonférence.

Les points b,c. pouvant être pris à volonté, il faut les choisir de manière que la position du point o soit bien déterminée. Si l’on prenait ces points trop près du points/, les lignes ^o, CO , se couperaient troj^ loin et suivant un angle trop aigu; la courbe d’essai pourrait même se trouver à droite du point d, ce qui serait moins commode que dans l’exemple proposé.

237. La construction précédente a été employée(//'^. 202! pour déterminer le tiers de l’arc ab.

Ce problème est connu sous le nom de trisection de. r angle ou de lave.

De la manière de représenter les courbes planes.

238. Soient deux droites AX , AY, que l’on supposera^ pour plus de simplicité, rectangulaires entre elles; la première se nomme l’a.re des abscisses., la seconde est \axe des ordonnées; lorsqu’on parle de ces deux droites, on les nomme axes coordonnés ; le point A se nomme Y origine.

Si l’on conçoit un point ni dans le plan YAX, et que.

LlGINi:S COURBES.

|>ar CO point, on construise tup parallèle à la ligne AY, et tnq parallèle à la ligne AX; nip se nommera V ordonnée , et rnq sera Vabscisse du point m; de sorte que la position du point m, par rapport aux axes AY, AX, sera déterminée lorsque Ton donnera son abscisse et son ordonnée.

Presque toujours on prend pour Tabscisse la partie de la droite AX comprise entre le point A et le pied de l’ordonnée.

239. Une courbe étant connue, lorsque l’on connaît la position de tous ses points , on peut faire pour chacun d’eux les constructions que nous venons d’indiquer. Ainsi , pour construire la courbe abedef {fig. 203) , il suffira de construire l'abscisse et V ordonnée correspondant à chacun de ses points.

24.0. Si l’on voulait copier une courbe ou la réduire , il faudrait copier ou réduire , d’après un rapport donné, les abscisses et ordonnées de chacun de ses points. Ainsi la courbe a'U d d' e'f' représente la courbe abede réduite à une dimension moitié.

241. Pour rectifier la courbe abcdef\ c’est-à-dire pour avoir sa longueur absolue , on portera les arcs bc, cd à la suite les uns des autres, ce qui donnera ci'b" d' d"e"f" ; il est bien entendu que les points a.,bjC...., etc. , doivent être assez rapprochés les uns des autres pour que l’on puisse, sans erreur sensible, prendre la distance de deux points consécutifs pour la grandeur de l’arc qui les joint.

242. Quelquefois, pour définir une courbe, on énonce les relations qui doivent exister entre les abscisses et les ordonnées de ses points.

Ainsi, par exemple, si l’on demandait une courbe telle que pour chaque unité d’augmentation de l’abscisse, l’or-

LIGNES COURBES

donnée dût augmenter de la moitié de Cordonnée précédente, on construirait les points m?i\pq à égale distance les uns des autres; et en supposant que le point a soit donné sur la ligne AY, on construirait ma, qui, par son prolongement, donnera le point b ; nh donnerait le point c;Ac donnerait le point <^, et ainsi de suite, en sorte que abcd, ... O serait la courbe demandée. En efb t , on aura :

Donc

cq : dr :: A q : A /• : : 2 : 3 ;

3c<7 cq

^dr—^^cq et par conséquent (Ir=z = cq -| —

On voit que dans celte courbe les abscisses étant en progression par difïérence , les ordonnées correspondantes forment une progression par quotient. Cette propriété a fait donner à ces sortes de courbes le nom de logarithmiques.

Courbes du second degré.

24-3. On nomme courbe du second degrés celle dont toutes les propriétés peuvent être exprimées par une équation du second degré.

Les constructions que nous allons indiquer sont les conséquences de ces propriétés , qu'il faut étudier dans les traités de Géométrie analytique.

24*4^. Les courbes du second degré sont au nombre de trois, savoir : l’ellipse, la parabole, l’byperbole.

Ellipse.

245. L’ellipse est une courbe telle que la somme des distances de chacun de ses points a deux points fixes pris dans son plan , et que l'on nomme foyers , est une quantité constante.

On exprime ordinairement cette quantité par 2a.

UGNS COURBES.

24-6. Construction de l'ellipse. De la propriété que nous venons d’énoncer, et que l’on peut regarder comme la définition de l’ellipse, il résulte deux moyens de construire cette courbe.

Soient {fig. 205, PL 51 ) , F et F' les deux loyers, on prendra le point F, pour centre , et avec un rayon quelconque Fo, on décrira un premier arc de cercle; puis du point F' comme centre avec un rayon F'o = 2<i — Fo,on décrira un second arc. Le point où ces deux arcs se couperont doit appartenir à l’ellipse, car il est évident que la somme de ses distances aux deux foyers sera égale à 2«. En décrivant les^arcs au-dessus et au-dessous delà ligne qui joint les deux foyers on peut obtenir en même temps quatre points de la courbe.

247. Le point A, milieu de FF' se nomme le centre de r ellipse ; toute ligne droite passant par ce point est un diamètre, et se trouve partagée par le centre en deux parties égales.

Le plus grand de tous les diamètres est celui qui contient les foyers; on lui donne le nom de grand axe. Le plus petit, que Ton nomme petit axe est toujours perpendiculaire au grand.

Il est facile de voir que le grand axe est égal à 2«, car pour le point X, extrémité de ce grand axe, on doit avoir, comme pour tout autre point delà courbe, XF-i-XF' = 2rt; mais comme XF = X'F', il en résulte X'F'-l-F'X=2a , ou enfin XX'=2a.

Les distances Fu, F'u, d’un point de la courbe aux foyers, se nomment rayons recteurs , et la distance Au se nomme simplement rayon. On voit que dans l’ellipse tous les rayons ne sont pas égaux. Le plus grand estAX, moitié du grand axe, et le plus petit rayon AY est la moitié du petit axe.

LIGINES COLKBES.

Le cercle est une ellipse dont les deux axes sont égaux et dans laquelle le centre et les foyers se confondent en un seul point.

249. Le second moyen de construire l’ellipse consiste à placer deux épingles aux foyers F et F'; puis, après avoir noué par les deux bouts un fil dont la longueur totale soit égale à 2a plus FF', on tendra ce fil de manière qu’il prenne la forme du triangle FF'^^ , dans lequel les sommets F et F' seront occupés par les deux épingles, et le point u par un crayon que l’on fera glisser en tendant toujours le fil. Il est évident que le contour du triangle étant représenté par la longueur du fil, que nous avons faite égale à 2a plus FF'; et la base FF' de ce triangle ne changeant pas, il restera toujours 2a pour la somme des deux côtés variables , quelle que soit, du reste, la place où l’on conduira le crayon qui occupe le sommet u de ce triangle.

250. Une ellipse étant construite, on peut se proposer de retrouver son centre, ses axes et ses foyers. Pour cela, on mènera deux cordes parallèles us,pq, et la droite passant par les milieux de ces cordes sera un diamètre. Le milieu A de ce diamètre sera le centre de la courbe. Du point A, comme centre, on décrira un cercle de manière à couper la courbe en quatre points qui seront toujours symétriquement placés; puis, abaissant du centre des perjjendiculaires sur les cordes qui joignent ces points deux a deux, on aura les axes de l’ellipse. Enfin, du point \, comme centre, avec un rayon égal à la moitié du grand axe, on décrira un arc de cercle F/^F', qui par son intersection avec le grand axe déterminera les deux foyers.