En combinant les propriétés du cercle avec celles

LIGJNES COUKBES.

(le l’ellipse, on en déduit {Géom.anal.) (.[ue si un cercle et une ellipse (/%• 206) ont un axe commun X'X, et que l’on prenne sur cet axe une abscisse Ajo (238) , on aura toujours : l’ordonnée correspondante pour le cercle est à l’ordonnée de Telbpse comme le grand axe est au petit axe.

De là résultent plusieurs moyens de construire l’ellipse lorsque Ton connaît les deux axes.

252. Du centre de l’ellipse avec des rayons égaux à la moitié des axes, on décrira deux cercles concentriques; on construira par le centre un rayon quelconque A/n, qui coupera le plus petit cercle au point n ; puis construisant mo parallèle au petit axe, et no parallèle au grand , l’intersection de ces deux lignes donnera en o un point de la courbe. En effet, on aura.

mp 1 op \ \ Am : An \\ a \ b ;

ce qui est conforme au principe que nous venons de citer.

253. Mais de tous les moyens de construire les ellipses, le plus commode est celui que nous allons indiquer.

Après avoir tracé les deux axes AX=:a,AY=è( //^. 207) , on prend un morceau de carte que l’on taille bien droit en forme de pelite règle; puis, après avoir marqué sur cette carte et à partir de l’extrémité o , deux grandeurs om=:a.^ on — b, on la fait mouvoir de manière que le point m ne quitte pas l’axe A Y, et que le point// ne qui tte pas Taxe AX. Dans ce mouvement, le point o décrira l’ellipse, de sorte qu’il suffira de marquer avec un crayon un certain nombre des points successivement occupés par le point o.

Cette manière de décrire l’ellipse résulte encore du principe énoncé (251); car si du point ///, comme centre avec un rayon t)io , on décrivait un cercle en prenant pour abscisse mp = AS, on pourrait considérer op comme for-

LIGNES COURBES

donnée du cercle, et oS comme celle de l’ellipse, d’où l’on aurait encore :

op : oS :: om : oti a\ b.

254. Enfin , au lieu de prendre mn égal à la difiérence des demi-axes , on pourrait le faire égal à leur somme , et le point O placé entre les points m et « , décrirait encore l’ellipse.

255. Étant donnés un des axes et un seul point, on peut construire l’ellipse.

Soit donné, par exemple, AX égal à la moitié du grand axe, et le point o appartenant à la courbe, on construira AY perpendiculaire sur AX. On prendra une ouverture de compas égale à AX, et du point o, comme centre, on décrira l’arc dont l’intersection avec AY donnera le point m; enjoignant om, le point n sera déterminé, et la construction se fera comme précédemment.

Diamètres conjugués.

256. Lorsque deux diamètres XX', YY' {Jig. 208) sont tels que les tangentes aux extrémités de l’un d’eux sont parallèles à l’autre , on les nomme diamètres conjugués ; et si on les prend pour axes des abscisses et ordonnées, on dit que l’ellipse est rapportée à ses diamètres conjugués.

257. Construire une ellipse , connaissant ses diamètres conjugués.

Sur l’un d’eux , comme diamètre , on décrira la circonférence XmX', et l’on construira le triangle A//iY dont les éléments sont donnés ; puis, sur une ordonnée quelconque du cercle , on fera un triangle npq semblable et parallèle à mAY : le ])üint q appartiendra à l’ellipse. En reconimençant, on obtiendra autant de points de la courbe que l’on voudra. Cette construction provient de ce que la

LIGNES COÜllBES.

propriété énoncée (251) convient aussi à l’ellipse construite sur ses diamètres conjugués ( Géom. analytique).

Si l’on voulait retrouver le grand axe, il suffirait de joindre le centre avec le milieu de l’arc cX.

Tangentes a L ellipse.

258. Pour construire une tangente à l’ellipse , on pourrait opérer comme nous l’avons indiqué (208) j mais la définition de la courbe et les propriétés qui en sont la conséquence fournissent des moyens plus rigoureux de résoudre ce problème.

259. Construire une tangente à l’ellipse par un point donné sur la courbe.

Le point m étant donné sur la courbe ( /%. 209 ) , on décrira du point A , comme centre , avec un rayon AX égal à la moitié du grand axe, l’arc de cercle X'/z, qui coupera en n l’ordonnée j)assant par le point m ; on construira ( Géorn.) la droite pn tangente à cet arc en n ; et le point où cette tangente ira rencontrer le ])rolongement du diamètre XX' appartiendra à la droite prn.^ qui est la tangente demandée. Cette construction vient de ce si ([ue plusieurs ellipses ont un axe commun, et que par tous les points situés sur la même ordonnée on construise des tangentes, toutes ces lignes doivent concourir en un même point sur le prolongement de l’axe commun. Or, le cercle pouvant être considéré comme une ellipse, la tangente au cercle détermine le point où doit aboutir celle de l’ellipse. ( Géotn. analytique. )

260. Une autre propriété de l’ellipse nous fournit un second moyen de construire la tangente.

Si par un point c de la courbe on mène des droites cX , c\', aux extrémités d’un diamètre, ces droites se nomment

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cordes supplémentaires ^ parce qu’à elles deux elles soustendent la demi-circonférence de Tellipse. Or, on démontre [Qéom. anal.) que si par le point A on construit un rayon Am' parallèle à la corde cX', la tangente au point m' sera parallèle à la corde cX ; de là résulte cette construction.

Le point m' étant donné , on le joindra avec le centre par le rayon Am'; on construira la corde cX' parallèle au rayon Am'. Enfin , la corde supplémentaire cX donnera la direction de la tangente cherchée 5 et comme l’on a déjà un point m' de cette tangente , il sera facile de la construire.

261. Enfin, un troisième moyen de solution résulte de cette propriété , que si en un point m" de la courbe on mène une tangente et les deux rayons vecteurs (24-7) , la tangente fera des angles égaux avec les rayons vecteurs , d’où résulte cette construction.

Après avoir déterminé les foyers F, F', on construira les deux rayons vecteurs Fm", F'm"; on partagera l’angle F'm"F en deux parties égales, ce qui donnera la normale. Enfin , la ligne qm!\ perpendiculaire à la normale , sera la tangente.

262. Construire une tangente à Cellipse parallèlement à une droite donnée.

Soit 05 la droite donnée. On mènera d’abord la corde cX parallèle à la droite os, puis le rayon Am' passant par le milieu de la corde cX déterminera le point de tangence , et par conséquent la tangente, qu’il sera facile de construire, puisque sa direction est donnée.

En prolongeant le rayon Am' on obtiendra sur la courbe un second point de tangence.

263. Construire une tangente a U ellipse par un point donné en dehors de cette courbe.

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Soit O le point donné (/%. 210). De ce point, comme centre , et |)renant pour rayon sa distance à Eun des foyers , on décrira un premier arc bY'c ; de l’autre foyer F, comme centre avec un rayon égal au grand axe de l’ellipse, on décrira un second arc qui coupera le premier en deux points 5, U. On joindra ces points avec le centre du second arc par deux droites dont les intersections avec la courbe seront les points de tangence.

jEn efï’et , le rayon du second arc étant égal au grand axe , on aura

sm! -[- = 2a ;

mais par la propriété de l’ellipse (245) , on a

donc,

Ainsi , le triangle sm'¥' est isocèle ; mais le point o , centre du premier arc , est à égale distance des points s, F'. Donc la droite om' est perpendiculaire à 5F', et partage l’angle 5m'F' en deux parties égales. Donc enfin l’angle om’F' ~pni!F ^ et la droite op faisant des angles égaux avec les rayons vecteurs, est une tangente (2G1). Il en est de même de la droite oq.

Parabole,

264-. La parabole est luie courbe telle que pour chacun, de ces points la distance à une droite nommée directrice est égale a la distance h un point que bon appelle foyer.

Construction de la parabole. Soit {fig, 211) co la directrice, et le foyer F. Pour construire la parabole , on abaissera la perpendiculaire FD, et le point A , au milieu de cetto perpendiculaire, sera un pointde lacourbe. Pour en obtenir d’autres, on construira en un point p quelconque une

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perpendiculaire pm ^ et du point F, comme centre avec un rayon é^al à pD, on décrira un arc de cercle qui coupera la perpendiculaire nip en deux points m, m\ appartenant à la parabole. On recommencera jusqu’à ce que Ton ait un assez grand nombre de points pour construire la courbe.

265. On pourrait aussi construire la parabole par un mouvement continu.

Pour cela, on placerait une règle coïncidant avec la directrice, et prenant une équerre cab , on attacherait* au point b et au foyer F de la parabole , un fil dont la longueur totale serait égale au côté ab. Or, il est évident que si Ton pousse l’équerre avec un crayon dont la pointe serait placée au sommet de langle w, afin de maintenir contre Téquerre Tune des parties bu du fil, l’autre partie iiF de ce fil, qui représente la distance au foyer, sera toujours égale à la distance ua du point u à la directrice; ce qui est conforme à la définition de la parabole.

La droite AX, qui passe par le foyer et qui est perpendiculaire à la directrice, se nomme le grand axe.

Une parabole peut être considérée comme une ellipse dont la distance des foyers serait infinie. Il est évident, d’après cela, que le centre est aussi à l’infini^ ainsi que le second foyer. {Géom, anal.)

266. Une parabole étant donnée, on peut se proposer de retrouver son grand axe.

On construira deux cordes parallèles, et la droite passant par les milieux de ces cordes sera un diamètre; construisant mniL perpendiculaire sur on en prendra le milieu ce qui donnera un point du grand axe que l’on mènera parallèlement à qs.

Gela vient de ce que dans la parabole îous les diamètres sont parallèles. {Géom. anal,)

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Tangentes a la parabole.

267. Si le point de tanj^ence est donné sur la courbe , on construira [ fig. 212) Tordonnée mp passant par ce point j puis portant Kp de A en ^ , ce dernier point appartiendra à la tangente.

Cette construction résulte de ce {pxe dans toute para-hole y la distance qp, que ïon nomme la sous-tangente , est toujours double de V abscisse du point de tangence.

268. Si par le point s , milieu de qm, on mène une perpendiculaire à la tangente , le point F, où cette perpendiculaire rencontrera Taxe AX, sera le fojer de la parabole. Enfin , portant AF de A en D, et construisant la perpendiculaire cD. ou aura retrouvé la directrice.

269. On peut encore, pour construire la tangente, opérer comme il sui t :

On j oindra le foyer F avec le point de tangence, par la droite Fm, et après avoir mené /nF', parallèle au grand axe AX , on partagera l’angle FmF' en deux parties égales par la droite ms qui sera la normale ; il ne restera plus qu’à mener au point m une perpendiculaire sur sm.

Dans cette construction , u/F' remplace le rayon vecteur allant aboutir au second loyer, situé à l’infini , comme nous l’avons dit plus haut.

270. Si l’on voulait mener laie tangente parallèle à une ligne donnée bc , on construirait la corde Kd parallèle à cette ligne , et la droite menée par le milieu de Kd parallèlement à l’axe AX , déterminerait en ut' le [)oint de tangence ; ce qui suffit, puisque la direction de la tangente est donnée.

271. Construire une tangente a la parabole , par un point hors de la courbe.

LIGNES COURBES

Soit O (//g*. 213) le point donné. On décrira de ce point, comme centre, et [)assant parle foyer, un arc de cercle u¥s qui coupera la directrice aux deux points u, s ; on mènera par ces deux points et parallèlement h l’axe AX les droites sm\ um", dont les intersections avec la courbe seront les points de tangence.

Cette construction est analogue à celle que nous avons donné (263) ; la directrice remplace le cercle décrit du second foyer comme centre.

Hyperbole .

272. L’hyperbole ne diffère de l’ellipse qu’en ce qu’au lieu de la somme, c’est la différence des rayons vecteurs qui est égaie à une quantité constante que l’on nomme 2a.