VL. 5L

275. Ici , comme fliïns l'ellipse, toute ligne telle (jue w/ , qui passe par le milieu de deux cordes parallèles , se nomme un diamètre , et le point A , milieu de la ])ortion de ce diamètre comprise entre les points où il coupe la courbe , se nomme le centre. Le diamètre XX', c|ui passe par les loyers, se nomme Vaxe transverse et YY', qui lui est perpendiculaire, se nomme Taxe non-transverse. La portion BB'de Taxe transverse est égale à 2«.

Asymjjlotes.

276. 11 existe dans le plan de toute hyperbole deux droites qui jouissent de propriétés remarquables. Ces droites, AD, AE, passent par le centre tle la courbé et s’en rapprochent sans jamais la toucher, ou, en d'autres termes, elles ne touchent la courbe qu'à l’infini. On leur donne le nom à’ asymptotes .

277. Les asymptotes fournissent un moyen aussi simple qu’élégant de construire une hyperbole lorsqu’on en connaît un point. En elïet,

Soit donné le point s et les deux asymptotes DD',EE'. On construira dans une direction quelconque en passant par le point 5, la sécante pu, et prenant ps , on le ])ortera de U en v ; ce qui donnera le point De même , construisant une autre sécante , on portera st de c en i. En continuant ainsi dans toutes les directions, on aura autant de points que l’on voudra sur les deux branches de la courbe.

278. La courbe élant construite, le centre et les axes pourront être retrouvés comme dans l’ellipe. Pour obtenir les foyers , on décrira un arc du point A , comme centre , de manière à passer par le point h, où l’asymptote est rencontrée par l’ordonnée Bù; les intersections de ce cercle avec l’arc transverse seront les foyers.

LIGNES COURBES

Oii ferait l’opération inverse si l’on voulait construire les asymptotes, connaissant les foyers. [Géoin. anal.)

Tangentes a Vlijjperhole .

279. Les tangentes à l’hyperbole s’obtiennent par les memes moyens que les tangentes à l’ellipse.

Ainsi , par exemple, ni étant le point donné (/%. 215) , on construira le rayon Am, puis la corde B'c parallèle à ce rayon , enfin la corde supplémentaire cB, qui sera parallèle à la tangente et qui en déterminera la direction.

280. On peut encore, pour obtenir la tangente en un point donné de l’hyperbole, construire pm parallèle à l’asymptote; puis faisant Ao = 2Ap, le point o app.irtienrlra à la tangente. Cette construction provient de ce que , dans toute hyperbole , si l’on construit une tangente, le point de tangence doit toujours occuper le milieu de la portiOri de la tangente comprise entre les asymptotes ( Géoin. anal. )

281. Enfin, on peut encore construire la tangente en un point donné in\ en construisant les deux rayons vecteurs FW, Fm', et partageant l’angle que ces rayons font entre eux, en deux parties égales.

282. Pour construire une tangente parallèle à une ligne donnée ts , on mènera d’abord la corde Bc parallèle à cette ligne , puis le rayon Am passant pàr le milieu de la corde Be déterminera en ni le point de tangence , et comme l’on connaît la direction de la tangente, il sera facile de la construire.

283. Construire une tangente a l' hyperbole par un point pris en dehors de cette courbe.

Soit O le point donné. De ce point, comme centre, on flécrira un jiremier cercle passant par l’un des loyers F. De

LIGNES COUEBES.

l’autre foyerF', comme centre avec un rayon égal «à B'B=2a, on décrira un second cercle , et l’on joindra par deux droites les points d’intersection de ces deux cercles avec le foyer qui a servi de centre au second cercle; les points où ces droites rencontreront la courbe, seront les points de tangence.

28^. La similitude entra les constructions précédentes et celles que nous avions indicjuées plus haut pour l’ellipse est une conséquence de l’analogie qui existe entre les propriétés des deux courbes ( Géom, anal.)

285. Il existe encore un grand nombre de courbes, que Ton peut construire graphiquement au moyen de leur définition géométrique.

Je me contenterai , pour le moment , de quelques exemples remarquables parleur propriétés.

Cycloïde,

286. Si Ton fait rouler la circonférence A 217, PL 52), sur la droite 1 — chacun des points de cette circonférence décrira une cycloïde.

Pour tracer la courbe parcourue par le point 1 , on partagera la circonférence du cercle mobile en parties égales, que l’on portera sur la droite directrice 1 — 1^, qui, par conséquent, sera égale au développement de la circonférence du cercle A.

Cela étant fait, si nous supposons que le point 5 de la circonférence mobile soit arrivé au point 5', le point 1, générateur de la courbe, se sera élevé jusc^u’à la hauteur à laquelle sc trouvait le point 5, avant le commencement du mouvement. De sorte cjue le point l' sera déterminé par l’interseclion de l’horizontale 5 — F avec la circonfél'cncc qui louche la directrice au point 5'.

LIGNES GOUREES.

Par la meme raison , le point 1" sera déterminé par Eintersection de Thorizontale du point 6 avec la circonférence qui touche la directrice au point 6', etc.

287. Les points 1 et sont deux points de rebroussement à droite et à gauche desquels le point 1 engendrera d’autres branches de cycloïdes égales à la première.