Les trois courbes 1 — i”' — U, nn'"n^ peu

vent se construire en meme temps. Ainsi , lorsque le centre du cercle mobile sera parvenu au point o'\ on tracera le rayon o" — l" sur lequel on portera 1" — m" égal à 1 — //i, et \ " — n!' égal à 1 — n. Le point m” appartient à la cycloïde rallongée et le point n" à la cycloïde raccourcie.

Tangentes a la cjclo'ide.

291. Lorsque le cercle mobile devient tangent au point 12', le point générateur 1*^ se meut pendant un instant infiniment petit, comme s’il tournait autour du point 12', d’où il résulte que la droite aç perpendiculaire au rayon 12' — 1*^ sera également tangente à la cycloïde.

292. Les mêmes raisons permettront de construire les deux droites a!c\ a"c'' tangentes aux cycloïdes rallongées et raccourcies, parce que le point 12' peut être considéré comme le centre de trois arcs de cercles infiniment petits tangents aux trois courbes 1 — i'" — U,

LKiNES COUJUiES.

293. Il ne faut pas conclure de ce qui précède que la droite 1'^ soit le rayon de courbure de la cycloïde au point 1*'^. Le cercle vV'^a est tangent à la courbe, mais il ne faut pas le confondre avec le cercle osculateur, qui doit avoir un rayon double de 12' — En effet, décrivons la circonférence A"égale au cercle Agénérateur de la cycloïde, prolongeons — 12' jusqu’au point 17, et traçons la corde 18 — 17, l’angle 12' — 17“— 18 sera droit.

Or, si nous supposons que l’on fasse rouler le cercle A" sur la droite 18 — 19 parallèle à 1' — 16', le point 17 engendrera une cycloïde égale à celle qui était engendrée par le point 1 du cercle A. 11 y aura seulement cette différence que le point de rebroussement de la cycloïde 19 — l’usera sur la perpendiculaire élevée au milieu de l' — ^1^.

L’angle 12' — 17 — 18 étant droit, puisqu’il est inscrit dans une demi- circonférence , la droite l*'^ — 17, normale àla cycloïde 1 — l''" — V, sera tangente à la cycloïde 19 — 17 — 1^, et par conséquent la seconde de ces deux courbes sera la développée de la première (210) ; la droite 1‘^ — 17, double de — 12' sera le rayon de courbure au poin l''", et le point 17 sera le centre du cercle osculateur.

294. On peut encore conclure de ce qui précède (210) que la droite 19 — l'" est égale au développement de l’arc 19 — V, de sorte qu’en doublant cette droite 19 — l'", on aurait la longueur totale de l’arc 1 — 1'" — 1'^, qui , par conséquent, est exactement égal à 4 fois le diamètre du cercle mobile A. <

295. Pour mener une tangente à la cycloïde par un point extérieur ou parallèlement à une droite donnée , on emploiera les moyens indiqués aux n®®229 , 233; ce qui sera d’autant plusexact, que la construction ci-dessus détermine les normales auxiliaires avec la plus grande précision.

LIGNES COÜilJiES.