T^orsijue le rayon du cercle mobile est exactement

HO LIGNES COURBES. PL. 32-

la moitié du rayon du cercle directeur, l’épicycloïde intérieure devient un diamètre de ce dernier cercle.

En effet , nommons R le rayon du cercle directeur B {fig. 221 ) , et r le rayon du cercle mobile A , et supposons que ce dernier cercle soit parvenu en A', on aura

arc «G :

27rR : angle a : h angles droits.

arc ac :

271/’ :: angle a : 4 angles droits.

Mais

de plus ,

Par conséquent ,

27rR=:47T/’.

On aura donc

aOt I kvir ; : a I 4 ac : 271/’ :: 2a : 4.

De là on tire

4aG = 4Tr/’a , kac =47T/’a.

Donc ,

arcaG = arcac.

Ainsi, quand le cercle mobile touchera le cercle directeur au point a, le point G sera parvenu en c, et par conséquent il n'aura pas quitté le diamètre CD.

306. La droite 1 — 1” (/%. 220) est engendrée par le mouvement du point 1 , lorsque Ton fait rouler le petit cercle A dans le cercle double B.

La courbe mm'm'' est engendrée par le point m, et la courbe nn!n" par le point n.

Spirales.

307. Si un point tourne autour d'un autre en s’éloignant ou se rapprochant de ce dernier point, la courbe engendrée est une spirale. La quantité dont le point géné-

LIGNES GOUREES.

rateur s’éloigne ou s’approche du centre pendant une révolution, la régularité ou l’accélération de ce mouvement suivant certaines, lois déterminées peuvent donner lieu à une infinité de spirales différentes. Nous ne parlerons ici que de la courbe engendrée ]jar un point qui se rapprocherait à chaque instant d’une quantité proportionnelle aux espaces angulaires parcourus ; ou autrement nous supposerons que le point générateur se meut uniformément sur une droite ac, pendant cjue cette ligne parcourt des espaces angulaires égaux, en tournant autour de l’une de ses extrémités; ainsi, par exemple, on veut construire {Jig> 223) la courbe parcourue par le point a, qui tournerait autour du point c, dont il se rapprocherait, à chaque révolution, d’une quantité lik 222). Cette courbe est connue sous le lîom de spirale d' Archimède.

308. Construction de la spirale. On fera (/%. 223) ao égal à hk , puis, après avoir partagé ao en parties égales, en 8 par exemple, on tracera les 8 rayons c — l,c — 2, c — 3, etc. , faisant entre eux des angles égaux.

Ensuite , du point c , comme centre , on décrira un arc de cercle par chacun des points de division de la droite ao.

Les intersections de ces arcs de cercles avec les rayons c — 1 , c — 2, c — 3 détermineront tous les points de la première révolution de la courbe demandée.

On opérera de la même manière pour la seconde et pour la troisième révolution.

309. La tangente mu , pouvant toujours être considérée comme le prolongement d’un élément infiniment ])etit de la courbe, sera l’hypoténuse d’un triangle rectangle mnu , dont la base mn doit être à la hauteur nu comme le développement du cercle , qui contient le point de tangence m , est à la quantité hk^ ou comme telle partie que l’on vou-

(Ira (lu cercle mm' est à une partie correspondante de la droite hh.

Ainsi, par exemple, si on fait égale à | de la circonférence mm' J il faudra faire nu égal à | de hh.

310. Si on fait le triangle rectangle rncx semblable au triangle mnu, la droite xm sera normale au point m.

311. Enfin , en construisant plusieurs normales et opérant, comme nous l’avons dit , aux n®® 229 , 233, on pourra toujours construire des tangentes par un point extérieur ou parallèlement à telle ligne donnée que Ton voudra.