SURFACES CYLINDRIQUES

312. Nous avons , dans les livres précédents, résolu les questions principales qui dépendent du plan. Nous allons étudier actuellement les propriétés des surfaces courbes.

Si on jette un coup d’œil sur les différents produits de l’industrie, les formes des corps terminés par des surfaces courbes paraissent variées d’un si grand nombre de manières, qu’il semble au premier abord difficile de reconnaître les projiriétés particulières à chaque espèce.

Mais, en procédant avec méthode, on peut facilement déduire toutes ces propriétés d’un petit nombre de principes généraux.

313. La première et la plus essentielle des surfaces courbes que nous allons étudier est celle à laquelle on donne le nom de cylindre.

11 ne faut pas attacher à ce mot le meme sens que dans la géométrie élémentaire; en elFet, dans cette partie des mathématiques, un cylindre {Jig. 22G, PL 33) est un

CYLIiM)RE.

corps ou solide engendré par un rectangle acv^ii, que Ton ferait tourner autour d’un de ses cotés ac , tandis que, dans la géométrie descriptive, on donne le nom de cylindre {fîg‘ 2ï>4) à la surface engendrée par une droite ac qui se meut parallèlement à ellemiéme; quelles que soient, du reste, les conditions qui déterminent le mouvement de cette droite , que l’on nomme la génératrice du cylindre.

314. On peut toujours supposer c^ue la génératrice est assujettie à s’appuyer constamment sur une courbe quelconque du y que l’on nomme la directrice.

315. Ainsi la nature du cylindre dépendra principalement de la forme de sa directrice , et l’on conçoit que si cette courbe était remplacée par une ligne droite, le cylindre deviendrait un plan; ce qui autorise à considérer le plan comme un cas particulier parmi les surfaces cylindriques.

Cette analogie entre le plan et le cylindre est une des relations qui nous seront le plus utiles. C’est pourejuoi je vais tâcher de mettre en évidence les propriétés communes à ces deux surfaces.

Si nous supposons que l’on conserve comme constante la génératrice ac d’un cylindre ( /%. 225), mais que l’on augmente graduellement le rayon de courbure de la directrice cette courbe deviendra successivement d\t.^d!u' ; et lorsque le rayon de courbure sera inlini , la directrice primitive se transformera en une droite d"'u"\ et la surface cylindrique en un plan pu'".

Si on change le sens de courbure de la directrice, on obtiendra le cylindre d'''ié''.

Tous ces dilférents cylindres se touchent et sont touchés par le plan pu'" suivant la génératrice commune

C’est pourquoi nous donnerons dès à présent au plan pu'" le nom de p!a/i tangent.

316. Il semblerait résulter de ce que nous venons de dire qu’un plan tangent à un cylindre ne doit avoir qu’une droite commune avec cette surface.

Cette définition du plan tangent ne serait pas exacte pour plusieurs raisons.

D’abord, la directrice d’un cylindre pouvant avoir un grand nombre de sinuosités , un plan qui toucherait ce cylindre suivant une génératrice ac [fig* 227) pourrait encore le couper suivant d’autres droites a'c' .

Ensuite , la condition de n’avoir qu’une droite commune avec un cylindre pourrait tout aussi bien convenir à un plan coupant pq {fig> 229).

Il faut donc tâcher de trouver, pour le plan tangent au cylindre, une définition plus complète.

Supposons [fig> 228) que le cylindre A soit coupé par un plan pq parallèle à sa direction , la section se composera des deux génératrices ac, a!c\

Or, si nous faisons tourner le plan pq autour deaV, la droite acse rapprochera de a'c' sans cesser de lui être parallèle; et lorsque les deux génératrices ac,a'c seront réunies en une seule , le plan pq sera devenu p'q', et , dans cette nouvelle position, il sera tangent au cylindre.

Nous serons donc conduits à dire qu’un plan tangent à un cylindre est CQ\m (\nï coniicni deux génératrices réu~ nies en une seule , ou, ce qui est la même chose, deux génératrices dont la distance est nulle.

317. Au lieu de faire tourner le plan pq autour de la génératrice a'c', on aurait pu le faire mouvoir parallèlement à lui-même ou de toute autre manière , mais on serait toujours arrivé à cette conséquence que le plan deviendra tangent aussitôt que les deux lignes de section ac, a'c' seront réunies en une seule.

CYI.IWDIIE.