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318. Il semblerait, au ])rcmier abord, qu’au moment où ces deux génératrices sont réunies, on doit les considérer comme n’en faisant qu’une. Il est vrai que les deux droites qui se sont ainsi rapprochées n’occupent pas plus de place qu’une seule; mais cependant il est très-essentiel de distinguer une génératrice simple ou une génératrice de section, telle que ac (/%. 229), d’une génératrice de tangence que l’on pourra nommer génératrice double , puisque l’on peut toujours supposer qu’elle résulte du rapprochement de deux génératrices de section , et l’on devra se rappeler qu’il existe entre ces deux lignes cette dilïérence très-grande, que la génératrice de section ne suffit pas pour déterminer la direction du plan coupant, qui, tournant autour de cette droite, peut prendre une infinité de positions différentes ( /%■ 229) , tandis que la position du ))lan U\u geni p' q' {Ji g . 228) sera déterminée par la génératrice de tangence dd , puisqu’il ne pourrait pas tourner autour de cette ligne sans devenir un plan coupant, ce qui dédoublerait aussitôt la génératrice de tangence et la décomposerait en deux génératrices de section a!c',a"d\ qui s’écarteraient l’une de l’autre à mesure que le plan se rapprocherait de la position pq.

319. On peut encore étie conduit aux conséquences précédentes en supposant que le cylindre soit coupé par un plan quelconque pq (/%. 230), que l’on ferait ensuite tourner autour d’une droite mn tamrente à la courbe de

section ac , cette courbe deviendrait alors successivement ac',c"ac'\ en s’allongeant toujours à mesure que le plan sc rapprocherait de la direction du cylindre, et iorscju’il aurait atteint cette direction , les deux brancbes„de la courbe seraient réunies en une seule et formeraient alors la géné[atrice de tangence ac'" .

Enfin, on peut encore supposer que le cylindre est un prisme dont le nombre des faces serait infini.

Dans cette dernière lîy])Othèse [fig. 231) le plan tangent sera le prolongement de Tune des faces du prisme, et la largeur de cette face devant être considérée comme nulle, les deux arêtes cc, c'c' infiniment rapprochées formeront la génératrice de tangence.

320. Concevons ( fig. 232) une courbe quelconque aa'm située sur le cylindre A , et joignons par une sécante les deux points a et a! , suivant lesquels cette courbe serait coupée par un plan quelconques^ parallèle au cylindre. Si nous faisons tourner le plan pq pour le ramener dans la position p'q' le point a se rapprochera du point a\ et lorsque le plan sera tangent , les deux points a et a' seront réunis; la droite aa! aura pris la position mn et sera située dans le plan tangent p'q' •

Ainsi, le plan tangent p'q' contiendra la droite mn tangente au point o! à une courbe quelconque située sur la surface du cylindre; de sorte que la construction du plan tangent se réduit à faire passer un plan par les deux droites cc\ mn.

La courbe ao! , m pouvant être prise arbitrairement , il en résulte que le plan tangent au cylindre contient toutes les droites qui toucheraient la surface en un point quelconque de la ligne c'c'.

Cylindre projetant. Courbes à double courbure.

321. La première application que nous ferons des surlaces cylindriques aura pour but de déterminer les projections des lignes courbes.

Soit ABCD {fig. 233, PI. 54) courbe quelconque située dans l’espace. Si de chaque point de cette courbe

on abaisse une perpendiculaire sur le plan de projection P, la courbe ahccl^ qui contient les pieds de toutes ces ])erpendiculaires , sera la projection de la courbe.

La surface qui contient toutes les perpendiculaires Ka, etc., se nomme cylindre projetant. La courbe abed. trace du cylindre proietant, est la projection de la courbe ABCD.

Une seule projection ne suffit pas pour déterminer une courbe dans l’espace, car il est évident que la projection ahcd serait la projection commune à toutes les lignes courbes tracées sur la même surface projetante.

322 . Il résulte de ce que nous venons de dire , que pour déterminer la grandeur et la position d’une ligne courbe dans l’espace , il faut la projeter sur deux plans, car alors chacun de ses points étant déterminé de position , la courbe elle-même sera déterminée.

323. La projection verticale d’une courbe est la ligne qui passe par les pieds de toutes les per{)endiculaires abaissées des difïérents points de'celte courbe sur le plan vertical , et la projection horizontale est la ligne cjui contient les pieds de toutes les perpendiculaires abaissées sur le plan horizontal.

324. Soit {fig. 234) dUc'â'df'gliilx la projection verticale d’une courbe (juelconque, et ahcdej'ghdx six projection horizontale , il est évident (jue la courbe sera déterminée dans l’espace, car devant être en même temps dans les deux cylindres projetants dont les lignes données sont les traces, elle sera l’interseclion de ces deux surfaces et participera de la courbure de chacune d’elles.

C’est pour cette dernière raison (pue l’on donne à ces courbes en général le nom de courbes a double courbure.