Construction de la normale. Je dirai de la nor

male ce que je viens de dire de la tangente. Toute ligne droite passant par le point de tangence et perpendiculaire à la tangente , n’est pas nécessairement une normale. Il faut encore pour cela qu’elle soit dans le plan de la courbe , si cette courbe est plane, ou dans le plan osculateur, s’il s’agit d’une courbe à double courbure. Donc, si l’on veut ob{enir la normale au point {in,ni') de la courbe à double courbure {a.,a'){fig. 238), on choisira deux autres points {n,n') Çu, u') sur la courbe et à peu de distance du point donné (m, m') ; puis après avoir construit les trois tangentes {uu, {sm^ s’ né] , (on, o'ré)^ on déterminera les

points où ces tangentes percent le plan horizontal,

et l’on fera passer une courbe par ces points. Or, il est évident que si les trois points (ua'), [mm'), (///d), étaient infiniment près l’un de l’autre, les trois tangentes pourraient être considérées comme dans un même plan qui serait le plan osculateur, et la ligne uso serait droite et se confondrait avec sa tangente sz. Donc, en construisant cette tangente, on j)ourra la regarder comme la trace du plan osculateur en {mm').

Faisant tourner ce plan autour de sa trace sz pour le rabattre sur le plan horizontal de la ]>rojection, le jioint de tangence {mm') viendra se placer en m". La tangente sera représentée dans le rabattement par sm". On lui mènera la perpendiculaire m"z qui sera la normale rabattue sur le

plan horizontal. En faisant revenir le plan osculateur à sa place , le point ( zz') ne bougera pas , et les deux projections de la normale seront {zm, z'ni').

333. Courbes planes inclinées par rapport aux plans de projection. Dans tout ce que nous venons de dire sur la projeclion des courbes, nous avons supposé, pour plus de généralité , qu/il s'agissait d'une courbe à double courbure ; mais si la courbe était plane , et qu’on le sut d’avance, on pourrait souvent rendre les constructions plus simples en prenant (/%. 239) Tun des plans de projection perpendiculaire au plan de la courbe. Au moyen de cette précaution, l'une des ])rojections de la courbe se confond avec la trace du plan cjui la contient, et qui, dans ce cas, devient l’une des surfaces projetantes. Ainsi , le plan de la courbe {ahc.céyc') étant perpendiculaire au plan horizontal , sa projeclion sur ce plan sera la droite ac.

Si l'on voulait avoir la courbe dans sa véritable grandeur, on ferait tourner le plan qui la contient autour de sa trace verticale ^ et l'on obtienrlrait a!'h"c" . Les droites {db',db") sont la projection verticale et le rabattement d’une tangente dont la projection horizontale se confondrait avec celle de la courbe.

33Y. Les deux projections d’une courbe étant données., reconnaître si cette courbe est plane.

11 est évident que toute courbe qui se projette en ligne droite est nécessairement une courbe plane.

Prenant sur la courbe {fig. 240) deux points {aa\ oo') situés, pour plus de simplicité, sur une même droite horizontale, et construisant le plan vertical p perpendiculaire sur cette horizontale, on cherchera la projection de la courbe sur ce plan ; si cette projection est une ligne droite, on pourra en conclure que la courbe est plane;

CYLIJNDIIE.

car il est évident (|iie toute courbe qui se projette par une lignedroiteestnécessairenient situéedans le plan projetant dont cette li^ne est la trace.

11 est bien entendu que cette manière de reconnaître si une courbe est plane n’est pas rigoureusement exacte , et qu’elle ne doit être emj)loyée que dans le cas où l’on serait privé de moyens plus rigoureux résultant de la définition géométrique de la courbe donnée.

Je terminerai ce sujet par l’élude des propriétés de Tune des courbes les plus utiles que l’on puisse tracer sur un cylindre.

Hélices.

335. Lorsqu’une courbe coupe toutes les génératrices d’un cylindre suivant le même angle, on lui donne le nom éi hélice.

On peut dire encore que l’hélice est engendrée par un point qui s’éloigne à chaque instant d’un plan perpendiculaire au cylindre, d’une quantité proportionnelle à l’arc parcouru par sa projection sur ce plan.

Ainsi , par exemple , si nous supposons que le cylindre A ( fig. 241 , PL 35) soit perpendiculaire au plan horizontal , l’hélice «2, a! Cl!" serait engendrée par le point aci cjui s’élèverait à chaque instant d’une quantité proportionnelle à l’arc de cercle parcouru par la projection horizontale a.

336. La distance rt'a” entre deux intersections successives delà courbe avec la même génératrice se nomme le pas de rhélice, et la portion de courbe correspondante à une révolution entière se nomme une spire.

337. La section droite du cylindre est une liélice dont le pas est égal à zéro.

338. Les hélices se distinguent par la nature de la section droite du cylindre sur lequel elles sont tracées. Lorsque

celte section est un cercle., on dit que l’hélice est à hase circulaire.

339. Construction de ïhélice. Supposons que la circonférence a — h — soit la base ou projection horizontale d’une hélice dont le pas serait clo!' ^ on partagera cette droite et la circonférence a. — k — 1 k en un même nom])re de parties égales , en 16 par exem pie ; on tracera ensuite une horizontale par chacun des points de division de la verticale a!a" .

Si on suppose actuellement que le point générateur, partant de aa\ tourne dans le sens de l’arc 1 — % — 3, etc., il est évident que lorsqu’il sera parvenu sur la verticale du point 1, il sera élevé, au-dessus du plan horizontal , d’une quantité égale à la seizième partie du pas, et sa projection verticale devra , par conséquent , se trouver sur la première horizontale au-dessus de la ligne AZ.

Lorsque le point générateur sera parvenu sur la verticale du point 2 , sa projection verticale sera élevée de 2 seizièmes du pas, et sera sur la deuxième horizontale, etc.

De sorte que tous les points de la projection verticale de la courbe seront déterminés par les intersections des verticales élevées parles tO [)oints de division delà circonférence a — k — ik avec les horizontales passant par les 16 points de divisions de la verticale a' a!'.

340. Il résulte de la définition que nous avons donnée au n" 335 que , dans le développement du cylindre qui contient l’hélice, cette courbe se transforme toujours en une ligne droite.

La figure 242 est le développenijent de la moitié du cy^ lindre A.

341. On peut se servir avec avantage de ce développement pour construire la projection de la courbe. En elïet ,

CYLINDKE.

PL. 5i'i.

si le pas de riiélice était peu considérable, il serait diiïicilc de parlager avec beaucoup d’exactitude la verticale a'a”. Dans ce cas, on commencerait par construire l’oblique que l’on partagerait en 8 f^arties égales, et les points de division de la courbe seraient alors déterminés par les intersections des verticales élevées par les points de division delà circonférence a— 4 — 14 avec les horizontales passant par les points de l’oblique a}^c' ,

342. Lorsqu’on prend ainsi une oblique pour échelle de hauteur , il n’est pas nécessaire que la droite cû'^a’ soit égale au développement de la circonférence a — 4 — -14. Il suffit cjue la verticale aV soit égaie à la hauteur de la partie de l’héÜce que l’on veut projeter. De sorte que si nous avions fait égal à a!a'\ les 16 parties égales de l’oblique auraient déterminé les hauteurs des 16 points correspondants de la première spire.

343. Lorsqu’une hélice se compose d’un très -grand nombre de spires, on peut construire avec beaucoup de soin ( Jig. 246 ) la projection de l’une de ces courbes sur une carte que l’on découpera, et qui, étant reportée à toutes les hauteurs, servira pour guider le crayon.

Ofi pourra se contenter de la moitié d’une spire , parce que le même profil étant retourné servira pour construire les parties vues et celles qui sont cachées.

Enfin, lorsque l’on veut tracer un arc d’hélice sur un cylindre , il suffit de déterminer 247) deux points m et 11 de la courbe demandée; après quoi il sera facile de la tracer avec une règle flexible <à laquelle on fera prendre la courbure de la surface.

Quoique deux points suffisent, dans ce cas , ])our déterminer la courbe, on fera bien cependant de tracer sur le cylindre un ou deux points intermédiaires pour servir comme vérification.

3Y'i. Il arrivera souvent par la suite que Ton ait à tracer sur un meme cylindre [fi§- 2Y1 ) plusieurs hélices Je même pas, mais situées à des hauteurs dilférentes. Dans ce cas, il ne sera pas nécessaire d’établir sur la projection du cylindre de nouvelles horizontales, ce qui ferait confusion. Il sera préférable de porter avec le compas, sur la verticale projetante de chaque point, la dilîérence de hauteur entre la première hélice et celle que Ton veut obtenir.

3Y5. Si on veut construire plusieurs hélices de même pas et à la même hauteur sur des cylindres concentriques ( fi^. 2Y3), on relèvera les points sur les horizontales correspondantes.

Tangentes à 1 hélice.

3Y6. On sait que , dans le voisinage du point de tangence , une courbe se confond toujours avec sa tangente. De plus, riiélice devant se développer en ligne droite, elle devra, dans le développement du cylindre, continuer à se confondre avec sa tangente.

D’où il résulte que la tangente coïncidant avec la courbe développée doit être l’hypoténuse d’un triangle rectangle, dont la hauteur est à la base comme le pas de riiélice est au développement de la circonférence du cercle qui en forme la projection , ou , ce qui est la même chose , comme un certain nombre de parties égales du pas esta un pareil nombre de parties égales de la circonférence de la base.

3Y7. Supposons donc que l’on veuille construire une tangente au point lY' de l’hélice a' a'” [ fig. 24-1 ) , on construira d’abord la tangente ik — ni.

Cette droite sera la trace horizontale du plan tangent au cylindre qui contient l’hélice , de sorte ejue si on fai 1 14 — ni égal à L de hi circonférence , et que 1 Y' — u soit égal à — pas de l’hélice, la verticale nini déterminera le point ni ,

PL. 55. CVLINiilVK. 157

et riiypotéiiuse \ h‘ — m' sera la projection verticale de la tangente au point Ih'.

Dans ] a figure 245, a!ni est la tangente au point aa! \ a' U est égal à | du pas , et l’horizontale uni vaut |de la circonférence de la base.

348. Il résulte de ce qui précède qu’il n’est pas nécessaire que la courbe soit tracée, pour que l’on puisse construire sa tangente.

349. Si l’on prévoit le cas où il serait nécessaire de construire un granrl nombre de tangentes à une meme hélice , on pourra construire ( Jig. 244) la courbe a — 9 — 12', qui est la développante de la circonférence du cercle a — 10 — c" (213). Cette courbe contiendra les traces horizontales de toutes les tangentes à l’hélice.

De sorte que, pour construire l’une quelconque de ces tangentes, celle, par exemple, qui toucherait l’hélice au point 10'".

On tracera :

1° La droite 10 — 10', perpendiculaire au rayon c — 10, et qui sera par consécjuent la projection horizontale de la tangente demandée 5

2° La verticale 10' — 10", qui déterminera le point 10" sur la ligne AZ ;

3° La droite 10" — 10'", qui touchera l’hélice au point 10'".

350. La meme courbe pourra servira construire les langentes à toute autre hélice de meme pas , et qui serait située sur un cylindre d’un rayon plus petit ou plus grand.

Ainsi, par exem[)le, pour construire la tangente au point 13'",

On tracera :

l°La tangente 13 — 13' parallèle à 10 — 10';

2” La droite c— *10', qui déterminera le [)oint 13';

3° La verticale 13' — 13";

4° Enfin, la tangente demandée 13" — 13'".

En effet, les deux tangentes 10 — 10', 13 — 13' sont entre elles comme les rayons c — 10, c — 13. Or, la droite 10 — 10' étant le développement de l’arc c"10 , il' s’ensuit que 13 — 13' sera le développement de l’arc c'l3 ; ce qui s’accorde avec ce que nous avons dit au n° 346.

On remarquera encore que l’on doit avoir

Or, si on ne prend que les rapports extrêmes, on aura :

Donc les horizontales c' — 10", 0'" — 10'" étant coUj)ées en parties proportionnelles par les deux tangentes 10" — 10'", 13" — 13'". Ces lignes doivent se rencontrer sur le prolongement de l’axe commun aux deux cylindres.

Projection du cylindre oblique.

351. Dans les articles précédents nous avons considéré les cylindres comme surfaces projetantes, nous allons actuellement étudier ces sortes de surfaces sous un point de vue plus général.

Une surface cylindrique est déterminée lorsque Ton connaît les projections de la directrice et celles d’une génératrice ou d’une droite quelconque qui lui serait parallèle.

Supposons, par exemple, que les deux courbes j — 3 — 5 — 7 [Jlg- 248, PL 56) soient les deux projections de la directrice d’une surface cylindri(|ue. On prendra sur cette ligne un certain nombre de points», et les droites menées par ces points , parallèlement à la direction donnée «c, a'c', seront le^génératnces de la surface proposée.

Dans les questions composées ,' il est souvent nécessaire

(le conslruirc un grand nombre de génératrices , et dans ce cas, pour plus (Lordre dans le travail, on les distingue l^ar des numéros.

Il ne faut pas, cependant , construire de suite et sans nécessité un trop grand nombre de génératrices. Il n’est pas nécessaire, par exemple, que ces lignes soient aussi rapprochées les unes des autres dans les parties où la surface a peu de courbure ; mais on fera bien de tracer au moins au crayon celles qui correspondent aux points les plus essentiels de la surface.

Ainsi, dans l’exemple qui noüs occupe, ou devra s’attacher surtout à déterminer avec exactitude :

1® Les génératrices qui passent par les points ! et 7, et qui forment les limites de la surface cylindrique.

2° La génératrice du point 5 , suivant laquelle la surface du cylindre est touchée par un plan vertical. Cette génératrice forme la limite de la projection horizontale du cylindre.

3" La génératrice du point 2 , suivant laquelle la surface serait touchée par un plan perpendiculaire au plan vertical de projection. Cette génératrice forme la limite de la projection verticale du cylindre.

4® On devra chercher aussi à donner toute l’exactitude possible aux projections du point 3, suivant lequel la directrice du cylindre est touchée par un plan perpendiculaire à la ligne AZ.

352. On pourra simplifier le travail en choisissant de préférence les génératrices cjui auraient une projection commune.

Ainsi, par exemple, la projection verticale de la génératrice qui contient le point 1 servira en même temps pour celle qui contient le j)oint 4, etc.

IGO

CYLTNDRE.

Parties vues et cachées.

353. La nature particulière des surfaces cylindriques que Eon emploie dans l’industrie permettra presque toujours de reconnaître au premier coup d’œil quelles sont les parties de ces surfaces qui doivent être vues et celles qui sont cachées ; mais , lorsqu’il y aura incertitude , on pourra opérer de la manière suivante :

Supposons que la surface donnée soit coupée par un plan pq parallèle au cylindre , et perpendiculaire au plan vertical de projection. On obtiendra pour sections les deux génératrices des points 1 et 4, et la 2® de ces droites étant plus près du plan vertical que la première , elle sera derrière la partie de la surface qui contient la génératrice du point 1.

Il suffira souvent d’une ou deux opérations de cette espèce pour reconnaître toutes les parties vues et cachées.

Nous avons supposé ici que l’gn a supprimé toute la partie de la surface cjui est au-ciessus de la directrice , et que l’on n’a conservé que ce qui est compris entre cette courbe et le plan horizontal de projection.

Il résultera de là que toutes les génératrices cjui s’appuient sur l’arc 7- — 5 seront vues sur la projection horizontale depuis cet arc jusqu’à l’arc 5 et 1 , à partir duquel elles passent au-dessous de la surface.

Les génératrices qui s’appuient sur l’arc 5 — 1 seront vues entièrement sur la projection horizontale.

Des considérations du même genre feront reconnaître les parties vues et cachées de la j^rojection verticale.

Ainsi sur cette projection, les génératrices qui s’appuient sur l’arc 1 — 2 seront vues entièrement, tandis cjuc celles qui s’appuient sur la courbe 2 — h seront cachées, l^hifîn , les génératrices qui s’appuient sur l’arc k — 7 seront vues.

CYLllNDRE.