PL, 5G

On reconnaît pourquoi il est essentiel, comme nous l’avons (lit plus haut, de déterminer avec le plus de précision possible les génératrices des points 2 , 5 , 7 et 1 , puisque ces lignes forment les limites des parties vues et cachées sur la projection du cylindre.

La construction exacte de ces points dépend des principes qui ont été exposés aux n®® (233 , 234).

354. Quoique nous ayons supposé la surface terminée dans sa partie supérieure par la courbe 1 — 5 — 7, qui lui sert de directrice , il vaudra mieux, en général , admettre que les génératrices d’un cylindre sont infinies, de sorte que toute surface cylindrique sera elle-même infinie , et les parties de ces surfaces terminées par des lignes ou composant la limite des corps ne seront considérées que comme des portions de cylindres.

.Si la directrice est une courbe infinie , le cylindre sef'a infini suivantses fieux dimensions ; mais si la directrice était une courbe fermée ou terminée par deux points , le cylindre ne serait infini que dans la direction de ses génératrices.

Traces du cylindre.

355. Toute surface cylindrique étant infinie doit, en général , se prolonger au delà des plans de projection.

Or, si , après avoir construit un assez grand nombre de génératrices, on détermine les traces de chacune de ces lignes (45) , les courbes passant j)ar tous ces ])oints seront les traces du cylindre. Ainsi :

La courbe 1' — 5' — T est la trace horizontale et la courbe l” — 5" — T' est la trace verticale du cylindre donné.

356. Nous avons supposé (351), pour plus de généralité, que la directrice du cylindre était une courl)e (|uel» conque; mais, dans les applications, on prend presque

162 CYLmmiE. PL. 56.

toujours pour directrice une courbe parallèle à l’un des plans de projection.

Ces sortes de courbes sont égales et parallèles aux traces , et se construisent de la même manière. Ainsi , par exemple, pour obtenir la courbe l'" — S"'- — il suffira de projeter tous les points suivant lesquels le plan horizontal coupe les génératrices du cylindre.

357. En prenant pour directrice la trace du cylindre ou une courbe parallèle à cette trace, on n’ôte rien de la généralité des principes que nous allons exposer.

Il est facile de concevoir, en effet, que la surface du cylindre sera toujours la même , tant que la courbe employée comme directrice sera située tout entière dans cette surface, et qu’elle sera coupée par toutes les génératrices. Or, les traces jouissent essentiellement de cette propriété.

Ainsi, quelle que soit la nature d’un cylindre donné, on pourra toujours construire l’une de ses traces ou une section parallèle à cette trace, et remplacer la directrice primitive par la section obtenue.

358. Le plan qui toucherait le cylindre suivant la génératrice du point 6, aurait pour trace horizontale la droite p' — 6' tangente à la trace horizontale du cylindre, et la trace verticale p' — 6” de ce même plan devra aussi être tangente à la courbe 1” — 6" — 7", qui est la trace verticale du cylindre.

Les droites p»' — 2", — 2' sont les traces d’un second

plan qui toucherait le cylindre suivant la génératrice du point 2, et qui serait perpendiculaire au plan vertical de projection.

Ces deux plans tangents se coupent suivant une ligne s i qui doit être parallèle au cylindre donné.

Enfin, les deux droites — 6'", tangentes à la

CYLÎNDflE.

courbe l'" — 5'" — 7'", proviennent de rinterseclion dts deux ])lans tangents par le plan horizontal mn.

359. La Ji§, 250 contient les deux projections d’un cylindre dont la directrice est une courbe fermée située dans le plan horizontal.

360. Il sera surtout essentiel de déterminer avec beaucoup de soin les points 1 , 2, 3, 4.

Les points 2 et 4 appartiennent aux deux génératrices qui forment les limites de la projection horizontale du cylindre, et les points 1 et 3 sont les pieds des génératrices qui forment les limites de la projection verticale.

Si la directrice est une ellipse, ce qui arrive souvent dans les applications, les points 1 , 2,3,4 seront déterminés par le principe du n° 262.

On doit encore remarquer que, sur la projection horizontale, la partie de surface cylindrique qui a pour directrice l’arc 2—3 — 4 sera vue, tandis que celle qui a pour directrice l’arc 4 — 1 — 2 doit être cachée.

Sur la projection verticale, la j^artie vue est celle qui a pour directrice la courbe 1 — 2 — 3, et par conséquent la partie qui a pour directrice l’arc 3 — 4 — 1 est cachée.

361. Plusieurs simplifications remarquables peuvent résulter de la position du cylindre par rapport aux plans de projection.

Ainsi (/%. 251) lorsque l’un de^ces plans sera parallèle au cylindre, il en résultera cet avantage, que les génératrices seront projetées sur ce plan suivant leurs véritables grandeurs.

362. Si l’un des plans de projection était |)erpendiculaire au cylindre (/%. 252), cha({ue génératrice se projetterait sur ce plan par un seul point, et la projection du cylindre

se réduirait à sa trace, qui serait en même temps la directrice.

Pour exprimer qu’un point est situé sur la surface du cylindre, on construira la génératrice passant parce point. 11 peut y avoir plusieurs solutions. Ainsi, par exemple, le point m ( fig. 250 ,251) sera la projeclion horizontale commune à deux points qui auront w' et m" pour leurs projections verticales.

Dans la fig» 24-9, les points mm\ mm'\ ap-

partiennent tous les quatre à la surface d’un cylindre qui aurait pour directrice la courbe ac.

Section droite^ déyfeloppement du cylindre,

363. Si l’on coupe un cylindre par un plan parallèle à ses génératrices , on obtient pour section une ligne droite. C’est la manière la plus simple de couper un cylindre. Toute autre section par un plan sera une courbe plane dont la forme dépendra de la nature de la courbe qui aura servi de directrice au cylindre, et de l’inclinaison suivant laquelle il aura été coupé; mais, parmi les sections par un plan, il faut distinguer surtout celle que l’on obtient en coupant le cylindre perpendiculairement aux génératrices. Cette courbe, que nous nommerons la section droite du cylindre,^ nous servira dans un grand nombre d’applications.

3G^^. Supposons, par exemple, que l’on veuille développer la surface d’un cylindre ( Jig. 253, PI. 37).

On projettera le cylindre proposé sur un ])lan parallèle à ses génératrices, afin d’avoir toules ces lignes projetées dans leur véri.tal)le longueur ; menant ensuite par un point quelconque a un plan perpendiculaire à ces génératrices, la ligne ac sera la projection verticale de la section droite

(181). Il serait facile de construire la projection Lorizontale (le cette courbe en abaissaut des ptr|)endiculaires de tous les points où le plan ac est rencontrcî par les génératrices du cylindre; mais çette seconde projection serait inutile pour le but que nous proposons ici. Ce qui est essentiel, c’est d’obtenir la section ac dans sa véritable grandeur ; pour y parvenir, on la fera tourner jusqu’à ce qu’elle soit rabattue sur le plan de projection • ce qui donnera la courbe M pour la véritable grandeur de la section droite du cylindre.

Pour construire cette courbe, il faut déterminer un certain nombre de points assez rapprochés les uns des autres pour que l’on puisse, sans erreur sensible, considérer comme une ligne droite chacun des arcs compris entre deux points consécutifs, et plaçant tous ces petits arcs, à la suite les uns des autres, sur la ligne droite c'dc , on élèvera, par chacun des points de division de cette ligne, une perpendiculaire égale à la génératrice correspondante de la surface cylindrique que l’on se proposera de développer; puis, faisant passer des courbes par les extrémités de ces perpendiculaires, on aura construit le développement de la surface du cylindre.

365. Pour plus d’ordre, on fera bien de numéroter les génératrices sur les deux projections , ainsi que dans le développement de la surface et sur la courbe M qui représente la section droite rabattue.

366. Pour obtenir sur le développement la position d’un point déterminé mm\ on construira la génératrice correspondante sur les deux projections, d’où il sera facile de déterminer sa position sur le développement du cylindre.

367. Si l’on voulait savoir ce que devient dans le développement une courbe quelconque tracée sur la surface du

cylindre, on construirait cette courbe sur les deux projec- ' liops, d’où, par des parallèles à la droite da'c\ il serait facile de ramener chacun de ses points sur la génératrice correspondante du développement.

308. Le lecteur a sans doute compris que si l’on a primitivement projeté le cylindre donné sur un plan parallèle à sa directign , c’est afin d’éviter la construction nécessaire pour obtenir la véritable longneur de chaque génératrice (35).

11 peut cependant exister quelques cas, très-rares, il est vrai, où l’on serait forcé de placer un cylindre dans une position inclinée 255, 256). Si l’on voulait alors construire le développement, il faudrait opérer de la manière suivante ;

On projetterait (/%. 257) le cylindre donné sur un plan auxiliaire A'Z' parallèle à sa direction ( 175 ), et cette nouvelle projection remplaçant la projection verticale primi^ tive, on agirait exactement pour le reste comme nous l’avons dit dans l’exemple précédent.

300, SI un point était donne par sa projection verticale rn et qu’on voulut déterminer la position de ce point dans le développement du cylindre, on commencerait par construire la projection horizontale m' de ce point, d’où on déduirait la projection sur le plan auxiliaire ; puis après s’être assuré que les deux projections m et rn” sont à la même hauteur, on ramènerait ce point sur la génératrice correspondante du développement par une parallèle à la droite c'ac.

370. Les constructions que nous venons d’indiquer consistent à regarder le cylindre comme un prisme dont la surface se con» poserait d’nn très-grand nombre de faces (183), hypothèse qui n’est pas tout à fait exacte, mais

qui sufïit pour la plus grande partie des applications à l’industrie.

D’ailleurs, lorsque la courbure d’un arc sera très-sensible, on pourra prendre sur cet arc des poinis plus rapprochés, et, par cette précaution, on parviendra toujours à développer la section droite, de manière à rendre les erreurs tout à fait insensibles.

371. Si la section droite était un cercle, on pourrait mesurer le rayon avec beaucoup de soin, et prendre une longueur égale à 27:R pour le développement de la circonférence ; après quoi on établirait sur cette ligne développée les points où elle doit être coupée par les génératrices du cylindre.

372. Si la nature des applications dont on s’occupe exigeait que l’on développât un grand nombre de cylindres circulaires, on pourrait conserver dans son portefeuille ou sur une planche à dessin un triangle ca6, dans lequel les deux côtés ac , ab seraient entre eux comme 1 : 3, H ou plus exactement encore comme 1 : 3, 1416.

Pour développer un cylindre qui aurait pour base la circonférence N (/%. 258), on fera, sur la /%. 254, ac égal à aV'; puis on tracera c'ô' parallèle à cô, ce qui donnera dh' pour la longueur de I4 circonférence N.

Si ensuite on fait as égal à la hauteur du cylindre dppné, le rectangle sahli sera le développement sur lequel on pourra ensuite tracer les génératrices à des distances égales ou inégales, suivant la nature de la question.

Plan pavalllde au cylinclrç.

373. La combinaison la plus simple du cylindre et du plan a lieu lorsque ces deux surfaces sont parallèles. Pour

satisfaire à cette condition , il suffit de faire passer le plan par une droite quelconque parallèle au cylindre.

Supposons, par exemple, que, par un point donné nzm' [fig- 259, PL 38), on veuille construire un plan parallèle à un cylindre dont on connaît la direction, on construira la droite mn,m'n' passant par le point donné *, puis , tous les plans passant par cette droite seront parallèles au cylindre.

On peut donc distinguer quatre cas :

1° Lorsque la trace np du plan ne rencontrera pas la trace du cylindre, le plan lui-même ne rencontrera pas le cylindre ;

2° Si la trace np' du plan est tangente en a h la trace du cylindre, le plan touchera le cylindre dans toute l’étendue de la génératrice ac ;

3° Si la trace np" du plan coupait le cylindre en plusieurs points a', a”, a'”, le plan couperait le cylindre suivant les génératrices a’c', a”c"^ a"'c"' ;

Enfin, si la trace itp"' du plan touchait la trace du cylindre en a^'' et la coupait au pointa^, le plan toucherait le cylindre suivant la génératrice et le couperait suivant

11 résulte évidemment de laque si la trace d’une surface cylindrique avait beaucoup de sinuosités, un même plan pourrait toucher et couper ce cylindre suivant un grand nombre de génératrices dilférentes.

Construction du plan tangent au cylindre,

374. Construire un plan tangent à un cylindre par un point mm' appartenant à la surface de ce cylindre (fig. 2fi0).

Le plan tangent devant contenir toutes les droites qui toucheraient la surface du cylindre au point donné , deux

quelconques de ces lignes suffiront toujours pour déterminer sa position ; de sorte qu’il ne reste plus qu’à choisir, parmi toutes les tangentes au point mm\ celle dont la construction est la plus simple.

Or la génératrice quicontient le point donné devant être située dans le j)lan langent, il ne restera plus qu’à obtenir une seconde ligne qui toucherait le cylindre au meme point. On pourrait donc construire par ce point une section quelconque du cylindre (320), et le plan demandé serait déterminé parla tangente à cette courbe et par la génératrice mh,m'b' ^ mais puisque nous savons que le plan tangent au cylindre doit le toucher dans toute l’étendue de la génératrice de tangence , on pourra remplacer la tangente au point mni par toute autre droite qui toucherait le cylindre en un point quelconque de la génératrice mh^m'b'. Ainsi, dans l’exemple qui nous occupe, le plan tangent pourra être déterminé par la génératrice mb, rn'b' et par la droite qui touche au point b la (race horizontale du cylindre, et qui, par conséquent , sera la trace horizontale du plan tangent cherché. Quanta la trace verticale, on l’obtiendra facilement en assujettissant ce plan à contenir le point mm ou tout autre point de la génératrice mb (51 , 53).

375. Normale. On donne le nom de normale à toute droite perpendiculaire à une surface courbe. D’après cela, si l’on veut construire une normale en un point donné d’un cylindre, on construira d’abord le plan tangent par ce point, et la droite mn,m'n\ perpendiculaire au plan tangent (86) , sera normale à la surface.

Tout plan qui contiendrait la normale m/7, serait un plan normal au point m.

376. Construire un plan tangent a un cylindre par un point pris en dehors de sa surface.

Soient {Jig. 2G1 ) le cylindre A, A' et le point m, m' . On construira parallèlement aux génératrices du cylindre la droite [mb, m'b') , et par le point {b) où cette ligne rencontrera le plan horizontal , on fera passer deux tangentes à la trace horizontale du cylindre ; ces deux lignes seront les traces horizontales de deux plans qui satisferont à la question. En ellet , ces plans devant contenir la ligne {mb, m'b') narallèle au cylindre, contiendront aussi les génératrices passant par les points de tangence c et J, et toucheront le cylindre suivant la longueur de ces génératrices.

377. Construire un plan tangent à un cylindre parallèlement à une ligne donnée.

Soient {fig. 262, 263) A, A' le cylindre, a,d la droite donnée. En un point quelconque {m.^m') de cettedroite, on construira une seconde ligne parallèle aux génératrices du cylindre. Ces deux lignes détermineront un plan p. En supposant que ce plan se meut parallèlement à lui-méme, il viendra prendre la position des plans p' ou p" , Dans Lune ou dans fautre position , il sera tangent au cylindre , car )e plan p contenant la ligne {h^V) parallèle au cylindre, les plans p' et p'^ parallèles au plan p contiendront tout entières les génératrices passant par les points de tangence c, et toucheront le cylindre suivant ces génératrices.

378. Trouver l'intersection d'une ligne droite avec la surface d'un cylindre.

Soit (a, a') {fig> 264-) la droite donnée. On fera passer par cette droite un plan p parallèle au cylindre (83); ce plan coupera la surface suivant deux génératrices (è, è ) dont les intersections avec la ligne donnée «, a\ seront les points cherchés (m,m') : Tun est celui par lequel la droite entre dans lecylindre, et l’autre celui par lequel elle en sort.

La portion mm, m'm! de la ligne donnée est dans l’intérieur du cylindre.

CYLINDRU:.