PI
Si la trace horizontale ps du plan auxiliaire ne rencontrait pas la trace du cylindre , on en conclurait que la ligne donnée ne rencontre pas le cylindre; et si la trace ps touchait la trace du cylindre , cela indiquerait que la ligne donnée est tangente au cylindre
Le point de tangence serait déterminé par Vinterscction de la ligne donnée aa' avec la génératrice , suivant laquelle le plan toucherait le cylindre.
Section du cylindre par un plan oblique.
379. Nous avons eu l’occasion de construire (364) la section du cylindre par un plan perpendiculaire aux génératrices et au plan de projection. Nous avions précédemment (355, 356) construit la section par les plans de projection ou par des plans qui leur étaient parallèles.
Voyons actuellement ce qu’il faudrait faire pour construire la section d’un cylindre quelconque par un plan oblique.
380, Nous pouvODS admettre dès à présent , comme principe général , que, pour obtenir la courbe suivant laquelle une surface quelconque est CQUjiée par un plan, il suffit de construire des points suivant lesquels ce plan coupe un système de lignes tracées sur la surface , et qu’il ne restera plus, dans chacjue cas particulier, qu’à choisir le système de lignes le plus simple. Ainsi , lorsqu’il s’est agi de construire l’intersection d"un polyèdre par un plan , nous avons du chercher les points suivant lesquels ce plan coupait les arêtes du polyèdre. Nous construirons ici les points suivant lesfjuels le plan donné coupe les génératrices du cylindre , de sorle que la (juestion sera rédui te à recommencer plusieurs fois les opérations nécessaires pour déterminer l’intersectipn d’une ligne droite p.jr un plan (70),
Ainsi (//^’. 266, PL 59 ) , pour construire le point où le plan oblique ÿ est percé par la génératrice 1 — 1 du cylindre donné , on emploiera comme surface auxiliaire le plan liilq qui contient la génératrice dont il s’agit. Ce plan coupera le plan donné , suivant une droite dont l’intersection avec la génératrice 1 — 1 déterminera le point cherché *1'.
En recommençant cette opération, il sera facile d’obtenir autant de points que l’on voudra.
38 1 . Pour éviter la confusion , il ne faut pas , dès le commencement, chercher des points trop près les uns des autres ; il vaut mieux déterminer des points intermédiaires quand on aura reconnu quelles sont les parties où la courbure de la ligne cherchée devient plus sensible.
382. On devra remarquer aussi que, dans la construction des courbes , les points sont toujours mieux déterminés par des tangentes que par des sécantes. En effet, si un point est obtenu par l’intersection de deux lignes ah .^ed [fig- 270), tout le soin que l'on aura pu apporter à la construction de ces lignes ajoutera certainement à l’exactitude avec laquelle la position de ce point sera déterminée; mais cela ne donnera aucune idée de la direction de la courbe en deçà et au delàdupointdontils’agit; tandisque si l’onconnaît une tangente , et que le point où cette ligne touche la courbe cherchée soit déterminé avec exactitude , on en pourra conclure la direction de cette courbe dans le voisinage du point de tangence. Enfin , il estévident que, parla construction d’un certain nombre de tangentes ( fig. 271), on pourra déterminer d’avance, avec une exactitude presque absolue, les changements et variations de courbure de la ligne cherchée.
383. On devra donc, dans l’exemple qui nous occupe 266) , commencerpar déterminer les points qui appar*
tiennent aux génératrices 2 — 2, k — k, 1 — 1,3 — 3, les deux premiers étant ceux suivant lesquels la projection horizontale de la courbe touche les limites de la projection horizontale du cylindre , et les derniers appartenant aux limites de la projection verticale.
ssii.. L’exactitude que l’on obtiendra dans la position de ces différents points dépendra en grande partie du soin avec lequel on aura déterminé les pieds des génératrices qui les contiennent.
C'est pourquoi il sera très-essentiel de vérifier d’abord les points de tangence 1, 2 , 3, 4.
385. Tangente à la courbe de section. On se rappellera que la tangente en un point quelconque de la courbe 1' — 2' — 3' — k' doit être située dans le plan tangent au cylindre (320) ; elle sera donc l’intersection du plan tangent» et du plan coupant, d’où résulte la construction suivante.
On tracera ; 1“ la droites — 5, qui est la trace horizontale du plan tangent au point 5' (374) ;
2° La droite a — 5', intersection du plan tangent a — 5 avec le plan coupant p'po, ce qui donne la projection de la tangence au point 5h
Il est évident qu’un certain nombre de tangentes con« slruites de cette manière avant la courbe permettront de la tracer avec une très-grande précision.
386. Pour obtenir dans sa véritable grandeur la courbe suivant laquelle le cylindre pénètre dans le pian donné, on rabattra ce plan en le faisant tourner autour de sa trace horizontale ou de toute autre droite parallèle au plan de projection.
Dans ce mouvement, chaque point devra parcourir un arc de cercle perpendiculaire à la charnière du rabattement; il ne restera donc plus qu’à déterminer la distance de chacun des points de la courbe à cette droite (113). Les
lignes d'opération n’ont été conservées qiie pour le point y qui devient k” dans le rabattement.
387. Section du cylindre^ 2® solution. Il est utile, comme étude et comme exercice, de construire directement, comme nous venons de le faire, la courbe de section d’un cylindre quelconque par un plan oblique ; mais, dans les applications, on préfère toujours avoir recours à des l^rojections auxiliaires qui, en simplifiant le travail graphique, augmentent l’exactitude des résultats.
iiinsi, par exemple, les données étant les mêmes, on prendra un plan auxiliaire de projection A'Z' vertical et perpendiculaire à la trace horizontale du plan donné et par conséquent perpendiculaire à ce plan.
Le pied d’une génératrice quelconque 6 — 6 se projettera par le point 6' sur la ligne A'Z'.
On choisira sur cette génératrice un point quelconque nnn', dont la projection m" s’obtiendra en faisant égal à m'o. Enfin , la droite 6W' sera la projection de la génératrice 6 — 6 sur le plan auxiliaire de projection A'Z'.
Cette première droite étant obtenue, le parallélisme des génératrices permettra de tracer autant de ces lignes que l’on voudra sur la projection auxiliaire.
Il sera utile surtout de construire les limites déterminées par les deux plans tangents perpendiculaires au plan de projection A'Z'.
La troisième trace du plan p'pv> s’obtiendra en prenant sur la première trace verticale un point quelconque //, que l’on projettera en m, et de là en n'\ en faisant un" {Jig> 269) égal à un' {fig- 266).
Il résulte de cette nouvelle disposition d’épure, que le plan donné étant perpendiculaire au nouveau plan vertical A'Z', la projection de la courbe de section sur ce [)lan se réduit à une ligne droite rx, et qu’il ne restera plus
pour déterminer la projection horizontale de cette courbe, qu’a tracer des perpendiculaires à la droite A/Z', par les points où la trace coupe les projections de génératrices du cylindre sur le plan de la Jig. 269.
Le point le plus haut, et le point z, le plus bas de la courbe, seront déterminés sur les projections primitives par les droites xx\ x'x”, zz\ z’z'\
On ])Ourra vérifier la position de ces points;
1” En exprimant que chacun d’eux est situé dans le plan (^1) ;
2“ En s’assurant qu’ils sont à la même hauteur sur les deux projections verticales {/Ig. 266 et 269).
388. Un autre avantage résulte encore de la disposition d’épure que nous venons d’adopter: c’est que, pour construire la courbe de section G dans sa véritable grandeur, il n’y aura plus à chercher la distance des différents points de cette courbe à la trace du point donné, puisque les droites qui déterminent ces distances seront parallèles au plan de la nouvelle projection A'Z', et par conséquent projetées sur ce plan dans leur véritable grandeur. On pourra aussi projeter sur ce plan les arcs de cercle parcourus par chacun des points de la section, lorsque l’on fait tourner cette courbe autour de la trace p^, pour la rabattre sur le plan horizontal de projection.
389. Nous avons obtenu la courbe de section G dans sa véritable grandeur, ce qui nous permettra de la tracer sur le plan donné; et nous pourrions, par conséquent, la découper, s’il s’agissait de faire pénétrer le cylindre à travers une feuille mince de métal; mais cela ne suffit pas. Il serait utile encore , pour donner j)lus de précision à l’assemblage des deux surfaces , de tracer la courbe de pénétration sur la surface du cylindre. Le moyen le plus simple
pour obtenir ce résultat sera de développer le cjlindre , (n opérant comme nous l’avons fait au n° 363.
Ainsi, la droite est la trace d’un plan auxiliaire de projection vertical etparallèle au cylindre; sd est le plan de la section droite qui est rabattue en D dans sa véritable grandeur. Enfin, la jî§. ^268 est le développement de la portion de cylindre comprise entre la section droite et le plan horizontal de projection.
