La tangente c'W est Fhypoténuse d’un triangle

rectangle dont les côtés de l’angle droit sont ; 1° égal

à mW', génératrice de tangence; 2® c"m"^ égal à c/n, trace du plan tangent et projection horizontale de la tangente.

La/%. A'" étant enveloppée sur le cylindre A {Ji^\ 280), il sera facile de tracer la courbe de section.

397. On aurait tort de considérer la solution précédente comme moins générale que les (juestions du n" 379. En effet, les plans de projection ne sont autre chose que des conceptions géométriques adoptées par convention , pour faciliter la solution des problèmes. Le choix de ces moyens doit donc rester entièrement cà la disposition de celui qui opère, et pourvu qu’il ne change rien aux données ni a leur position relative, la généralité de la tjueslion n’eu sera pas moins complète.

J’insiste particulièrement sur cette remarf|ue , parce que c’est surtout dans le choix des moyens d’opération que 'consiste toute l’habileté du praticien. , - - -

Il faut tîonc s.appliquer à reconnaître, clans chaque question générale, quelle doit être la disposition d’épure la plus commode, et, dans cba(|ue cas particulier, quelles sont les relations qui, résultant de la nature des données, peuvent contribuer à simpliüer le travail ou augmenter l’exactitude du résultat. Ainsi, par exem[)le, si le cylindre proposé dans l’exemple précédent avait pour directrice une ellipse, on pourrait construire un parallélogramme circonscrit à celle courbe; les côtés de ce parallélogramme seraient les traces de quatre plans tangents parallèles deux à deux, et les intersections de ces plans par le plan donneraient le parallélogramme circonscrit à la courbe de section rabattue. Les droites qui joignent les milieux des côtés opposés du parallélogramme sont, dans ce cas, les diamètres conjugués de la courbe de section.

Il peut cependant arriver quebjuefois que l’on soit obligé d'opérer sur un cylindre incliné dans l’espace ; alors on emploiera des plans auxiliaires de projection , comme nous l’avons fait aux numéros 387, 389.

398. Trausformalioits diuerses de la courbe de section. Si on sufipose qu’un cylindre AA' [fig. 279 el27G) soit cou[)é par un plan et que l’on fasse tourner ce plan autour d’une ligne ou [fig. 276), la courbe de section augmentera de longueur à mesure que le plan se rapprochera de la direction du cylindre, et finira par se transformer en deux droites parallèles m'//. Parmi les difl’érentes formes allecées par cette courbe, il faut distinguer surtout :

La section droite,

La section oblique ,

La section parallèle.

On remarquera que, par suite de ces variations de courbure, la ligne de section se rapproche toujours de la

PL. iO.

iSl

tangente m'ii\ avec laquelle elle finit par coïncider lorsque le plan devient j)arallèle au cylindre.

11 résulte de là (jue toute génératrice d’un cylindre peut être, à volonté, considérée comme une section dont le rayon de courbure serait infini , ou comme une tangente cà cette même section.

Ainsi, les deux droites wJii seront deux tangentes à la section du cylindre par le plan mn 279). Nous rap-

pellerons que si l’on làisait tourner ce même plan autour de l’une des deux droites m'//, il viendrait un moment où ces deux tangentes ou génératrices de section se réuniraient en une seule pour Ibriner une génératrice de tangence (3i6),

399. Si nous supposons que la section droite du cylindre proposé soit une ellipse ayant pour ses axes les deux di oites aa [ fig. 276 ) et cc ( Jîg. 279 ), et que l’on fasse tourner le plan coupant autour île la ligne r»» , on obtiendra comme variétés principales de la courbe de section :

1® La section droite aa ^ cc ;

2° La section ac {fig. 279) qui est un cercle, 'orsque le rayon horizontal ac' est égal au rayon vertical ac (y%.276);

3® La section elliptifjue ac" qui se projettera par un cercle , lorsfjue cc" projection verticale de ac" sera égal au rayon vertical ac ;

k'' La section oblique ac^'', dont la longueur dépendra de roblifjuilé plus ou moins grande du plan coupant ;

5® Les deux droites par.dlèles ni'n'., ni n' provenant de la section parle [)lan parallèle au cylindre;

6” Enfin, la ligne de tangence, qui résulterait de la réunion des génératrices de section, si on faisait tourner le plan coupant autour de l’une d’elles.

L;i comparaison de ces diverses espèces de lignes donne

lieu à des simplifications remarquables, suivant les différents problèmes à la| solution desquels elles doivent concourir.

400. Supposons , par exemple, que , pour résoudre une question proposée, il soit nécessaire de construire (y%. 278) un grand nombre de sections d’un meme cylindre par des plans horizontaux , on se rappellera que toutes ces courbes doivent être égaies et parallèles à la trace du cylindre. Or, dans le cas où cette trace serait une ellipse , on construira successivement;

1" La droite cc'd' , qui doit contenir les centres de toutes les sections demandées ;

2“ Tous les axes de ces courbes qui doivent être parallèles à ceux de la trace ;

3° Les droites ad\ passant par les extrémités des grands axes, détermineront ces points;

4° Les droites hh" détermineront les extrémités des petits axes;

5° Enfin, les deux droites mm!\ un!' détermineront les points où les courbes cherchées sont touchées par les deux génératrices qui forment les limites de la projection horizontale du cylindre.

40 L. On pourrait encore dessiner l’une des courbes avec beaucoup de soin sur une carte que l’on découperait, et qui, reportée à toutes les places, servirait à guider la pointe du crayon.

Il est évident que cette manière d’opérer serait surtout commode dans le cas où l’on aurait à tracer un grand nombre de fois une courbe très-compliquée, surtout lorsque l’on ne peut déduire de la définition de cette courbe aucun moyen d’abréger le travail ou de vérifier le résultat,