Si la directrice du cône est une courbe fermée

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les projections de ce cône seront contenues entre certaines limites que nous allons déterminer.

Supposons , par exemple [fg- 309 ) , un cône qui aurait pour directrice la courbe 1 — 2 — 6 — 3 — 4 — 5 située dans le plan horizontal, les deux tangentes 5 — 1,5—3 seront les traces de deux plans tangents verticaux entre lesquels toutes les génératrices seront nécessairement comprises, car il est évident que la directrice ne pourrait pas être rencontrée par une droite dont la projection serait au dehors de l’angle 1 — s — 3; on prendra donc les deux tangentes 5 — 1, 5 — 3 pour limites de la projection horizontale du cône. Par la même raison , les deux droites 6 — 2', s' — 4' tangentes à la trace verticale du cône seront prises pour limites de la projection verticale.

458. Il est essentiel de construire avec une grande précision les quatre points de tangence 1, 2, 3, 4.

Ces points déterminent les parties vues et cachées sur les deux projections du cône.

Ainsi , toute' génératrice qui aurait son pied sur l’arc 1 — 2 sera évidemment vue sur la projection horizontale , tandis que sur la projection verticale, elle sera cachée.

Toute génératrice qui aurait son pied sur l’arc 3 — 4 se* rait au contraire cachée sur la projection horizontale, tandis que sur la projection verticale , elle serait vue.

Les génératrices qui auraient leurs pieds sur l’arc 2 — 6 seront vues sur les tleux projections. Eulin , celles (|ui auront leurs pieds sur Tare 1 — 4 seront cachées sur les deux projections.

459. Les droites 6 — .r, 5 — x sont les traces horizontales do deux plans tangents qui se coupent suivant la ligne s — x qui contient le sommet du cône.

Les droites z — h”,z — 6" sont les traces verticales des

LE CONE.

memes plans tangents; on remarquera que ces dernières lignes sont tangentes à la trace verticale du cône.

Le plan {z — ^'\x — 5) touclie le cône suivant la génératrice 5 — 5,5^ — 5^ et le plan (z — — 6) le touche suivant la génératrice s — 6, s' — 6'.

Développement de la surface du cône.

460. Dans les applications on développe ordinairement la surface du cône en opérant comme pour une pyramide oblique qui aurait un grand nombre de faces (178). Ainsi , en prenant sur la trace du cône des points assez rapprochés, on pourra , sans erreur sensible , remplacer par un I riangle plan la petite portion de surface conique comprise entre deux points consécutifs de la trace et les génératrices correspondantes. Tous ces triangles, construits dans leur véritable gran deur et placés à côté les uns des autres, ont formé le développement du cône projeté {fig. 306).

Pour obtenir les génératrices dans leur véritable grandeur, on les a fait tourner autour de la verticale projetante du sommet jusqu’à ce qu’elles soient parallèles au plan vertical de projection.

461. Si aucune condition ne détermine la position des génératrices, on pourra simplifier le travail en choisissant de préférence celles qui ont une projection verticale commune , ou qui , deux à deux ont leurs pieds à égale distance de la verticale du sommet.

Il est facile de satisfaire en même temps à ces deux conditions ; ainsi , par exemple :

Les génératrices 1 et 15 ayant une projection verticale commune, on prendra le point 16 déterminé par la tangente perpendiculaire à la ligne AZ, et l’arc de cercle 16 — 2

LE CONE.

déterminera le point 2 par lequel on élèvera une perpendiculaire qui donnera le point 14.

L'arc de cercle 15 — 3 déterminera le point 3 d'où on déduira le point 13 sur la perpendiculaire 3 — 13, etc.

462. Pour construire dans le développement un point mm' appartenant à la surface du cône, on le rabattra en m" sur la génératrice correspondante, et de là en m'" dans le développement de la surface.

463. En recommençant cette opération pour tous les points d’une courbe quelconque qui serait située sur la surface du cône, on obtiendrait tous les points de cette courbe dans le développement.

464. Pour construire le développement d’un cône circulaire [Jig. 305), on décrira le secteur 5 — a" — a!" {fig. 307.), en prenant s — a" égal au côté s' — a' du cône, et faisant Parc a" — a'" égal à la circonférence de la base ^ — a.

465. On peut obtenir beaucoup d’exactitude en opérant de la manière suivante. Soit x l’angle a!'sa'" du secteur, et désignons par y l’arc a" a!" qui sert de mesure à l’angle x.

Par R le côté s'a! du cône, et par r le rayon sa de la base ; on doit avoir, en prenant l’angle droit pour unité :

Mais

Substituant, on a

X 4 27rR.

y = 27rr.

X \ h : : 2Trr : 27rR .

Ou enfin.

Donc

PL. 4^. LE CONE. 203

ce qui donne ran£!;le du secteur. Supposons , par exemple ,

Nous aurons :

kr 4x5

Î2= 1+ îâ=l+ 3=90“+60“= 130“.

Ainsi, en décrivant un secteur de 150 degrés avec un rayon de 12 mètres , on aurait le développement d’un cône dont le rayon de la base serait 5, et le côté 12.

Quand le secteur sera construit, on pourra placer sur l’arc a!'a'" les pieds des génératrices qui seraient utiles pour résoudre la question proposée.

Plan passant par Le sommet du cône.

466. Cette relation est la plus simple qui puisse résulter de la combinaison d’un plan avec un cône.

Un plan contiendra le sommet du cône toutes les fois qu’il contiendra une droite quelconque passant par ce point.

467. Pour construire 310, PI. 43), par un point donné mm', des plans passant par le sommet du cône s y ah , on tracera la droite sn^s'n\ et tous les plans qui contiendront cette droite satisferont à la condition demandée.

On devra distinguer 1® les plans tels que snp qui passent par le sommet du cône sans rencontrer la surface.

2” Le plan snp' qui touche la surface du cône suivant la génératrice sa.

3® Enfin, le plan snp" qui touche le cône suivant la génératrice 5a', et le coupe suivant sa",.