LE COINE. PL

468. En général, le nombre des lignes de section ou de tangence dépendra du nombre de points suivant lesquels la trace du cône sera touchée ou coupée par la trace du plan.

Construction du plan tangent au cône,

469. Construire un plan tangent à un cône par un point pris sur la surface de ce cône.

Soient [fig. 311) le cône AA' et le point mm' situé sur la surface, on construira d’abord la génératrice sm, ^'m'; puis par le point b, où cette génératrice rencontre le plan horizontal, on mènera une tangente à la trace horizontale du cône. Cette ligne sera la trace horizontale du plan tangent, dont la trace verticale se déterminera facilement, puisque ce plan doit contenir la ligne mb^ (51 ).

470. Normale, Les droites m//, m'/^' perpendiculaires sur les traces du plan j», seront les deux projections de la normale. Tout plan qui contiendrait la droite mn^niri serait un plan normal au point m, m'.

47 1 . Construire un plan tangent à un cône par un point pris en dehors de la surface.

Soit {fig. 312) le cône AA' et le point mm', on fera passer par ce point et le sommet du cône la droite 5m, 5'm', et par le point ù, où cette droite perce le plan horizontal, on construira deux taniientes à la trace horizontale du

cône ; ces deux lignes si ront les traces horizontales de deux plans tangents. Les traces verticales devront passer par la trace verticale de la droite 5m, 5'm'.

Si on n’avait pas ce point sur l’épure , on y suppléerait facilement en assujettissant les plans clierchés à contenir le sommet du cône ou tout autre point de la ligne 5m, 5'm'.

LE CONE.

PL. 4r>.

On devrait aussi se rappeler que chaque plan tancent doit contenir l’une des deux droites (jc, s'c') {sd, s'd') qui sont les génératrices de tangence.

ü<72. Construire un plan tangent a un cône y parallè-lement à une droite donnée.

Soient [fig. 313) le cône A, A' et la droite donnée aa\ on construira par le sommet du cône la droite sb, s b' parallèle à la ligne donnée aa! . Il ne restera plus qu’à faire passer par la droite sb,s'b' deux plans tangents au cône; ce qui se fera comme dans l’exemple précédent. On conçoit, en effet, que les deux lignes aa\bb\ étant jiarallèles, tout plan contenant la seconde de ces deux droites sera parallèle à la première. Les droites {sdy sd') (sc,s'c') sont les génératrices de tangence.

Intersection de la surface du cône par une ligne droite.

473. Soit aa! [fg- 314) la droite donnée, on prendra sur cette ligne un point quelconque nim\ on joindra ce point avec le sommet du cône par la droite sni^s'nf et l’on fera passer un plan par les deux droites (^am^a'in') ( 5m, s' ni').

Ce plan passant par le sommet du cône coupera la surface suivant les deux génératrices {sb,s'b') , et les intersections de ces deux lignes par la droite donnée ( am, aW) seront les points demandés.

La portion du') de la ligne donnée est dans l’intérieur du cône.

474. Si la trace horizontale pq du plan auxiliaire ne rencontrait pas la trace du cône, on en conclurait que la ligne donnée ne rencontre pas le cône ; et si la trace pq

206 LE CONE. PL. 46.

touchait la trace du cône, cela indiquerait que la ligne donnée touche le cône.

Le point de tangence serait déterminé par Eintersection de la ligne donnée avec la génératrice suivant laquelle le plan auxiliaire toucherait le cône.

Sections du cône par un plan oblique.

475. La courbe de section d’un cône par un plan contient tous les points suivant lesquels ce plan coupe les génératrices du cône. Il suffira donc, pour obtenir chacun de ces points, de faire la construction que nous avons donnée au n*^ 70, et qui a pour but de construire l’intersection d’une ligne droite avec un plan.

Ainsi, par exemple [fig. 318 , PI. 46), le plan s' — qui contient la génératrice s — 1, coupe le plan donné suivant la droite s^h , et l’intersection de cette ligne parla droite s. — 1 donne le point 1', qui fait partie de la courbe demandée.

476. Le plan 5' — d — o étant tangent au cône , la droite vh doit être tangente à la courbe de section.

En général , pour construire une tangente en un point quelconque de la courbe de section, on construira un plan tangent à ce point, et la tangente demandée sera l’intersection du plan tangent et du plan coupant.

Si le point donné était situé hors du cône , on construirait le plan tangent comme nous l’avons dit au n® 471.

477. On pourrait, en opérant comme nous venons de le faire, déterminer l’intersection de chacune des génératrices du cône avec le plan donné; mais, ici, comme pour la question du n® 387, on simpliGera les opérations et l’on augmentera l’exactitude du résultat , en faisant usage

PL. 46- LE CONE.

{fig. 321) d’un plan auxiliaire de projection A'Z' vertical et perpendiculaire au plan donné.

Par suite de cette disposition d’épure, la courbe de section se projettera par une ligne droite zx ^ de sorte que, pour obtenir la projection horizontale de cette ligne , il suffira d’abaisser des perpendiculaires à A'Z' par tous les points où la droite zx est rencontrée par les projections des génératrices du cône.

La projection de la courbe de section sur le plan vertical primitif se déduira de la projection horizontale, en élevant des perpendiculaires par les points de cette projection.

On pourra vérifier le résultat , en exprimant que chacun des points de la courbe de section est situé dans le plan coupant B; 2° en s’assurant que ces points sont bien à la même hauteur sur les deux projections verticales AZ, A'Z'.

La courbe M est la ligne de section que l’on a rabattue en la faisant tourner autour de la trace horizontale du plan coupant, et la Jig. N est le développement du cône, que l’on construira en opérant comme nous l’avons dit au n" hGO,

La courbe x’z'x' représente la ligne de section dans le développement, de sorte que \a Jig. x(t!c'a'x'z' est la portion de la surface conique comprise entre le plan coupant et le plan horizontal de projection.

478. Section du cône. 2® solution. Dans la pratique , on évite presque toujours la plus grande partie des opérations précédentes, en prenant dès l’origine, comme on le voit {Jig. 319), un plan de projection perpendiculaire au plan coupant pnq.

La projection horizontale de la courbe s’obtient en abaissant des perpendiculaires à la ligne AZ par les points où les projections verticales des génératrices sont coupées par la trace verticale np du plan donné.

LE CONE.

Pour construire les projections horizontales correspondantes au point 772, on rabattra les deux génératrices 5 — 1, s — 2, en les faisant tourner autour de la verticale du sommet. Dans ce mouvement , les deux points qui ont le point m pour projection verticale commune , viendront se placer, l’un en in! y et l’autre en m” . On les projettera sur la droite s — 2', d’où on les fera revenir, le premier en m"' et le second en m".

On opérera de la meme manière pour les points appartenant aux génératrices dont les projections horizontales seraient coupées suivant des angles trop aigus p'ar les perpendiculaires abaissées de la projection verticale.

Cône elliptique.

ü-79. Principe fondamental. Lorsqu un plan est dirigé de manière à couper toutes les génératrices de la même nappe d'un cône elliptique , la courbe de section e^t une ellipse.

En effet {Géom. anal.)^ dans toute ellipse ac{fig. 316), rapportée à deux diamètres conjugués quelconques, on a toujours :

aoy^oc'. ao' x o'c :: ou: o'u (1)

C’est-à-dire que les rectangles formés par les deux segments d'un diamètre sont entre eux comme les quarrés des ordonnées correspondantes.

La relation précédente est également vraie pour des ellipses semblables, et quels que soient les pieds des ordonnées.

Car si les deux ellipses ac,aV' {fg- 316 et 317) sont semblables , on aura :

LE CONE.