PL. 4G

Multipliant

ao' X o'c : cî'o" X o"c" : : oV : o'J\ ^9)

Multipliant l’une par l’autre les proportions (1) (2) ^ on

aura

aoXocl a”o" X o"c” : : ou : O V.

480. Enfin nous admettrons également la réciproque qui est suffisamment démontrée dans les traités d’analyse.

C’est-à-dire que , si les rectangles formés par les deux segments d’un diamètre sont entre eux comme les quarrés des ordonnées correspondantes ^ la courbe sera ufie ellipse.

481. D’après cela, supposons {fig. 315) un cône elliptique droit ou incliné, comme on voudra, dont la directrice serait l’ellipse ac.

Concevons les deux ellipses a'd, d'e” parallèles, et par conséquent semblalde-s à la directrice ac. j

Quelle que soit l’inclinaison du plan coupant a'V", les droites o'«', o'\i' seront parallèles entre elles.

Concevons ou [>arallèle aux droites o'u\ o"u”, et menons le plani'ac de manière que le diamètre ac soit le conjugué de ou; il en résultera que les ordonnées oV, oV', seront conjuguées avec les diamètres cic ,cl'c' .

Enfin, soit d^'c" l’intersection du plan sac^ par celui qui contient la courbe de section d"c'\

Les triangles semblables d"do\ a"'d'd' donneront

^'11 I . ni II . . II. Il II a O . a O . . a O . a O .

Les triangles semblables c'"o'c' , c"'o"c" donneront :

^1 III . Il III , . Il II II

oc .oc y. O c I O c

Multipliant les proposons (1) et (2). on aura

210 LE CONE. PL. 46-

Mais les deux courbes aV, a!'c" étant deux ellipses, on a, par le principe cité au n° 479,

a'o' X oc*' : a”o" X o"c" : ; o'u' : o"J'.

Par suite du rapport commun aux équations (3j et (4) , on aura :

Donc, puisque les rectangles formés par deux segments quelconques du diamètre a'V" sont entre eux comme les quarrés des ordonnées correspondantes, la courbe est une elli[)se (480).

482. La démonstration précédente s’applique évidemment au cône circulaire dans lequel les sections parallèles a!c\ a"c” seraient deux cercles ; de sorte que l’on aurait :

a'o' X o'c' = o'ii a"o”xo"c"='^''.

Substituant dans la proportion (3), il vient

483. La relation que nous venons de démontrer n’est qu’un cas particulier de ce principe plus général , que Toute section d un cône du secornl degré par un plaît est une courbe du second degré (Géom. anal.).

484. Transformations diverses de la courbe de section. Nous avons dit (479) que la courbe de section d’un cône elliptique par un plan serait une ellipse^ lorsque le plan coupant serait dirigé de manière à rencontrer toutes les génératrices d’une même nappe de cône ; mais cela n aura pas toujours lieu. En ellet , il peut arriver {fg- 322) que le plan coupant p'ti'q' soit parallèle à l’une des génératrices du cône.

PL. 46- LE CONE. 211

D ans ce cas , la courbe de section serait une parabole (264).

Et quand le plan coupant ifig- 223) sera dirigé

de manière à rencontrer les deux nappes du cône, la section sera une hyperbole (272).

Ces trois courbes se construiront comme nous Tavons dit au n° 478- Pour déterminer le point m'" sur la projection horizontale de la parabole {fig> 322), on rabattra la génératrice s' — 1 en s' — 1', le point m viendra en m', d’où on déduira qui, ramené à sa place, donne m"’ pour le point demandé.

On agira de même pour toutes les génératrices dont les projections seraient coupées trop obliquement par les per* pendicuîaires à la ligne AZ.

La courbe N (/%. 319) est le rabattement de l’ellipse provenant de la section du cône par le plan poq.

La courbe IN' ( fig. 322) est le rabattement de la parabole provenant de la section du cône par le plan p'ri'q'.

Enfin, les deux courbes iN" et ÎN'" sont les deux branches de rhjperbole provenant de la section du cône par le plan p'n'^q".

485. Il peut être utile , dans certains cas , de construire les asymptotes de l’byperbole. On devra se rappeler alors que ces droites sont les limites des tangentes à la courbe , c’est-à-dire qu’une tangente qui tournerait autour de I hyperbole, en prenant toutes les directions possibles, se confondrait avec l’une des asymptotes au moment où le point de tangence serait arrivé à l’infini (276).

La question sera donc réduite à faire passer par le centre de rhy[)erbole deux tangentes à cette courbe.

Yoici l’ordre des opérations :

1® On abaissera les droites a'a^aa perpendiculaires à la ligne AZ , ce qui déterminera sur les génératrices s — 3,