LE COINE. PL

i — k les deux points <7,«, extrémités du diamètre aa.

2° Le point cc\ milieu du diamètre aa, sera le centre de l’hyperbole.

3° La droite scii,s'cu sera Tintersection de deux j)]aus tangents au cône et passant par le ])oint cc\

W Les droites unp, iiap, tangentes à la trace du cône, seront les traces de ces deux j)lans tangents.

5" Enfin, les droites en, en., intersections de ces deux plans tangents avec le plan coupant p'n’'q'\ seront les asymptotes demandées.

Car elles sont tangentes à l’hyperbole, puisqu’elles sont les intersections du plan coupant avec les plans tangents qui contiennent le point cc' ; et puisqu’elles passent par le centre de l’hyperbole, elles coïncideront avec les asymptotes de cette courbe.

486. 11 résulte de ce qui précède, que la section d’un cône elîij)tifjue par un plan sera nécessairement l’une des trois courbes que nous avons étudiées aux n^^ 245, 264 ^t 272.

Les génératrices s% ( /%. 319, 322 et 323) étant les limites de la projection du cône sur un plan perpendiculaire au plan coupant pnq,pjiq' ou p'n'q" , on peut dire, en général, que si l’angle 3a'/i(/ég>-. 319) est plus grand que la section sera une ellipse.

Si l’angle 3a'// (/%. 322) est égal à 3/4, la section sera une parabole.

Enfin , si l’angle 3a'//" (/%. 323) est plus petit ({ue 3a'4 , la section sera une hyperbole.

7|.87. Il faut ajouter, comme cas particulier des couibes précédentes, les sections du cône [)ar un plan qui contiendrait le sommet.

Si nous supposons, par exemple, que le plan tourne

PL. 4G. LF. CONE.

.'uilonr (le rhorizonLile projelanle du point s' ( fig. 319) , il Caiidra dislirii^uer trois cas.

1*^ Si l’angle 3i'^^ est plus grand que 35%, la seclion sera un point que l’on pourra considérer comme une ellipse dont les axes seraient égaux à zéro.

3“ Si l’angle ‘U'u était égal à 35%, le plan toucherait le cône suivant la génératrice 5%, qui remplacerait alors la courbe de seclion, et que l’on pourrait considérer comme une ])arabole dont les deux branches se seraient rapprochées.

3° Enfin , si l’angle 35^m était plus petit que 35% , le plan couperait le cône suivant deux génératrices que l’on pour-» r.iit considérer comme une hyperbole coïncidant avec ses asvmptotes, parce que la distance du centre au sommet de la courbe serait écjale à zéro.

488. Cette dernière considération donne un deuxième moyen de construire les asymptotes de l’hyperbole.

En eiïet, admettons, ce qui est démontré dans les traités d’analyse, que si on coupe un cône du second degré par des plans parallèles ^ toutes les courbes de section seront semblables .

Il en résulte que si , par le sommet du cône ( Jig. 323 ) , nous faisions passer un plan p”’n'"q”' parallèle à p''a''q'' ^ les deux génératrices 5 — 1 , 5 — 2 pourront être considérées comme formant une hyperbole semblable h celle qui n'sulte fie la seclion du cône par le plan p"n”q \ ces deux courbes ne dillérant, comme nous l’avons dit, que par la distance du centre au sommet.

Or, la seclion par le plan p"n"'q'” donne l’angle que les asymptotes font entre elles, et puisque l’on connaît le centre cd de l’hyperbole qui résulte de la seclion par le plan p'n!'q', il sera facile de construire les asymptotes de cette dernière courbe.